中3数学 展開と分配法則—面積の分割から各項の積が必要な理由を説明する｜武蔵野個別指導塾

長方形の4つの区画と式の項を対応させ、抜けや負の符号から分配法則を読み解きます。

よくあるのは、面積を分けたのに右上の長方形を数え忘れるという場面です。縦にも横にも区切りを入れた図を見て、左上、左下、右下の面積は書けたのに、右上が式から消えています。答えを見て足し直す前に、どの辺とどの辺を掛けた区画が欠けたかを探してみましょう。式だけの計算でも、掛ける組を表に並べれば同じ点検ができます。

どの組を掛けるかが問われる

展開とは、積の形を和や差の形に直すことです。二項式同士の積では、一方の2つの項それぞれを、もう一方の2つの項それぞれに掛けます。まず4つの積を書き、その後に同類項をまとめます。途中で同じ文字の項が2つ出ても、元は別々の組から生じたものです。

問われ方には、式を展開して整理する型、面積の図と式を対応させて欠けた項を説明する型、途中式の誤りを直す型があります。どの型でも、最終行の形だけでなく、4組がどこから来たかを説明できることが目標です。正の長さで描いた面積図は組の見取り図として使えますが、負の項を負の長さとして描くことはしません。負を含む式では分配法則と符号の規則で確かめます。

縦と横の分割を式に移す

縦が a+b、横が c+d の長方形を考えます。ここでは a、b、c、d は正の長さです。縦を a と b、横を c と d に分けると、図1のように4つの小さな長方形ができます。左上は縦 a、横 c なので面積は ac、右上は縦 a、横 d なので ad です。下の2つも同じように bc、bd となります。

図1の全体の面積は、分割する前には (a+b)(c+d) です。分割した後には、重ならず隙間なく並ぶ4つの面積の和ですから、(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd となります。右上を除くと ad が不足し、全体の面積とは一致しません。1つの区画が1組の積に対応することが、項を漏らさない理由です。

同じことを式でたどると、まず (a+b) をひとまとまりと見て c と d に分配し、(a+b)c+(a+b)d とします。次にそれぞれを分配すると ac+bc+ad+bd です。足す順序を入れ替えれば、図の上の段から順に読んだ式と一致します。文字は数を表すので、積の順序を入れ替えても値は変わりません。

図の説明は正の長さに限りましたが、分配法則は負の数を含む数の計算にも成り立ちます。例えば a(b-c)=ab-ac です。引く数を掛けるときは、その積を引きます。2つの括弧に負があれば、負と負の積が正になることまで含めて、各組を式で処理します。図の面積を負にする必要はありません。

表にして掛け残しを探す

図を描かずに確かめるときは、左の括弧の項を行、右の括弧の項を列に置き、交わる場所に積を書きます。2行2列なので記入する場所は4つです。同じ項が2か所に現れることはあっても、それぞれ別の掛け合わせに由来します。1つを書いた後に他方を省くと、同類項をまとめる前に必要な分を失います。

例えば (a+b)(c+d) の表で、上の行は ac と ad、下の行は bc と bd です。縦の項を先に選ぶか横の項を先に選ぶかで書く順は変わりますが、行と列の交点は変わりません。式の順番が模範の解答と異なっても、4つの組と符号が合っているかで判断できます。

また、文字が同じでも係数が違えば積は違います。2x と 3 の積は 6x で、2x と 3x の積は 6x² です。文字を掛けた回数に注意して、係数と文字の部分を分けて計算します。表は掛け残しを探す道具であり、符号の計算や同類項の整理もその後に必要です。

基本例題：区画を1つずつ読む

次の式を展開し、同類項をまとめた式で答えてください。

( x+2 )( x+3 )

図2のように縦を x と 2、横を x と 3 に分けます。面積の説明では x を正の長さとして見ます。式としての変形は x が負や0でも成り立ちます。

図2の左上から順に x²、3x、2x、6 です。右上の 3x は縦の x と横の 3 の積で、左下の 2x とは別の区画です。先に両方を書いてからまとめます。

(x+2)(x+3)
= x(x+3)+2(x+3)
= x²+3x+2x+6
= x²+5x+6

1行目の変形では、左の括弧の各項を右の括弧全体に掛けました。次の行で括弧の中の各項へ分配しています。3x と 2x はどちらも x を単位とする項なので、係数を足して 5x です。x² と x は文字の次数が異なるため、足して1項にはできません。

確認として x=2 を元の積に入れると 4・5=20 です。結果の式に入れても 4+10+6=20 です。図の各区画も 4、6、4、6 となり、和は20です。この代入は計算の点検には役立ちますが、1つの値で等しいことだけでは、どの値でも等しい理由にはなりません。一般に成り立つ根拠は分配法則です。

標準例題：負の項を掛ける

次の式を展開し、同類項をまとめた式で答えてください。

(2x-3)(x+4)

左の 2x と -3 をそれぞれ右の2項に掛けます。引き算を負の数の加算として見れば、各組の符号を決めやすくなります。

(2x-3)(x+4)
= 2x(x+4)-3(x+4)
= 2x²+8x-3x-12
= 2x²+5x-12

2x と 4 の積は 8x、-3 と x の積は -3x、-3 と 4 の積は -12 です。真ん中の2項は符号を含めて 8x-3x=5x とまとめます。後ろの括弧に掛かる -3 を、最初の x にしか掛けないと -12 が消えます。括弧全体に掛ける段階を1行残すと、その漏れに気づきやすくなります。

x=1 では元の式が (2-3)(1+4)=-5、結果も 2+5-12=-5 です。x=0 では元の定数同士の積が -12 となり、結果の定数項とも合います。代入の値を変えれば見つかる誤りもありますが、各組の点検と併用します。

発展例題：差が2つあるとき

次の式を展開し、同類項をまとめた式で答えてください。また、2つの括弧をどちらから分配しても同じ結果になる理由を述べてください。

(3x-2)(2x-5)

まず左の各項を右の括弧に掛けます。負の項を掛ける行では、後ろの括弧の両方に負を配ります。

(3x-2)(2x-5)
= 3x(2x-5)-2(2x-5)
= 6x²-15x-4x+10
= 6x²-19x+10

最後の +10 は (-2) と (-5) の積です。両方に引く符号があるからといって、定数の積を負にすることはできません。一方、-15x と -4x はそれぞれ正と負の積なので負です。4組それぞれについて符号を決めてから同類項をまとめます。

逆に右の括弧から分配すると、次のようになります。

(3x-2)(2x-5)
= (3x-2)2x-(3x-2)5
= 6x²-4x-15x+10
= 6x²-19x+10

途中の中間2項の順番は入れ替わりますが、組は同じです。積の順序と和の順序を入れ替えても値は変わらないため、結果は一致します。どちらから始めるかは自由ですが、片方から始めたら、その各項をもう片方の全項に掛けることが分かれ目です。

x=2 を元の式に入れると (6-2)(4-5)=-4 です。展開後も 24-38+10=-4 です。x=-1 では元が (-5)(-7)=35、展開後も 6+19+10=35 です。正負の異なる値で試しつつ、式の各行が分配法則による変形であることも確認します。

欠けた区画と符号を直す

例えば (x+2)(x+3) を x²+2x+6 とする答案では、図3のように右上の積がありません。左の x を右の x に掛けた後、右の 3 に掛け忘れたことが原因です。正しくは x・3=3x を加え、x²+3x+2x+6 と書きます。

図3で右上が抜けると、例えば x=2 の全体の面積20に対して、残りは 4+4+6=14 です。差の6が右上の面積に当たります。x=0 の代入では不足する 3x も0になるため、この誤りを発見できません。1回の代入が合ったことと、4組がそろっていることは別の確認です。

別の誤りに、(x-2)(x-3)=x²-5x-6 があります。定数同士の積を -6 とした行に原因があります。(-2)(-3)=+6 と直せば x²-5x+6 です。x=0 で元の式は (-2)(-3)=6 となり、誤った式の -6 と一致しません。符号を直すときも、4組のどの積にあたるかを明示します。

面積の説明には正の長さという条件が必要です。例えば x=-1 のとき、縦の x を長さとして図に描くことはできません。それでも式 (x+2)(x+3)=x²+5x+6 は、両辺に -1 を代入すると2となり、分配法則によって一般に成り立ちます。図を使える条件と、式の規則が使える範囲を混同しないことが大切です。

自分で組を埋める5問

次の1〜4は展開し、同類項をまとめた式で答えてください。5は欠けた積と、整理した式を答えてください。途中の4つの積も書いてから、下の解答と照合します。

1. (x+4)(x+7)
2. (2x+1)(x+6)
3. (x-5)(3x+2)
4. (4x-3)(2x-1)
5. (x+8)(x+2) を x²+8x+16 とした。どの積が欠けているか。

答えと組の確認

1. x²+11x+28 です。4組は x²、7x、4x、28 です。x=1 なら元の積は 5・8=40、結果も 1+11+28=40 です。7x と 4x は別々の組から生じるので、まとめる前に両方を記します。

2. 2x²+13x+6 です。4組は 2x²、12x、x、6 です。x=1 で元は 3・7=21、結果も 2+13+6=21 です。2x と 6 の積を 6x としないよう、数の係数同士も掛けます。

3. 3x²-13x-10 です。4組は 3x²、2x、-15x、-10 です。x=1 で元は (-4)・5=-20、結果も 3-13-10=-20 です。中間の項は 2x-15x=-13x と符号を保ってまとめます。

4. 8x²-10x+3 です。4組は 8x²、-4x、-6x、3 です。x=1 で元は 1・1=1、結果も 8-10+3=1 です。定数の積は負同士なので正です。

5. 欠けた積は左の x と右の 2 の積である 2x です。4組を並べると x²、2x、8x、16 ですから、整理した式は x²+10x+16 です。x=1 で元は 9・3=27、直した式も 1+10+16=27 です。誤った式は25になり、欠けた積の値2だけ不足します。

検算を使い分ける

展開した式が正しいか調べる方法には、掛け合わせの組をたどる方法と、数を代入して両方の値を比べる方法があります。前者は項が生じた理由を追えるため、漏れや重複を探すのに役立ちます。後者は元の積と結果を別々に計算するので、途中で見逃した符号の誤りを見つける助けになります。

ただし、代入する数によっては誤りが隠れます。例えば x を含む項を落とした式でも、x=0 ではその項の値が0になるため、正しい式と同じ値を示すことがあります。反対に定数項の誤りは x=0 で見つけやすくなります。1つの代入だけで合否を決めず、各項の由来に戻ることが必要です。

図から面積を読む場合も、図の線を引いただけで終わらせません。各区画の縦と横を読み、積を書いて、区画の数と項の数を照合します。隣り合う2区画が同じ種類の項になった場合は、その2つを足してから整理した式へ移します。こうすれば、整理後の項が3つになっても、最初に4組を掛けたことが追えます。

手元に残す要点

• 2項と2項の組は4つです。
• 各積の符号を決めてから同類項をまとめます。
• 面積図は正の長さで区画と積を対応させます。
• 代入は点検に使い、一般の理由は分配法則で示します。

答案のどこへ戻るか

お子さまの答えが合わないときは、完成した式の係数から直す前に、括弧を外した最初の行を見ます。4組の積が並んでいなければ、左の各項から右の各項へ線を引くつもりで対応を言葉にします。4組がそろっていれば、次に各積の符号と、同類項をまとめた行を順番に調べます。

個別指導で確かめるなら、図の右上を指して「縦と横のどの積か」を説明してもらい、続いて負の項では図に頼らず符号を言えるかを見ます。答えが合っていても途中の組を言えなければ、別の式で組を書き出す練習に戻れます。区画と積の対応が見えれば、抜けた項は自分で探せます。