高校物理 クーロン力のつり合い—距離と電荷の符号から力の比と配置を決める｜武蔵野個別指導塾

糸の角度と小球間の距離から電荷を求め、符号や対称性で向きを判定するクーロン力のつり合いです。

よくあるのは、帯電した小球を糸でつるし、その傾きから電荷を求めようとする場面です。小球が静止していることは、電気の力が消えたことを意味しません。重力、糸の張力、もう一方の小球から受ける力が同時につり合っています。どの小球に着目し、どの距離を測るかを決めると、角度と電荷を結ぶ式が見えてきます。

どの配置なら力が打ち消し合うか

出方の1つは、つるした小球の角度から電気の力、さらに電荷の大きさを逆算する問題です。糸の長さと角度が与えられる場合、小球の中心間の距離は糸の長さそのものではありません。まず配置を描き、三角比で距離を出します。静止条件は小球ごとに立てます。

もう1つは、一直線上に置いた複数の電荷について、指定された小球が静止する位置や電荷を求める問題です。異符号なら引力、同符号なら斥力です。向きを決めずに大きさを足し引きすると、式が合っていても位置を誤ります。さらに対称な配置では、左右の力の成分が打ち消し合うか、加わるかを調べます。

ここで求めるのは、電荷を持つ小球に働く力のつり合いです。別の力が指定されていればそれも加えます。電荷を置かない点の電場を調べる問いとは区別し、対象となる小球を答案の最初に明記します。学習範囲は高等学校の物理における電気と磁気のうち、電気と電流に対応します。

力の矢印から式を作る

真空中に静止する点電荷 q₁、q₂ が距離 r だけ離れているとき、互いに及ぼすクーロン力の大きさ F は F=k|q₁q₂|/r² です。k は計算用のクーロン定数で、問題ごとに値を示します。電荷の絶対値を使うこの式は力の大きさを与えます。力の向きは符号と位置から別に決めます。

同符号なら相手から遠ざかる向き、異符号なら相手に近づく向きです。2つの力は大きさが等しく向きが反対で、それぞれ別の小球に働きます。これが作用反作用です。片方の小球に働く力として2本を足して零にすることはできません。複数の相手がある場合は、それぞれが対象に及ぼす力をベクトルとして足します。

図1のように同じ長さ l の糸で同じ点から同じ質量の小球をつるし、同じ符号で等しい大きさの電荷を与えます。左右対称に静止し、それぞれの糸が鉛直から角 θ をなす配置を考えます。小球の中心は同じ高さにあり、中心間距離は r=2l sinθ です。糸が鉛直となす角を使うことに注意します。

図1の右側の小球には、下向きの重力 mg、糸に沿う張力 T、左の小球から右向きに受ける力 F が働きます。鉛直と水平方向に分けると T cosθ=mg、T sinθ=F です。張力を消去して F=mg tanθ を得ます。これは水平な電気力と鉛直な重力を張力が同時に支えることから生じる関係です。

糸の長さが同じでも質量や他の力が異なる場合、この対称配置を先に決めることはできません。また、電荷が等しくなくても2球間の作用反作用の大きさは等しい一方、運動や静止角は質量などにも依存します。小球の半径が中心間距離に比べて十分小さく、電荷の分布を点に集めた近似が妥当という条件も必要です。導体球が近接すると表面の電荷分布が変わり、点電荷の式をそのまま精密な測定に使えません。

距離と力の関係も式から読み取れます。電荷を固定して距離を2倍にすると力は1/4倍です。力を縦軸、1/r² を横軸にしたグラフは、理想的な点電荷模型では原点を通る直線で、その傾きは k|q₁q₂| です。距離を横軸にしたグラフは直線ではありません。傾きを議論する前に、横軸が距離か距離の逆二乗かを確認します。

基本例題：角度から電荷を逆算する

真空中で、質量 0.030 kg の小球2個を長さ 0.20 m の軽い絶縁糸で同じ点からつるします。両球は同符号で等しい大きさの電荷を持ち、図2のように左右対称に静止しています。各糸と鉛直の角は 30° です。球を点電荷とみなし、空気の影響を無視します。計算用に重力加速度を 10 m/s²、クーロン定数を 9.0×10⁹ N・m²/C²、sin30°=1/2、tan30°=1/√3 とします。各電荷の大きさを C 単位で有効数字2桁に丸めて求めてください。

図2の右球に着目します。重力は 0.030×10=0.30 N で下向きです。左右の球は同じ高さなので、電気力は右向きです。張力の鉛直成分が重力に等しく、水平成分が電気力に等しいため、F=0.30/√3 N となります。

中心間距離は r=2×0.20×1/2=0.20 m です。両球の電荷の大きさを q とすると、F=kq²/r² です。したがって q²=(0.30/√3)×0.20²/(9.0×10⁹) となり、最後に丸めて q=8.8×10⁻⁷ C です。角度と斥力から両球が同符号とは判断できますが、両方が正か負かはこの観察だけでは決まりません。

答えを場面へ戻します。丸める前の q を使えば kq²/r² は 0.30/√3 N に戻り、その水平力と重力の比は 1/√3 です。したがって糸の角度は条件の 30° と一致します。丸めた電荷を代入したときの小さな差は、最後の丸めによるものです。

標準例題：一直線上の小球

真空中の水平な絶縁面上で、点電荷とみなせる小球 A を x=0 m、B を x=0.30 m に固定します。A は +2.0×10⁻⁶ C、B は +8.0×10⁻⁶ C です。摩擦を無視し、負の電荷を持つ小球 C を2球の間に置きます。C に働く電気力がつり合う位置 x を、A から右向きを正として m 単位、有効数字2桁で求めてください。C の電荷は固定され、A と B の電荷分布は変わらないものとします。

C は両方に引かれるので、A からの力は左向き、B からの力は右向きです。C の電荷の大きさと k を約して、2.0/x²=8.0/(0.30-x)² です。距離は正なので平方根を取り、0.30-x=2x、よって x=0.10 m です。B までの距離は 0.20 m です。

別解では、B の電荷の大きさが A の4倍なので、力を等しくするには B までの距離を A までの2倍にします。距離の合計が 0.30 m なので、A から 0.10 m です。元の配置に戻すと 2.0/0.10² と 8.0/0.20² は等しく、向きは反対です。外側では両方の引力が同じ向きとなるため、この条件ではつり合いません。C の符号を正に変えても2つの力はともに反転し、同じ位置でつり合います。ただし力の向きの確認は別途必要です。

発展例題：左右対称な2つの力

真空中で、固定した点電荷 A、B をそれぞれ座標 (-0.30 m, 0)、(0.30 m, 0) に置きます。ともに +4.0×10⁻⁶ C です。点電荷とみなせる小球 C は (0, 0.40 m) に固定され、+2.0×10⁻⁶ C を持ちます。計算用に k=9.0×10⁹ N・m²/C² とします。C が受ける合力の大きさを N 単位、有効数字2桁で、向きとともに求めてください。重力など電気力以外は合力に含めません。

A、B と C の距離はそれぞれ 0.50 m です。一方から受ける力の大きさは 9.0×10⁹×4.0×10⁻⁶×2.0×10⁻⁶/0.50²=0.288 N です。両方とも斥力で、C から見て斜め上向きです。水平成分は大きさが等しく反対向きなので打ち消し合い、鉛直成分は同じ向きに加わります。

各力の鉛直成分は 0.288×0.40/0.50 N です。合力は 0.4608 N、指定の形では鉛直上向きに 0.46 N です。逆に各成分を合成すると、水平は 0、鉛直は 0.4608 N に戻ります。力をつり合わせて静止させたいなら、電気力以外にこの合力と反対向きで同じ大きさの力が必要です。C の電荷を負に変えると、2つの力は引力となり、同じ大きさで鉛直下向きです。

測定で模型を試すとき

学校の指導の下で、絶縁糸と軽い小球を使った測定を考えます。球の中心の位置、糸の長さ、鉛直からの角度を記録し、球の距離から力を推定します。複数の距離で比較するには電荷を一定に保つ必要があります。電荷が漏れる間に距離を変えると、距離による変化と電荷による変化を分けられません。

角度の読み取りには視差があり、支点の位置や球の中心の決め方にも誤差が入ります。糸の質量、空気の流れ、近くの物体への誘導も理想模型との差の原因になり得ます。測定順を変えて繰り返し、時間とともに角度が系統的に変わるなら電荷の保持を疑います。得た値をすぐ法則の否定とせず、同じ条件でのばらつきと、条件を変えたときのずれを分けて考えます。

グラフが原点を通らないときは、中心間距離に球の表面間距離を使っていないか、背景の力が混じっていないかも点検します。逆に直線に近いだけで電荷が完全に一定だったと断定はできません。点電荷近似が破れるほど近い配置や、角度が小さすぎて読み取り誤差が支配的な配置は、模型を試す材料として慎重に扱います。

誤答を力の向きまで戻す

図3のように右の小球を対象にしたとき、「左右の小球に働く電気力は反対向きなので相殺する」という答えは誤りです。2本は異なる球に働く作用反作用の組です。右球のつり合いには右球が受ける重力、張力、左球からの力を入れます。対象を丸で囲み、矢印の始点を対象にそろえると区別できます。

次に、距離を2倍にしたとき力を1/2倍とする誤りがあります。式の分母は距離の二乗なので、電荷が固定なら1/4倍です。ただし糸の角度を変えた場合は、張力や球の位置も変わります。電荷と距離のどちらが条件として固定されているかを先に書きます。

また、対称な斜めの2力をそのまま引いて零にする誤りもあります。対称性が打ち消すのは反対向きの成分です。同じ向きの成分は加算します。左右に分ける軸と上下に分ける軸を描き、各矢印を投影してから足せば、対称という言葉だけで合力を零にする失敗を避けられます。

練習：条件を変えて確かめる

次の5問は互いに独立です。真空中で小球を点電荷とみなし、指定のない力は無視します。計算用のクーロン定数は k=9.0×10⁹ N・m²/C² です。小数で求める問いは有効数字2桁に丸め、向きも指定された場合は添えてください。

1. +3.0×10⁻⁶ C と +2.0×10⁻⁶ C の小球が 0.60 m 離れています。前者が後者から受ける力の大きさを N で、向きを相手との関係で答えてください。
2. 固定した2球の電荷を変えず、中心間距離を 0.40 m から 1.20 m に変えます。後の力の大きさは前の何倍か、分数で答えてください。
3. 正の小球 P と負の小球 Q を水平に固定し、その間に正の小球 R を置きます。R が受ける2つの電気力の向きをそれぞれ P、Q との関係で答え、電気力だけでつり合うかを答えてください。
4. 重力 0.40 N の帯電した小球を軽い糸でつるし、別の固定電荷から水平右向きに 0.30 N の力を受けて静止させます。糸の張力の大きさを N で、糸が鉛直から傾く向きを答えてください。
5. 左右に固定した等しい正の電荷から、中央より上にある正の小球がそれぞれ 0.50 N の斥力を受けます。各力は鉛直方向となす角が 60° です。左右対称として、合力の大きさを N で、その向きとともに答えてください。cos60°=1/2 とします。

練習の答えと照合

1. F=9.0×10⁹×3.0×10⁻⁶×2.0×10⁻⁶/0.60²=0.15 N です。同符号なので相手から遠ざかる向きです。逆にこの力と距離を使って積を戻すと 6.0×10⁻¹² C² となり、与えられた電荷の積と一致します。
2. 距離は3倍なので、力は 1/3²=1/9 倍です。逆に距離を元へ戻すと9倍になり、元の力に戻ります。電荷が変わらないことがこの比較の条件です。
3. P は R を押し、Q は R を引くので、どちらも P から Q へ向きます。両電荷が零でなく距離が有限なら、同方向の2力は打ち消し合いません。R の符号を逆にすれば両方が逆向きになりますが、やはり互いには同方向です。
4. 張力の水平成分は左向きに 0.30 N、鉛直成分は上向きに 0.40 N です。よって大きさは √(0.30²+0.40²)=0.50 N です。球は支点から見て右に傾きます。張力の2成分を元の力に加えると水平も鉛直も零になります。
5. 水平成分は左右で打ち消し、鉛直成分は各 0.50×1/2=0.25 N です。合力は鉛直上向きに 0.50 N です。各力を成分に戻すと鉛直成分の和が答えとなり、水平成分の和は零です。

手元に残す要点

• 力の向きは電荷の符号と相手の位置から決めます。
• 点電荷間の力の大きさは電荷の積に比例し、距離の二乗に反比例します。
• 作用反作用は別々の物体に働きます。
• つり合いは対象を1つ決め、各方向の力の和を零にします。
• 対称配置では打ち消す成分と加わる成分を分けます。

どこで止まったかを見分ける

式に数字を入れる前に、対象の小球に働く力を描けるか確かめます。矢印が相手の球から始まる場合は、作用する相手と力を受ける対象の区別から戻ります。図は正しいのに式が合わない場合は、角度の基準と成分の対応を確認します。距離を間違える場合は、球の中心と支点を結ぶ三角形に必要な長さを書き込みます。

個別指導では、同符号を異符号に変えたときに矢印がどう変わるか、距離を変えたときに何を固定したかを言葉で説明してもらいます。答えを元の配置に戻し、力の向きと大きさがつり合うかを一緒に点検します。符号、距離、対象の3つがそろうと、つり合いの式は配置から決まります。