高校物理 点電荷の電位—基準と符号をそろえて電場が零の点との違いを読む｜武蔵野個別指導塾

三つの点電荷の符号表と、電位が零でも力が残る例から、基準と向きの違いを点電荷の電位で読み解きます。

よくあるのは、高校生が電位が零なら試験電荷に力が働かないと書く場面です。正負の電位が打ち消し合う点を見つけるところまでは合っていても、そこで電場まで消えるとは限りません。電位は基準から測る数、電場は各電荷からの向きを含む量です。両者を別々の欄に置いて、同じ場所で何が消えたのかを読み直しましょう。

どの零を問われているか

出題の一つは、配置された点電荷から指定点までの距離を読み、電位の正負と値を求める型です。三つの電荷があるときは、電荷ごとの寄与を符号つきで表にしてから足します。距離は負にならず、寄与の符号は電荷の符号で決まります。対称な配置でも、電荷の大きさが異なれば打ち消しの判断は変わります。

もう一つは、電位が零の点と電場が零の点を比較する型です。電場は向きを考えて合成するので、電位の表とは別に矢印を描きます。さらに等電位面を使い、電場の向きや移動に伴う仕事を問う型もあります。面上の電位が同じという情報から、面に沿う仕事は求められますが、面に垂直な電場の大きさまでは、それだけでは決まりません。

学習範囲は、高等学校の物理における電気と電流の内容に対応します。ここでは静止した点電荷の電位と電場を扱い、時間とともに変わる電磁場は扱いません。

基準を置いて寄与を数える

電位は単位正電荷あたりの電気的な位置エネルギーです。点電荷Qから距離rの点で、無限遠の電位を零とすると、真空中の電位は V = kQ/r です。kはクーロン定数で正、rは正の距離です。Qが負ならVも負です。電位の単位Vはボルトで、位置エネルギーを電荷で割ったJ/Cと同じです。同じ記号Vを量と単位に使うため、式中と数値の後を区別して読みます。

この式の背景を仕事から見ます。正の試験電荷qを正の点電荷から遠ざけると、電気力の向きと移動方向が同じなので電気力は正の仕事をします。静かに運ぶ外力の仕事はその反対符号です。距離rから無限遠までの電気力の仕事はkQq/rであり、無限遠を位置エネルギー零とした点での位置エネルギーはkQq/rです。qで割れば電位の式になります。負のQの場合も符号を含めて同じ式が成り立ちます。

図1のように、各点電荷から観測点までの距離をそれぞれ測ります。電位はスカラーなので、各寄与を向きなしの符号つきの数として加えます。電場Eはベクトルであり、正電荷から遠ざかる向き、負電荷へ近づく向きの矢印を成分ごとに足します。試験電荷が十分小さく、元の配置を変えないという理想化も必要です。

図1ではr₁、r₂、r₃はそれぞれの電荷からPへの距離です。無限遠を共通の零に選んだとき、V(P) = k(Q₁/r₁ + Q₂/r₂ + Q₃/r₃)です。一方で電場の大きさの寄与はk|Q|/r²なので、電位の式に距離の二乗を入れてはいけません。各電荷の位置そのものでは点電荷模型の式は発散し、有限の値を代入できません。

基準を変えると、全地点の電位に共通の定数が加わります。電位差と電場は変わりませんが、電位が零となる場所は一般に変わります。有限個の点電荷では遠方の電位が零へ近づくため、無限遠基準を選べます。無限に広がる電荷分布ではこの選択が一般にできず、有限の位置を基準にした電位差を扱います。

等電位面は電位が同じ点の集まりです。点電荷1個なら、中心から同じ距離の球面になります。複数の電荷では形が変わります。静電場では等電位面に沿う移動の電気力の仕事が零なので、電場は滑らかな等電位面に垂直です。電場が零の点では方向自体が定まらないことに注意します。断面図の等電位線の間隔が狭いほど、同じ電位差に対する距離が短く、その付近の電場は強いと読めます。

基本例題：中央の電位と電場

真空中の一直線上で、点Aをx = -1.0 m、点Bをx = 1.0 mに置き、Aに+2.0 nC、Bに-2.0 nCの点電荷を固定します。原点Pの電位と電場を求めてください。無限遠の電位を零、右向きを電場の正方向とし、k = 9.0 × 10⁹ N・m²/C²を計算用近似値とします。結果は有効数字2桁で、電場には向きも付けます。点電荷以外の影響は無視します。

図2のようにPから両電荷までの距離は等しく、どちらも1.0 mです。まず電位について、各寄与はそれぞれ+18 V、-18 Vです。したがって合成電位は0 Vです。ここでは打ち消しが完全なので、零の有効数字は指定しません。

図2の矢印が示すように、Aによる電場は正電荷から離れる右向きです。Bによる電場も負電荷へ向かう右向きです。各電場の大きさは18 N/Cなので、合成電場は右向きに36 N/Cです。正の試験電荷をPに置けば右向きの力を受けます。負の試験電荷なら力の向きは反対ですが、電場そのものの向きは変わりません。

答えを配置へ戻すと、電位の2項は等しい距離と逆符号で相殺し、電場の2矢印はともに右を向いています。電位が零という結果と力が残る結果は矛盾しません。なお、Pの電位が零でも、基準をずらせばPの数値は変わります。電場と力の判定にはそのずらし方が影響しない点も確認してください。

三つの寄与を表にする

標準例題です。真空中のx軸上に、Aをx = -2.0 m、Bをx = 0 m、Cをx = 2.0 mに固定し、それぞれ+2.0 nC、-1.0 nC、+3.0 nCを置きます。点Pはx = 1.0 mです。無限遠を電位零、右向きを正とし、k = 9.0 × 10⁹ N・m²/C²とします。Pの電位と電場を有効数字2桁で求め、電場の向きも答えてください。

距離はAから3.0 m、BとCからそれぞれ1.0 mです。次の表は符号をつけた寄与で、電場は右向きを正にしています。

Aの正電荷はPを右へ押し、Bの負電荷はPを左へ引き、Cの正電荷はPを左へ押す向きの電場をつくります。電位は6.0 − 9.0 + 27 = 24 V、電場の成分は2.0 − 9.0 − 27 = -34 N/Cです。したがって電場は左向きに34 N/Cです。検算として、元の位置へ戻して向きを描くと、左向きの2項の和36 N/Cから右向きの2 N/Cを引いた値になります。

別解として電位は、共通のkを最後に掛けて求めても同じです。括弧の中をnC/mで計算すると2.0/3.0 − 1.0 + 3.0 = 8/3です。単位をC/mに直してkを掛ければ24 Vです。先に各項をボルトにする方法は符号表を確認しやすく、共通因子をくくる方法は分数のまま計算できる利点があります。電場では同じ操作の前に方向を成分に直す必要があります。

発展例題です。真空中のx = -aに+Q、x = aに-Qを固定します。aとQは正で、無限遠を電位零とします。原点を通りx軸に垂直な直線上の、原点から距離yの点を考えます。電位を求め、その点で電場が零か答えてください。ただしyは有限で、答えはk、Q、a、yを用いた式と向きで表します。

両電荷からの距離はともにr = √(a² + y²)です。電位はkQ/r − kQ/r = 0です。電場は正電荷から離れ、負電荷へ向かいます。x軸に垂直な成分は互いに逆向きで消え、x成分はともに正です。各電場の大きさkQ/r²に方向余弦a/rを掛けると、合成電場は正のx方向に2kQa/r³です。aとQは正でrは有限なので零ではありません。原点でも同じ式が使え、2kQ/a²となります。電位が一定の直線に沿って仕事が零でも、それに垂直な方向の電場は残る例です。

もし電荷が同じ正のQなら、同じ点の電位は2kQ/rで正です。原点では左右の電場が打ち消されて零ですが、電位は零ではありません。どちらの例も、電位の和と電場の成分和を別に計算すると確かめられます。

測定とグラフで考える境界

点電荷の式を確かめる模型として、学校の指導の下で、帯電した小さな物体からの距離を変え、電位差を静電電位計などで比較する計画を考えます。基準となる位置と測定点を固定し、距離と電位差を組にして記録します。点電荷の電荷が一定で、基準点の距離をR、測定点の距離をrとする理想模型なら、電位差はkQ(1/r − 1/R)です。横軸を1/r、縦軸を基準点との差にとると、傾きはkQ、横軸1/Rで縦軸は零となる直線です。

実際の物体には大きさがあり、距離が物体の寸法に近いと点電荷近似が悪くなります。周囲の導体による電荷の再分布、空気中への電荷の漏れ、測定器や位置の読み取りも影響します。物体に近づければ信号は大きくなる一方、近似や測定器の影響は増え得ます。距離を変える順序を入れ替えて繰り返し、時間による電荷の変化と位置による違いを区別する設計が役立ちます。模型の直線に合わないときは直ちに法則の誤りとせず、基準点、電荷の変化、距離の測り方を点検します。

間違いを矢印でほどく

図3のように、正負の電荷の中央で「電位が零だから電場も零」と書く誤答を考えます。誤りの原因は、正負の電位の打ち消しを、向きのある電場の打ち消しにもそのまま移したことです。正の電荷からの電場は外向き、負の電荷からの電場は内向きです。中央では同じ向きなので、矢印を足して修正します。

別の誤りは、電位の各項に電場の向きを付けることです。正電荷の左側だから電位を負にする、といった処理は不要です。電位の符号は基準と電荷の符号から決まり、左右では決まりません。また、距離に座標の負号をそのまま使うと、左側の点で誤った符号になります。距離は座標差の絶対値として求めます。

等電位面を電気力線と同じものとみなす誤りにも注意します。力線は電場に接する向きを示し、等電位面は電場に垂直です。線が交わる図を見たら、まずそれぞれが何を表すかを書き込みます。面上の2点で仕事が零でも、試験電荷に力が作用しないとは結論できません。

練習：基準、符号、向きを分ける

以下はすべて真空中の固定された点電荷を扱います。無限遠の電位を零とし、計算用近似値はk = 9.0 × 10⁹ N・m²/C²です。距離はm、電荷はCに直して計算してください。数値の答えは有効数字2桁、零は0と書き、電場には方向を付けます。

1. +4.0 nCの点電荷から3.0 mの点の電位を求めてください。
2. 一直線上の点Dに+6.0 nC、点Fに-2.0 nCを固定します。点SはDから2.0 m、Fから1.0 mです。Sの電位を求めてください。
3. x = -3.0 mに+3.0 nC、x = 3.0 mに+3.0 nCを固定します。原点の電位と電場を求めてください。
4. x = 0 mに-4.0 nC、x = 4.0 mに+2.0 nCを固定します。x = 2.0 mの点の電場を求めてください。右向きを正とします。
5. +5.0 nCの点電荷から2.0 mの点Uと5.0 mの点Wを考えます。UからWまで+2.0 nCの試験電荷を静かに移すとき、電気力の仕事を求めてください。元の電荷は固定し、試験電荷による配置の変化は無視します。

答えと途中式

1. V = 9.0 × 10⁹ × 4.0 × 10⁻⁹/3.0 = 12 Vです。逆に12 Vに距離3.0 mを掛けてkで割ると4.0 nCとなり、元の電荷に戻ります。

2. Dの寄与は27 V、Fの寄与は-18 Vです。合計は9.0 Vです。各距離に戻して見ると、正の寄与の大きさが負の寄与より9.0 V大きく、合計の符号も正です。距離が短い負電荷が必ず優勢になるとは限りません。

3. 電位は各9.0 Vの和で18 Vです。電場の各大きさは3.0 N/Cで、左の電荷からは右、右の電荷からは左を向くため、合成は0 N/Cです。元の対称配置に戻すと、等距離の同符号電荷が逆向きの電場をつくることが確認できます。

4. 左の負電荷による電場は左向き9.0 N/C、右の正電荷による電場は左向き4.5 N/Cです。合成は左向き14 N/Cです。丸める前は13.5 N/Cです。元の配置では両方の矢印が左を向き、強さが加わるため、この結果の向きと大小は整合します。

5. Uの電位は22.5 V、Wの電位は9.0 Vです。電気力の仕事はq(VU − VW) = 2.0 × 10⁻⁹ × 13.5 = 2.7 × 10⁻⁸ Jです。正電荷が反発する向きへ遠ざかるので、仕事は正です。位置エネルギーの減少も同じ量となり、元の移動の向きと一致します。

覚えておくこと

• 電位は基準をそろえ、各電荷の寄与を符号つきで足します。
• 電場は各寄与の向きを成分に直して足します。
• 電位が零でも電場は零とは限らず、その逆も成り立ちます。
• 等電位面に沿う電気力の仕事は零ですが、垂直方向の力は残り得ます。

どこで立ち止まったかを見る

距離を測る段階で止まる場合は、電荷と観測点の座標差を図に書き、距離を正の数に直せるか確かめます。次に符号表の各行を指し、その符号が電荷から決まったのか、電場の向きから決まったのかを言葉にします。表が正しくても合成電場を間違える場合は、電荷ごとの矢印を別々に描き、最後に同一直線上の成分を足します。

個別指導では、電位が零の点で試験電荷を少し動かしたとき、どちらへ押されるかを図と式で説明できるかを確かめます。答えの数値を出した後も、等距離や電荷の符号を元の配置に戻して、打ち消す量と加わる量を照合します。基準と向きを分ければ、同じ零という記号が表す違いを読み取れます。