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高校物理一様電場と電位差—移動方向と等電位線から仕事の正負を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴物理を掘り下げる電磁気

斜めや折れ曲がった移動で、電位差と電気力・外力の仕事の符号を考える場は一様場です。

よくあるのは、高校生が電荷の斜めの移動距離をそのまま電場の強さに掛けてしまう場面です。移動の線分は長く見えても、そのうち電気力の向きに沿う部分はもっと短いかもしれません。電場に垂直な移動なら、距離があっても電気力の仕事は零です。図に電場の向きを描き、始点と終点を比べるところから考え直しましょう。

学習指導要領解説の「物理」の電気と磁気に含まれる電気と電流に関わる内容として、電場と電位を扱います。

どの長さとどの符号を選ぶか

出題の形は大きく3つあります。1つ目は、電場の中を斜めに移る電荷について、電位差と電気力の仕事を求める形です。直線の長さではなく、電場方向への変位を取り出します。移動方向と電場がなす角がわかる場合は、移動距離にその角の余弦を掛けた符号つきの成分が使えます。

2つ目は、長方形の辺に沿って折れ曲がる経路を比べる形です。電気力がする仕事は、横向きと縦向きの各区間に分けて求められます。静電場では始点と終点が同じなら、途中の経路が違っても合計は同じです。途中で引き返した分も符号つきで足すと、この性質が見えてきます。

3つ目は、電位のグラフや等電位線から電場を読む形です。電位が距離とともに下がる向きが電場の向きです。横軸と縦軸の量を確認し、電位の傾きに負号を付けて電場の成分を求めます。電場が右向きでも、負の電荷には左向きの力が働くことを別に考えます。

電場に沿う変位と電位の坂

電場 E は、正の試験電荷が受ける力の向きを持つベクトルです。以下では大きさ E の一様な静電場が右向きにあるとし、右向きを x の正方向とします。電荷 q を置くと、その電荷が受ける電気力の x 成分は qE です。q が負なら、この成分も負で力は左向きです。試験電荷は場を乱さないほど小さいものとします。

図1のように、縦の線はそれぞれ同じ電位を持つ点を結ぶ等電位線です。右へ進むほど電位は低くなります。同じ縦線上を移動する場合、電気力と移動方向は垂直ですから、電気力は仕事をしません。異なる縦線を横切るときに、電場方向の変位が生じます。

始点を A、終点を B とし、右向きの変位を Δx = xB − xA とします。力が一定なので、電気力の仕事 W は力の方向成分と変位から W = qEΔx です。電位 V は単位正電荷あたりの位置エネルギーです。電気力がした仕事は電気的な位置エネルギーの減少に等しいため、次の関係になります。

W = q(VA - VB)
qEΔx = q(VA - VB)
VB - VA = -EΔx

最後の式は電位差を表します。電荷を置かなくても、同じ場の2点にはこの電位差があります。電場方向に進むと電位は下がり、逆向きに進むと上がります。電位の基準には任意の値を選べますが、同じ定数を両端に加えても差は変わりません。電位が零の点であっても、そこで電場が零とは限りません。

この関係は、正電荷を電場方向に動かすと電気力が正の仕事をし、その分だけ位置エネルギーが減ることから理解できます。負電荷では電気力と変位の向きが反対になり、仕事も逆符号です。ただし、電場の向きや電位の高低は試験電荷の符号で入れ替わりません。場の性質と、そこに置いた電荷の受ける作用を分けます。

静電場の等電位面に沿って動くと電位差が零です。一様電場では等電位面は電場に垂直な平面になり、紙面との交わりが図1の直線です。電位差が等しい隣り合う面の間隔が狭いほど、同じ距離あたりの電位の変化が大きく、電場も強くなります。面が等間隔でない図から電場の大きさを読むときは、差の大きさも一緒に確認します。

力を加える人や装置を含めて仕事を考えると、外力の仕事と電気力の仕事は同じものではありません。他の力の仕事を無視でき、初速と終速の大きさが等しい場合、運動エネルギーの変化が零なので、外力の仕事は -W です。ゆっくり一定速度で運ぶ場合もこの条件に含まれます。速度が変わる場合には、外力の仕事を単に -W と決めず、両者の和を運動エネルギーの変化に等しく置きます。

基本例題：対角線を渡る

十分広い平行な板の間に、右向きに大きさ 200 V/m の一様な静電場があります。板の端の影響と重力は無視します。左下の点 A から右上の点 B へ、正の電荷 2.0 μC を直線に沿って移します。図2のように横の変位は右へ 0.030 m、縦の変位は上へ 0.040 m です。A の電位を 12 V とします。B の電位と、電気力が電荷にする仕事を、いずれも有効数字2桁で求めてください。値は問題用に設定したものです。

図2の対角線の長さは 0.050 m ですが、電場に沿う変位は 0.030 m です。縦の 0.040 m は電場に垂直なので、電位差には寄与しません。右を正として電位の変化を求めます。

VB - VA = -(200 V/m) × 0.030 m
VB - VA = -6.0 V
VB = 12 V - 6.0 V = 6.0 V

A から B へ電位は 6.0 V 下がります。正電荷は電場の向きへ進む成分を持つので、電気力の仕事は正です。1 μC は 10⁻⁶ C で、1 C・V は 1 J です。

W = q(VA - VB)
W = (2.0 × 10⁻⁶ C) × (6.0 V)
W = 1.2 × 10⁻⁵ J = 12 μJ

答えを場面へ戻すと、電位の下がり 6.0 V を横の距離 0.030 m で割れば 200 V/m です。また電気力の大きさは 4.0 × 10⁻⁴ N で、それに右向きの変位を掛けても 1.2 × 10⁻⁵ J です。直線の長さ 0.050 m を使うと、縦移動の分まで仕事に含めてしまいます。

別解として、A から右下の角を通り B に至る経路を考えます。横の区間では 12 μJ、縦の区間では零なので合計は同じです。実際の経路を勝手に取り換えてよい理由は、この場が静電場であり、始点と終点の電位差で仕事が決まるからです。一般の時間変化する電磁場について、同じ結論を無条件に使うわけではありません。

戻る区間のある経路と電位グラフ

標準例題：負電荷を折り返す

右向きに 150 V/m の一様な静電場がある平面を考えます。x = 0 m の電位を 20 V とし、右を x の正方向とします。電荷 -3.0 μC を x = 0.080 m の点 P から、右へ 0.030 m、次に左へ 0.090 m 動かし、さらに電場に垂直な方向へ動かして点 Q に運びます。他の力の仕事は無視でき、十分ゆっくり一定速度で運ぶものとします。端の影響は無視します。P と Q の電位、電気力と外力それぞれの仕事を、有効数字2桁で求めてください。

Q の x 座標は 0.080 + 0.030 − 0.090 = 0.020 m です。垂直移動では x 座標は変わりません。基準からの変位を使い、それぞれの電位を求めます。

VP = 20 V - (150 V/m) × 0.080 m = 8.0 V
VQ = 20 V - (150 V/m) × 0.020 m = 17 V
W = (-3.0 × 10⁻⁶ C) × (8.0 V - 17 V)
W = 2.7 × 10⁻⁵ J = 27 μJ
外力の仕事 = -27 μJ

負電荷は左向きの電気力を受け、全体として左に動くので、電気力の仕事が正になると方向からも判断できます。一定速度で運ぶ外力は電気力と反対向きに働くため、その仕事は負です。電気的な位置エネルギーの変化は -27 μJ で、外力が取り出すエネルギーに対応します。

区間ごとにも確かめます。右向きの区間では電気力と移動が反対で -13.5 μJ、左向きの区間では同じ向きで 40.5 μJ、垂直な区間では零です。合計は 27 μJ となり、経路の長さ 0.120 m を単純に掛ける方法とは異なります。中間の値は丸めずに足し、最後に指定の桁にします。

発展例題：直線の傾きから仕事へ

一様な静電場の中で、右を x の正方向とします。電位 V と x のグラフは直線で、x = 0 m で 30 V、x = 0.20 m で -10 V です。この範囲で電荷 -4.0 μC を x = 0.040 m の点 R から x = 0.16 m の点 S まで運びます。途中で電場に垂直な方向にも移りますが、場の領域から出ません。重力など他の力の仕事は無視し、ゆっくり一定速度で運びます。端の影響を無視して、電場の大きさと向き、R と S の電位、電気力および外力の仕事を有効数字2桁で求めてください。

グラフの傾きは電位の変化を座標の変化で割った値です。電場の x 成分はその傾きに負号を付けたものです。

傾き = (-10 V - 30 V)/(0.20 m - 0 m) = -200 V/m
Ex = -傾き = 200 V/m
VR = 30 V - (200 V/m) × 0.040 m = 22 V
VS = 30 V - (200 V/m) × 0.16 m = -2.0 V
W = (-4.0 × 10⁻⁶ C) × (22 V - (-2.0 V))
W = -9.6 × 10⁻⁵ J = -96 μJ
外力の仕事 = 96 μJ

電場は右向きで、大きさは 200 V/m です。R から S に行くと電位は 24 V 下がりますが、負電荷の位置エネルギーは 96 μJ 増えます。一定速度で右に運ぶ外力が正の仕事をし、電気力は負の仕事をします。答えの電位を使うと (VS − VR)/(0.16 m − 0.040 m) は -200 V/m となり、元のグラフの傾きに戻ります。

別の見方では、電気力の x 成分は -8.0 × 10⁻⁴ N、x 方向の変位は 0.12 m です。両者の積は -96 μJ となります。グラフの縦軸が電位でなく位置エネルギーなら、この傾きにそのまま負号を付けても電場にはなりません。電荷の符号と大きさを含む量かどうかを先に見ます。

測定の設計とグラフの読み取り

電位の空間変化を調べるには、学校の指導の下で、低い電圧を使う測定装置や電位を調べる教材を用い、基準点を固定して位置と電位の組を記録します。平行な電極を持つモデルなら、中央付近で電極に垂直な方向に測定点を並べ、電極に平行な方向にも点を取って同じ電位に近い位置を探します。電極間の中心と端に近い場所を分けて比較すると、一様とみなせる領域を吟味できます。

横軸に位置 x、縦軸に電位 V を取ります。位置が等間隔のとき、電位がほぼ同じ幅で下がれば、その区間の電場の成分はほぼ一定です。例えば自作の模型として、0 m、0.10 m、0.20 m に対応する値を 9.0 V、7.0 V、5.0 V とすると、両区間の傾きは -20 V/m です。これは計算のための値であり、実測結果ではありません。右向きの電場成分は 20 V/m と読みます。

測定点の位置の読み違い、電位計の分解能、接触位置のずれは傾きを変える原因になります。端付近では電極の有限な大きさのために電場が曲がり、一様場の式から外れることもあります。点を増やし、同じ位置を繰り返して測ってばらつきを調べる方法と、端から離れた区間どうしの傾きを比べる方法を組み合わせます。繰り返しのばらつきが小さくても、基準点の取り違えなど共通のずれは残り得ます。

間違いを図から直す

図3のように、右向きの電場の中で A から B へ斜めに進む場合を考えます。「斜めの距離全体に qE を掛ける」という答えは、電気力が移動方向と平行でない点を落としています。右向きの変位を取り出して qEΔx と直せば、上向きの移動を余分に数えずに済みます。

次に「負電荷なので電位も逆向きに下がる」という誤答があります。電位の変化は場と位置で決まり、電荷の符号とは別です。先に VB − VA = -EΔx で電位差を決め、それから q を掛けて位置エネルギーと仕事の符号を調べます。正負の電荷を同じ2点間で動かせば、電位差は同じで電気力の仕事の符号が反対になります。

さらに「外力の仕事はいつも電気力の仕事の反対」とする誤りがあります。外力以外の仕事や運動エネルギーの変化があると、その分を収支に含める必要があります。たとえば電気力だけで加速される電荷では外力の仕事は零ですが、電気力の仕事は運動エネルギーの変化に等しくなります。どの力の仕事を問うているかに印を付け、速度の条件を読んでから式を選びます。

練習：位置と仕事を別々に決める

以下は自作の設定です。各問で静電場は一様で、端の影響と重力は無視します。指定した桁に最後に丸めてください。電場は周囲の電荷によって維持され、試験電荷は場を乱さないものとします。

右向きの電場の大きさは 80 V/m です。右を正とし、ある点から右へ 0.25 m、上へ 0.60 m 移動します。終点の電位から始点の電位を引いた値を、有効数字2桁で求めてください。
下向きに 50 V/m の電場があります。電荷 4.0 μC を上へ 0.30 m 動かします。電気力がする仕事を符号つきで、有効数字2桁の μJ 単位で求めてください。
右向きに 60 V/m の電場があります。ある点から右へ 0.20 m 移り、次に左へ 0.50 m 移ります。初めの電位を 5.0 V として、終点の電位を有効数字2桁で求めてください。
右を x の正方向とする電位のグラフは直線です。x = 0 m で -4.0 V、x = 0.40 m で 8.0 V です。この間の電場の大きさと向きを有効数字2桁で求めてください。
2点 C、D の電位はそれぞれ -3.0 V、7.0 V です。電荷 -5.0 μC を C から D へ、他の力の仕事を無視できる状態でゆっくり一定速度で運びます。電気力と外力の仕事をそれぞれ符号つきで、有効数字2桁の μJ 単位で求めてください。

練習の答えと途中式

電場方向の変位は右へ 0.25 m です。終点の電位から始点を引くと -(80 V/m) × 0.25 m = -20 V です。0.60 m の移動は電場に垂直で寄与しません。電位の低下 20 V を 0.25 m で割ると、設定の 80 V/m に戻ります。
電気力は下向きで、移動は上向きです。W = -(4.0 × 10⁻⁶ C) × (50 V/m) × 0.30 m = -60 μJ です。上へ進むと電位は 15 V 上がるので、q(V始 − V終) でも -60 μJ です。
正味の変位は 0.20 m − 0.50 m = -0.30 m です。電位変化は -(60 V/m) × (-0.30 m) = 18 V、終点は 5.0 V + 18 V = 23 V です。右へ進む区間で 12 V 下がり、左へ戻る区間で 30 V 上がることからも、終点の 23 V を確かめられます。
傾きは (8.0 V − (-4.0 V))/0.40 m = 30 V/m です。電場成分はその負なので、大きさ 30 V/m、向きは左です。左向きの電場なら右へ進むと電位が上がり、与えられた両端の電位と一致します。
電気力の仕事は (-5.0 × 10⁻⁶ C) × (-3.0 V − 7.0 V) = 50 μJ です。運動エネルギーは変わらないので外力の仕事は -50 μJ です。位置エネルギーは q(VD − VC) = -50 μJ 変化し、電気力の正の仕事と対応します。

覚えておくこと

電場方向を正に取ると、一様場では電位差は VB − VA = -EΔx です。
電気力の仕事は W = q(VA − VB) で、電荷の符号を含めます。
等電位線に沿う移動では電気力の仕事は零です。
静電場の仕事は始点と終点で決まり、折り返しは符号つきで足します。
外力の仕事は、他の仕事と運動エネルギーの変化を確認して求めます。

解き方のどこで止まったかを見る

斜めの矢印を見てすぐに全長を式に入れたなら、まず電場に平行な補助線を描き、どの長さが横の変位かを説明してみてください。始点と終点が同じで途中だけ違う2つの経路を描き、各区間の仕事を足して比較すると、距離の合計と変位の違いを確かめられます。

符号が合わない場合は、電位差、電荷、求める仕事を別々の行に書きます。個別指導では、正電荷なら力がどちらを向くか、負電荷に替えると何が反転するかを図と式の両方で確かめます。最後に外力と電気力の仕事を区別し、速度が変わる設定でも同じ式が使えるかを問い直します。電位の坂と電荷の符号を分けて読むと、仕事の正負に理由がつきます。