高校物理 導体の静電平衡—内部と表面の電場から帯電と接地の違いを説明する｜武蔵野個別指導塾

外部電荷を近づけ、接地線を外す順序による電荷の出入りを追い、表面と内部の電場から考える静電平衡。

よくあるのは、高校生が接地線を切る前後で導体の電荷は同じだと思い、外部電荷を遠ざけた後も無電荷と答える場面です。線を切る瞬間に電荷が急に生まれるわけではありません。その前に大地との間を移動した電荷が、切断後の導体に残るのです。各操作の終わりに何が保存され、どこが等電位かを順に調べましょう。

どの段階の条件か

出題には、外部の帯電体を近づけた孤立導体の表面の符号を問う型、接地と切断の順序から最後の電荷を判定する型、導体内外の電場と電位を説明する型があります。どれも最初に絵を描き、接地線がつながっているかを時刻ごとに記すと、使う条件が見えます。

孤立している段階では、導体の正味電荷が保存されます。一方、接地されている間は導体だけを取り出した電荷は保存量ではありません。大地を含む系で電荷が保存され、導体と大地の間では電子が移動できます。接地を外した後に保存されるのは、切断直前の導体の正味電荷です。初めの値とは限りません。

もう一つの焦点は、電場と電位の区別です。導体内部の電場が零であれば内部の電位は一定ですが、その一定値が必ず零とは限りません。接地は大地を基準とした電位を定める条件です。電場が零という局所の条件と、電位が零という基準つきの条件を別の行に書くと混同を避けられます。

電子が止まるところまで考える

金属の中には移動できる電子があります。外から電場を加えると電子は電場と反対向きに力を受けて移動し、表面の電荷分布が変化します。この移動が作る電場も元の電場に重なります。やがて導体内部の合成電場が零になり、巨視的な電荷の移動が止まった状態が静電平衡です。ここでの内部は金属そのものの部分を指します。

内部に電場が残ると自由電子に力が働き、電荷の再配置が続きます。したがって静電平衡の条件として E = 0 が必要です。電場と電位差の関係から、内部の任意の2点を結ぶ道に沿って電場が零なら、その2点の電位差も零です。表面まで連続につなげれば、1つながりの導体は表面を含めて等電位です。逆に、電位が場所によらず同じ領域では電場は零です。

図1のように正に帯電した物体を左から近づけると、導体の電子は左へ引かれます。近い側は電子が余って負、遠い側は電子が不足して正になります。外部から電子を受け取らない孤立導体なら、負と正の正味電荷の和は初めの値のままです。例えば初めが無電荷なら、負の量と正の量は等しくなります。符号が分かれたことと、正味電荷が増えたことは別です。

導体表面のすぐ外の電場は、静電平衡なら表面に垂直です。もし表面に沿う成分があれば、表面の電子がその方向に移動し続けるからです。垂直というのは合成電場の向きであり、外部電荷が単独で作る電場の向きではありません。また、表面外側の電場は一般に零ではありません。導体内部で互いに打ち消し合っていても、外側まで打ち消し合うとは限らないからです。

接地では導体を十分大きい大地につなぎ、大地の電位を零とする模型を使います。正の帯電体が近くにある場合、接地中に大地から電子が導体へ流入します。平衡後は導体と大地が等電位になります。電子が余った状態で線を外すと、導体は負に帯電します。外部電荷を後で遠ざけても、孤立導体の正味電荷は残り、表面上に再分布します。

この説明は操作を十分ゆっくり行い、各段階で平衡に達する理想化です。空気への漏れや支持具を通る漏れが無視できない場合は、孤立という条件が崩れます。空洞内に電荷を置いた場合の分布は、ここでは扱いません。学習範囲は高等学校の物理の電気と電流に対応します。

基本例題：近づけてから接地を外す

初め無電荷の孤立した金属球Aに、正に帯電した棒を左から近づけます。棒は球に触れず、その位置に固定します。次に球を接地し、静電平衡を待ってから接地線を外します。最後に棒を十分遠ざけます。各段階で球の正味電荷の符号を答え、接地中の電子の移動方向も述べてください。漏れは無視し、棒と大地は十分大きく、各操作後に平衡になるものとします。

図2のように、棒を近づけただけの球は孤立しています。電子が左側に集まり、右側に正の部分が現れますが、球全体の正味電荷は初めと同じ零です。次に接地すると、電子は大地から球へ移動します。球の電位が大地と等しくなるまで移動するので、接地中の球の正味電荷は負です。

棒を固定したまま線を外すと、球の外へ電子が移動する経路がなくなります。このとき球は負の電荷を保ちます。続いて棒を遠ざけても、球内で電荷の位置が変わるだけです。最終的な正味電荷も負です。孤立した球の正味電荷が、接地前の零から接地中に負へ変わり、切断後は負のままと段階を追えば、最初と最後を取り違えません。

確認として、接地中に球へ入った電子を大地側から見ます。球が得た負電荷に対応して大地側の電荷は増加方向に変わり、球と大地を合わせた電荷は保存されます。大地は巨大なので電位の変化を無視する模型です。大地が無限に電荷を生み出すという意味ではありません。

標準例題：順序を入れ替える

初め無電荷の孤立金属球Bに、負の帯電棒を触れずに近づけ、棒を固定したまま球を接地します。平衡後、接地したまま棒を十分遠ざけ、最後に接地線を外します。球の正味電荷の符号を、接地中に棒が近い時と、棒を遠ざけて平衡になった時について答えてください。大地を零電位、漏れを無視し、他の近くの帯電体はないものとします。

棒が近い間、球の電子は棒に反発され、大地へ流出します。したがって球は正に帯電します。しかし、接地したまま棒を遠ざけると、球はなお大地と電子をやり取りできます。遠くに棒がなく、他の帯電体もない最終条件では、大地と等電位の球は正味無電荷です。大地から電子が戻って不足を埋めるためです。最後に線を外しても正味電荷は零です。

線を先に外した場合との違いは、棒を遠ざける間に大地への通路が残るかどうかです。順序を変えずに「負の棒だから最後は正」と覚えると、この問題では誤ります。別の見方では、棒を遠ざけた後も接地が続くので、最終状態に対し零電位という条件を使えます。線を先に切った場合には、零電位を最後まで使えず、代わりに切断時の電荷保存を使います。

発展例題：測定値から出入りをたどる

大地を含めた系が外から孤立しているとします。初め無電荷の金属球Cに正の帯電体を近づけて固定し、球を接地したところ、球に大地から負電荷が合計 6.0 nC 入りました。平衡後に接地線を外し、帯電体を遠ざけます。漏れを無視して、接地後と最後の球の正味電荷、大地の電荷の変化を符号つきで nC 単位、有効数字2桁で答えてください。球と帯電体は接触しません。

球の初期電荷は 0 nC なので、負電荷の流入後は 0 − 6.0 = -6.0 nC です。切断後は球が孤立するため、棒を遠ざけた後も -6.0 nC です。大地から球へ -6.0 nC が移ったので、大地の変化は +6.0 nC です。球と大地の変化を足すと -6.0 + 6.0 = 0 nC で、保存に戻ります。

ここで 6.0 nC は問題で与えた電荷移動量です。棒の電荷や距離だけから、球の電荷が必ずこの値になると結論したわけではありません。実際の移動量は球の形、大地との位置関係、棒の位置などに依存します。接地後に帯電体が作る影響と球自身の電荷が作る影響を合わせて零電位になることと、球の電荷が零であることは異なります。

測定を考えるなら、学校の指導の下で、同じ導体と帯電体を使い、距離を変える場合も接地と切断の順序を固定します。切断後の球の電荷を測る計器は、球に接続した際に電荷を移す可能性があります。測定器そのものの影響、湿度による漏れ、棒の帯電量の変化を区別し、条件をそろえた繰り返しでばらつきを確認します。測定前に線を外したかの記録も必要です。

仮に横軸を棒と球の間隔、縦軸を切断後の球の電荷として記録したグラフを作るなら、軸に単位と符号を付けます。負の値が零に近づくことと、負電荷の大きさが増えることは逆です。点の高さだけでなく、同じ条件の比較か、漏れによって時間とともに変化していないかを読みます。形や距離の条件を指定せず、どの装置でも同じ曲線になるとは決められません。

誤答から条件を取り戻す

図3の左側は接地中です。「球は最初に無電荷だから、この間も正味電荷は零」という答えは、球を孤立系として扱ったことが原因です。大地との接続線があるので電子は境界を越えます。修正するには、球と大地を合わせた系を囲み、球単独では電荷が変化できると書きます。

右側は切断後です。「接地線を外しても球の電位はずっと零」という答えも誤りです。切断直後は電位が連続的に零から始まる理想化でも、その後に外部電荷を動かせば電位は変わり得ます。線がない段階では、零電位ではなく正味電荷の保存を使います。電位は外部の状況と表面の分布に依存します。

「内部の電場が零だから表面の電荷も零」と考える誤りもあります。内部で合成電場を打ち消すために、むしろ表面の電荷分布が必要になる場合があります。図には外部電場と表面電荷が作る電場の両方を書き、導体内部での合成を考えます。さらに「導体は等電位だから電位が零」と結ぶ誤りは、基準と接地の有無を書き足して直せます。

自分で解く5問

いずれも金属は静電平衡に達し、漏れを無視します。正味電荷は符号つきで答えます。数値のある問題では nC 単位で整数として答えてください。

1. 初め無電荷の孤立導体Dに負の帯電体を近づけて固定します。導体の近い側と遠い側の電荷の符号、導体全体の正味電荷を答えてください。
2. 問1とは別の初め無電荷の導体Eに負の帯電体を近づけて固定し、接地して平衡にした後、帯電体を固定したまま線を外し、最後に帯電体を遠ざけます。接地中の電子の向きと最後の導体の符号を答えてください。
3. 孤立導体Fの初めの正味電荷は +8 nC です。外部の帯電体を触れずに近づけた後、導体表面の近い側の正味電荷が -3 nC になりました。残りの表面の正味電荷を求めてください。
4. 初め無電荷の導体Gを正の帯電体の近くで接地すると、大地から導体へ -4 nC が流入しました。その後、帯電体を固定したまま線を外します。球と大地それぞれの電荷の変化を求めてください。
5. 大地を零電位とします。孤立導体Hは電位 +7 V の静電平衡にあり、近くに別の帯電体があります。導体内部の電場と、内部の2点間の電位差を答えてください。接地はしません。

答えと途中の確認

1. 近い側は正、遠い側は負、全体は零です。負の帯電体が電子を遠い側へ押すからです。導体の外へ電荷は移動せず、分離した正負の和は零になります。
2. 電子は導体Eから大地へ移動し、導体は正に帯電します。線を外した後は電荷が保存されるので、帯電体を遠ざけても正です。大地側に移った電子の負電荷と導体の正電荷を合わせると、初めの総電荷に戻ります。
3. 残りを Q nC とすると、-3 + Q = +8 より Q = +11 nC です。近い側と残りを戻して足すと -3 + 11 = +8 nC となり、初めの正味電荷と一致します。部分の符号が負でも、導体全体が負とは限りません。
4. 導体の変化は -4 nC、大地の変化は +4 nC です。2つを合計すると零です。線を切った後は導体の -4 nC が残ります。大地の変化を負とすると、両者が同じ負電荷を得たことになり、与えられた移動と合いません。
5. 内部の電場は零、2点間の電位差も 0 V です。内部の各点の電位が +7 V なので、差は +7 − (+7) = 0 V です。導体の電位そのものは零でなくても、電位差は零です。

覚えておくこと

• 静電平衡の導体内部では合成電場が零で、導体は等電位です。
• 孤立導体の正味電荷は保存され、表面内の分布は変わります。
• 接地中は大地との間で電荷が移動し、導体の電位は大地と等しくなります。
• 接地線を外した後は、その時点の正味電荷を保ちます。
• 外部電荷と接地線を外す順序で、最終状態は変わります。

答案のどこで止まったか

符号を間違えたときは、まず棒の符号と電子が受ける力の向きを図に書けるかを見ます。次に接地線がある段階を囲み、電子が境界を越えられるかを言葉にします。正味電荷の保存を使う時点が曖昧なら、各操作後の値を横並びにし、線を外す直前と直後を比較します。

個別指導では、導体内部の電場が零である理由を、電子が動き続けるかどうかから説明できるかも確かめます。等電位と零電位を区別し、外部電荷を動かした後にも使える条件を選べれば、暗記した符号に頼らず操作順を追えます。接地線の有無が、保存する量を決めます。