高校地理 等高線の標高判定—線の間隔と標高の差を分けて高さの範囲を絞る｜武蔵野個別指導塾

隣り合う等高線と地点の位置から上下限を絞り、端を含むかどうかも考える標高判定。

よくあるのは、高校生が2本の等高線の間にある地点を見て、真ん中あたりだから標高も両方のちょうど真ん中だと答える場面です。線の位置は高さを考える手掛かりですが、間の斜面が一定の割合で上がるとは限りません。まず線の高さと、地点が線の上か間かを分けて読みます。そのうえで、どこまで言えるかを不等号で表しましょう。

高さを問う資料の3つの型

1つ目は、標高が書かれた線と等高線の標高差を手掛かりに、別の線の高さを求める型です。高くなる向きと、間に何段あるかを先に確かめます。線の本数を数えるとき、出発点の線を1段目とすると差が1段多くなるので、線と線の間を数えます。

2つ目は、線の間の地点について標高の範囲を求める型です。隣り合う2本の線の高さがわかり、その間にある地点がどちらの線上にもないなら、両方の高さを含まない範囲として表せます。値を1つに決める問いではなく、決められる上下の境界を答える問いです。

3つ目は、2地点の標高差や高低関係を比べる型です。別の帯にあれば上下関係が決まる場合がありますが、同じ帯の中なら位置だけではどちらが高いか決まりません。範囲どうしを引くときは、最小値や最大値を実際に取れるかまで注意します。

線の高さと線の離れ方を分ける

等高線は、地表の同じ標高の地点を結んで表した線です。標高は、基準となる面からの高さとして読み、ここではメートルを単位にします。線上の地点の標高と、線と線の間の地点の標高を同じ方法で扱わないことが出発点です。

等高線の標高差は、隣り合う高さの線の間で何 m 違うかを表します。一方、図上で線がどれだけ離れているかは長さです。同じ標高差でも、水平距離が短ければ平均的な傾斜は急になり、長ければ緩やかになります。高さの差と図上の長さは単位も役割も違います。

図1のように、標高 120 m と 140 m の線に挟まれ、両線上にない地点 P を考えます。ここでは2本は標高の順に隣り合い、P のある帯にはその間の高さの等高線が省かれていないという条件を置きます。P の標高を h m とすると、120 < h < 140 です。図は地表の断面を模式的に示したもので、平面の等高線網ではありません。

図1の P が横方向に線間の中央に見えても、130 m とは限りません。たとえば P が 124 m の斜面も、136 m の斜面も、両端の標高と P が帯の内部にあるという条件に合います。どの高さになるかは、その間の斜面の形をもっと詳しく知らなければ決められません。

不等号の端に等号を付けない理由は、P が線の上にないからです。もし P が 120 m の線上にあると明示されれば、P はちょうど 120 m です。逆に「120 m 以上 140 m 未満」という条件を問題が直接与えるなら、120 m を含めます。端を含むかは、線や文章の条件に従って決めます。

この判断には、資料を読む前提があります。地表が連続し、必要な等高線が表示され、どの帯に地点があるかを資料または問題文から確かめられることです。線が省略されていたり、標高の並びや高くなる方向が示されなかったりすると、見た目だけで同じ範囲を確定できません。崖や表現上の省略など、通常の読み方だけでは扱えない条件も、問題の説明を優先します。

図面上の距離と標高を比例させるには、一定の傾きで直線的に上がるという追加条件が必要です。そうした条件がない場合の中点は、計算に使う値ではなく、位置を説明する言葉にとどまります。個々の等高線の種類や実際の地図での標高差は、図の凡例や説明を確かめます。ここで使う数値は例題の条件です。

境界がわからないときは何を保留するか

資料を読んでいると、標高の数字が一部の線にしか書かれていない場合があります。そのとき、数字のある線から標高差を何段分たどれるか、高くなる向きがわかるか、途中の線が表示されているかを順に見ます。どれかが欠けたままでは、線に数字を補うこと自体が推測になります。

たとえば、ある線が 160 m で、1段あたり 10 m という条件だけがあり、隣の線が高い側か低い側か示されていなければ、その線は 170 m とも 150 m とも考えられます。地図中の他の情報から方向を判断できるなら根拠を添えますが、方向の手掛かりがなければ両方の可能性を残します。10 m という標高差はわかっていても、足すか引くかまで決めたことにはなりません。

線と線の間が広い場所を見たときも、まず何を比べているかを整理します。同じ資料で隣り合う標高の線を比べているなら、広い側では同じ標高差をより長い水平距離で越えるので、区間全体の平均的な傾きは緩やかです。ただし、その区間のどこでも傾きが一定とは限りません。広い帯の中の1地点だけを取り出して、正確な高さを求めることは別の問題です。

異なる資料の線の離れ方を比べるときは、縮尺や線の標高差もそろっているかを確かめます。図上の長さが同じでも、実際に表す水平距離が異なれば、傾きの比較は変わるためです。ここでは実際の地図の規格値を暗記して持ち込まず、それぞれの問題で明示された条件から読みます。

基本例題：2本の境界から範囲を出す

次は学習用に作った断面の条件です。線に対応する高さは 200 m と 220 m で、その間に別の等高線はありません。地点 A は2本の線の間にあり、どちらの線上にもありません。地表は連続し、A の帯には必要な線が省かれていないものとします。A の標高を h m として、不等号を使って範囲を答えなさい。また、A が 210 m と決まるか、理由を1つ書きなさい。

図2のように、境界の高さと地点の位置を別々に確認します。横の位置は2つの線の間を表し、A の正確な標高を描いたものではありません。

与件：下側の境界は 200 m、上側の境界は 220 m、A は線上ではなく間にあります。

単位：どの高さも m です。線間の標高差は 220 − 200 = 20 m です。

根拠：A は 200 m の線より高い側にあり、220 m の線より低い側にあります。必要な線が省かれていないので、この帯から別の高さの帯へ移ったとは読みません。

操作：下の境界と上の境界を h の両側に置き、線上ではないので等号を付けません。

答案：200 < h < 220。A の高さは 210 m とは決まりません。線の間のどの位置でどれだけ高さが変わるかが与えられていないからです。

場面へ戻す確認：たとえば 205 m と 217 m はどちらも 200 m より高く、220 m より低いので、与えられた帯の条件に合います。両方が候補に残るため、1つの高さに決めることはできません。200 m や 220 m は境界線上の高さなので、線上にない A の候補から外れます。

20 m は2本の線の標高差であり、A と下の線との標高差ではありません。A の高さが範囲にとどまるのと同じように、A と 200 m の線の差も 0 m より大きく 20 m より小さい範囲にとどまります。位置が片方の線に近く見えることだけで、この差を図上の距離に比例させないようにします。

標準と発展：段数と差の端を調べる

標準例題：線の間を数える

ある学習用の標高表では、隣り合う等高線の標高差を 15 m とし、左から右へ標高が高くなります。左端の線は 90 m です。右へ順に隣接する線を3本たどった先の線を B とし、地点 C は B とその次の線の間で、どちらの線上にもないものとします。必要な線は省かれていません。B の標高を整数と単位で、C の標高を h m として不等号で答えなさい。

左端から B までの線は出発点を含めると4本ですが、標高差の段数は3です。15 m を3回足し、90 + 15 × 3 = 135 m とします。次の線は 150 m ですから、C は 135 < h < 150 と表せます。

答えを元に戻すと、B の 135 m から 3段分の 45 m を引けば、出発点の 90 m に戻ります。また、C の候補として 142 m を置けば 135 m と 150 m の間にあり、両境界線上にはありません。この候補が成り立つことは範囲の整合を示しますが、C が 142 m だと決める根拠にはなりません。

右に進むほど高いという条件がなければ、線をたどる回数だけで加算するとは決められません。低くなる向きなら同じ段数を引きます。途中で高低の向きが変わる資料では、各区間の向きを確かめてから操作します。

標準例題の条件を変えて確かめる

先ほどの表で C が B の線上に移ったとしたら、C の高さは範囲ではなく 135 m になります。次の 150 m の線上に移った場合は 150 m です。どちらも、元の問題にあった「どちらの線上にもない」という条件を変えています。条件の変更前と変更後を混ぜると、不等号に等号を付ける理由を見失います。

また、90 m の線から3段先を求める問題でも、最初の2段は高くなり、3段目は低くなるという別の条件なら計算は 90 + 15 + 15 − 15 です。結果は 105 m で、3回とも足す場合と違います。この変更例は線をたどる向きの重要性を示すもので、元の表の高さを変えるものではありません。各段でどちらへ進むかを読み、最後に逆向きの操作をたどれば、出発点へ戻るかを確かめられます。

線が1本見えにくい場合にも、数を合わせるために勝手に補わないようにします。説明に線の省略があると示されていれば、その説明を使います。省略の有無が不明で標高差も断定できないなら、必要な情報として残し、整数の答えを作りません。

発展例題：2地点の差が取り得る範囲

学習用の資料で、地点 D の標高を d m、地点 E の標高を e m とします。条件は 300 < d < 320、320 < e < 340 です。両地点はそれぞれの境界線上にはありません。E と D の標高差 e − d の範囲を、等号を含むかどうかに注意して不等号で答えなさい。資料の条件のほかに、両地点の高さを結び付ける条件はないものとします。

D は 320 m 未満、E は 320 m より高いので、E の方が必ず高く、差は 0 m より大きくなります。ただし両地点がそれぞれ 320 m に近づくことはできても、どちらも 320 m そのものではありません。差が 0 m になることはありません。

反対に差を広げるには、E を 340 m に、D を 300 m に近づけます。それでも E は 340 m 未満で D は 300 m より高いため、差は 40 m 未満です。したがって 0 < e − d < 40 です。0 m と 40 m は差の下限と上限ですが、この条件では実際に取る最小値や最大値ではありません。

確かめとして d = 319 m、e = 321 m なら差は 2 m、d = 301 m、e = 339 m なら差は 38 m です。いずれも元の帯に戻して条件を満たします。実際に取り得る差がこの2つだけという意味ではなく、端の付近まで近づけることを示す例です。たとえば任意の差 t が 0 < t < 40 を満たすとき、d = 320 − t ÷ 2、e = 320 + t ÷ 2 と置けば両方の帯に入り、差は t に戻ります。

一方、D と別の地点がともに 300 m より高く 320 m より低いという条件だけなら、どちらが高いかは決まりません。同じ帯の中にいる事実と、同じ高さである事実は違います。資料に点の高さの数値が加われば判定できる場合がありますが、その数値がなければ関係を作り足しません。

誤答をほどく：中央と境界を取り違えない

基本例題で「A は線間の中央だから 210 m」とした答えを考えます。原因は、横の位置の割合を高さの割合にそのまま移したことです。地表が一定の傾きで上がるという条件はなく、同じ横位置でも斜面の形により標高が変わり得ます。

図3のように、200 m と 220 m の間にある点に、205 m と 217 m という異なる候補を置けます。両者とも境界の内側です。図は候補の高さを比較する表であり、実在する地点の観測結果や、距離と標高の比例を示す図ではありません。

修正後は「200 < h < 220」と書きます。候補を1つ選ぶ代わりに、両端の高さとの大小で表すのです。図3の2つの候補を戻すと、205 m も 217 m も条件に合い、210 m に限るという主張を退けられます。

別の誤答は「200 ≤ h ≤ 220」です。こちらの原因は、範囲の境界を求めた後で、点が線上にあるかどうかを見落としたことです。問題文にはどちらの線上にもないとあるため、等号を外します。反対に、線上にある地点まで機械的に不等号の内側へ入れないようにします。

線の数え間違いも確かめましょう。標準例題の出発線から B まで4本の線が見えても、間は3つです。出発線の標高に差を4回足した 150 m は、B のさらに次の線の値です。答えから3段戻して 90 m に戻るかを確かめれば、数え始めの誤りを見つけられます。

標高差の答えを点検する別の見方

発展例題では、両地点の間の 320 m を目印にすると差の構造が見えます。D から 320 m までの差は 0 m より大きく 20 m より小さく、320 m から E までの差も同じ範囲です。その2つを足すので、E と D の差は 0 m より大きく 40 m より小さくなります。共通の境界を挟んで上下に分ける方法でも、直接 e − d を考える方法と同じ結果です。

端の扱いを変えると結論も変わります。たとえば別の条件として、D が 300 m 以上 320 m 以下、E が 320 m 以上 340 m 以下であるなら、両方が 320 m の場合を認めるので差は 0 m を取れます。D が 300 m、E が 340 m の場合も認めるので差は 40 m を取れます。答えは 0 ≤ e − d ≤ 40 です。これは発展例題の答えではなく、等号を追加した別条件での比較です。

範囲を引く問題では、上端どうし、下端どうしを引けばよいとは限りません。差を大きくするには、引かれる値を大きい側、引く値を小さい側に近づけます。差を小さくするには、その組合せを逆にします。最後に、選んだ両方の高さが元の範囲に戻るか、端を含むかを見直します。

練習：まず5問を解く

いずれも自作の条件です。必要な等高線は省かれておらず、地表は連続しているものとします。線間の地点は、書かれた両方の境界線上にはありません。各問で指定された形で答え、その後に解答と照合してください。

1. 隣接する等高線の標高差は 8 m です。標高 64 m の線から、高くなる向きに4段進んだ線の標高を整数と単位で答えなさい。
2. 地点 F は、標高 410 m と 430 m の隣接する線の間にあります。F の標高を f m として不等号で表し、420 m と決まるかを理由1つとともに答えなさい。
3. 地点 G は 50 m と 60 m の線の間、地点 H は 60 m と 70 m の線の間にあります。高いのはどちらかを答え、境界の 60 m に触れて理由を書きなさい。
4. 地点 J と K はともに 700 m と 725 m の線の間にあります。J の方が K より高いと決められるかを答え、条件に合う2通りの標高の組を整数と単位で示しなさい。
5. 地点 L の標高を l m とし、問題で 800 ≤ l < 830 と直接与えます。l に 800 と 830 のそれぞれを代入できるか答え、その理由を不等号に触れて書きなさい。

解答と照合

1. 答えは 96 m です。8 m の差が4段なので 64 + 8 × 4 = 96 です。96 m から 8 m を4回引くと 64 m に戻ります。線を5本数えることと、間を4段数えることを区別します。

2. 410 < f < 430 です。420 m とは決まりません。線の間の高さが横の位置に比例する条件がないためです。たとえば 413 m と 426 m はともに両境界の内側に戻せます。採点するときは両方の不等号に等号がなく、一意に決められない理由が書かれているかを見ます。

3. H が高いです。G は 60 m 未満で、H は 60 m より高いからです。たとえば G を 59 m、H を 61 m としても条件に合い、差は正です。答えでは 60 m が両地点の標高そのものではないことまで押さえます。

4. 決められません。J が 720 m、K が 705 m の組なら J が高く、J が 705 m、K が 720 m の組なら K が高くなります。両方の組の値は 700 m より高く 725 m より低いので、元の条件に戻して矛盾しません。採点では逆の高低関係を示す2組があり、どちらの値も帯の内側にあるかを確認します。

5. 800 は代入でき、830 は代入できません。800 ≤ l の等号は 800 を含み、l < 830 は 830 を含まないからです。代入すると 800 ≤ 800 < 830 は成り立ちますが、830 < 830 は成り立ちません。線上にないという前提ではなく、この問で直接与えた不等号の条件に従うことが判断の要点です。

境界を読むときの要点

• 隣り合う線の標高差と、図上の線の離れ方は別の量です。
• 線上の高さと線間の高さを分け、必要な線の省略がないか確かめます。
• 線間の地点は境界を含まず、追加条件がなければ標高は範囲で表します。
• 標高差の段数は線の間を数え、求めた値を出発点へ戻します。
• 差の上下限は端を実際に取れるかまで調べます。

どこで止まったかを見つける

標高を1つに決めてしまう場合は、線上と線間の区別から戻ります。線の段数を間違える場合は、出発線と到着線の間に印を付け、足した回数が印の数と合うかを調べます。等号の誤りなら、境界の値を実際に代入して問題文と照らします。

個別指導では、答えの数字だけでなく、どの線を下限とし、どの条件で上限を選んだかを本人の言葉で確認します。差の範囲で迷うときは、端に近い高さの組を試し、それでも端そのものに届くかを確かめます。境界を越えない候補を複数示せれば、標高を一意に決められない理由が見えてきます。