高校地理 縮尺と拡大縮小—長さと面積の変化を分けて資料の倍率を点検する｜武蔵野個別指導塾

印刷倍率を挟む距離換算と面積の変化を、逆算や誤答の検討から読み解く鍵が縮尺です。

よくあるのは、地図を印刷で大きくした後も、元の縮尺の分母をそのまま使って距離を求める場面です。同じ2地点の線分が長くなったのに、1 cmに対応する実際の距離を変えなければ、答えも大きくなってしまいます。紙の上で変わった量と、実際には変わらない量を分けるところから考えます。

要点（結論から）

• 縮尺は紙面と実際の同じ単位の長さの比です。
• 印刷後の分母は元の分母を長さの倍率で割ります。
• 縦横同倍率なら、紙面の面積は倍率を2回掛けて求めます。

資料のどこを手掛かりにするか

問題には、元の縮尺と印刷倍率から新しい縮尺を求める型があります。倍率は、拡大後の長さが元の長さの何倍かを表します。分母を倍率で割る理由を、同じ実際の距離に対応する線分の変化から説明できるかが判断の中心です。

別の型では、拡大後の紙面で測った長さから実際の距離を求めます。紙面の長さを元の長さへ戻してから換算する方法と、新しい縮尺を先に求める方法があり、両者の答えは一致します。どちらを使っても、測った長さがどちらの紙面のものかを明記します。

面積の型では、縦と横の両方が同じ倍率で変わることを使います。長さが2倍なら面積は4倍です。縮尺の分母を求めるときの操作をそのまま面積に当てはめないよう、長さと面積を別々の欄に記します。以下の数値は、地図の読み取りを練習するために与えた数学的条件です。

線分と面積をつなぐ約束

縮尺が1:50,000というとき、地図上の1 cmは実際の50,000 cmに対応します。両側の単位をそろえた長さの比です。50,000 cmは500 mなので、地図上の2 cmは実際の1,000 m、つまり1 kmです。分母が大きいほど、同じ長さの紙面に対応する実際の距離は大きくなります。

図1のように、印刷の倍率は紙面上の長さにかかります。元の1 cmが2 cmになっても、その線分が表す実際の距離は変わりません。したがって、拡大後の1 cmが表す距離は元の半分になり、縮尺の分母も半分になります。一般に元の分母を倍率で割れば、拡大後の分母が得られます。

図1の2本の線は同じ区間を表します。線を長く描いたことが、実際の区間を長くしたことにはなりません。縮小なら倍率は1より小さい数なので、分母を割ると大きくなります。例えば長さを半分にすれば、紙面の1 cmに収める実際の距離は2倍です。

面積は縦と横の長さの積です。同じ倍率で縦横を拡大する場合、面積には倍率が2回かかります。元の紙面上の面積が3 cm²で、縦横を2倍にすれば12 cm²です。これは紙面の面積の変化であり、描かれた対象の実際の面積が4倍になるわけではありません。

この計算には、縦と横が同じ倍率で変わるという条件が必要です。片方だけ伸ばした画像では、方向によって長さの比が違うため、1つの数値縮尺では全方向を表せません。面積の倍率は縦と横の倍率の積で求められますが、任意の向きの線分について同じ倍率を使うことはできません。切り取りは範囲を変える操作であり、拡大率を決める操作とは区別します。

倍率が不明な印刷物では、元の縮尺をそのまま使う根拠がありません。対応する既知の線分を元と印刷後で測れるなら、その比から倍率を求められます。元の線分が0 cmなら比の分母にできないので、長さのある別の線分を選びます。元の縮尺や対応する長さが不明なら、見た目だけで正確な距離を決めず、資料の条件を確認します。

基本例題：拡大した紙から距離を戻す

縮尺1:40,000の地図を、縦横とも元の1.5倍の長さに印刷しました。印刷後の2地点間の直線を測ると6 cmでした。2地点間の実際の直線距離をkmで求め、印刷後の縮尺を分数でなく1に対する比で答えてください。用紙の伸びや測定誤差はないものとします。

図2のように、実際の距離は印刷の前後で同じです。まず紙面の長さを元へ戻し、それから実際へ換算します。

与件：元は1:40,000、長さの倍率は1.5、印刷後の線分は6 cmです。
単位：紙面をcmにそろえ、最後に実際の距離をkmへ直します。
根拠：印刷後の長さは元の長さの1.5倍です。
操作：元の線分は6 ÷ 1.5 = 4 cm、実際は4 × 40,000 = 160,000 cmです。
答案：実際の距離は1.6 km、印刷後の縮尺は1:26,666と2/3です。
戻し：1.6 kmを元の縮尺で割ると4 cm、これを1.5倍すると与件の6 cmです。

新しい分母は40,000 ÷ 1.5 = 26,666と2/3です。整数に丸める指示はないので分数部分を残します。印刷後の6 cmにこの分母を掛けても160,000 cmとなり、先ほどの距離と一致します。分母が整数にならないからといって、勝手に近い整数へ変える必要はありません。

仮に元の分母を印刷後の6 cmに掛けると240,000 cmとなり、同じ区間の実際の距離を過大に見積もります。その答えを元の縮尺に戻せば6 cmとなり、さらに印刷倍率をかけると9 cmです。与件の6 cmに戻らないため、途中の対応が誤っていると見つけられます。

条件を変えて比べる

標準例題：縮小後の長さと面積

縮尺1:24,000の資料で、ある線分は5 cm、別に示した長方形の領域は紙面上12 cm²です。縦横をともに0.5倍に印刷します。印刷後の縮尺、線分の長さcm、長方形の紙面上の面積cm²をそれぞれ求めてください。領域の形は印刷前後で対応し、誤差はないものとします。

元の5 cmが印刷後は5 × 0.5 = 2.5 cmです。実際の距離は5 × 24,000 = 120,000 cmで変わりません。印刷後の1 cmに対応する実際の距離は120,000 ÷ 2.5 = 48,000 cmですから、新しい縮尺は1:48,000です。元の分母を0.5で割っても同じです。

面積には0.5を縦と横に1回ずつ掛けます。12 × 0.5 × 0.5 = 3 cm²です。線分には0.5を1回、面積には2回という違いが答案の根拠になります。領域の実際の面積は変わりません。元の紙面からは12 × 24,000 × 24,000 cm²、印刷後からは3 × 48,000 × 48,000 cm²となり、どちらも6,912,000,000 cm²です。

逆向きにも点検します。印刷後の2.5 cmを0.5で割れば元の5 cm、3 cm²を0.25で割れば元の12 cm²です。縮小後の面積を6 cm²とする誤りは、縦横の片方にしか倍率を掛けていないために生じます。

発展例題：倍率が書かれていない複写

縮尺1:30,000の元の資料で4 cmの基準線分が、縦横を同じ割合で複写した紙では5 cmでした。複写後の別の線分は7.5 cmです。複写後の縮尺と、この別の線分が表す実際の距離をkmで求めてください。対応する線分を正確に測ったものとします。

先に印刷倍率を求めます。5 ÷ 4 = 1.25なので、長さは元の1.25倍です。複写後の縮尺の分母は30,000 ÷ 1.25 = 24,000で、答えは1:24,000です。別の線分は7.5 × 24,000 = 180,000 cm、つまり1.8 kmを表します。

元へ戻すと、7.5 ÷ 1.25 = 6 cmです。6 × 30,000も180,000 cmです。さらに1.8 kmを元の縮尺で6 cmに戻し、1.25倍すれば複写後の7.5 cmに戻ります。基準線分についても4 × 30,000 = 120,000 cmと5 × 24,000 = 120,000 cmが一致します。

ただし、1本の基準線分だけでは縦横が同じ倍率かどうかを検証できません。この例題では同じ割合という条件を与えています。実物でその条件が不明なら、異なる方向の対応線分も調べます。数値が丸められていたり、測った線の端が太かったりすれば、算出した倍率も概数です。その場合は与えられた精度以上の細かさで距離を断定できません。

誤った式をどこから直すか

図3のように、元の縮尺1:60,000を長さ2倍に拡大したのに、印刷後も1:60,000とする答案を考えます。元の1 cmが表す60,000 cmは、印刷後には2 cmに対応します。印刷後の1 cmが表すのは30,000 cmなので、正しくは1:30,000です。

原因は、縮尺を紙に固定されたラベルとして扱い、線分との対応を調べなかったことです。図3では元の線と拡大後の線が同じ実際の区間を表します。印刷後の2 cmに誤った分母60,000を掛けると120,000 cmとなり、元の60,000 cmと一致しません。正しい分母30,000を掛けると60,000 cmへ戻ります。

逆に分母を2倍して1:120,000とする誤りもあります。分母が大きくなれば同じ実際の区間は紙面上で短くなるので、2倍への拡大と向きが合いません。計算前に「拡大なら分母は小さく、縮小なら大きく」と見通しを置き、計算後に同じ区間へ戻します。

面積でも、長さの倍率と混同する失敗があります。縦横2倍の図形を、面積も2倍と考えると、縦方向に増えた分か横方向に増えた分を落とします。元を縦1 cm、横3 cmの長方形とすれば、拡大後は縦2 cm、横6 cmで、3 cm²から12 cm²への変化です。実際の面積は別の量として扱い、紙面上の変化と混ぜません。

練習：倍率の向きから答案を作る

次の5問はすべて、記された条件を与件とし、測定や印刷の誤差はないものとします。距離は直線距離です。解答を見る前に、元の紙面、印刷後の紙面、実際の量を区別して書き出してください。

1. 縮尺1:80,000の資料を縦横とも2倍に印刷しました。印刷後の縮尺を1に対する比で答えてください。
2. 縮尺1:50,000の資料を縦横とも0.8倍にした紙で、線分を4 cmと測りました。実際の距離をkmで求めてください。
3. 資料の領域が元の紙面で8 cm²です。縦横とも1.5倍にした後の紙面上の面積をcm²で求め、実際の領域の面積が変化するかも答えてください。
4. 縮尺1:45,000の元の資料で6 cmの線分が、同じ割合で縦横を変えた複写では4 cmです。複写後の縮尺を1に対する比で求めてください。
5. 縦方向だけを2倍、横方向を元のままに印刷した資料について、元の数値縮尺の分母を2で割れば全方向に使えるという説明は正しいでしょうか。「方向」と「倍率」を使い、理由を1つ、2文以内で答えてください。

答えと確かめ方

1. 1:40,000です。同じ実際の区間を表す線分が2倍になるので、分母は80,000 ÷ 2 = 40,000です。印刷後の2 cmが表す160,000 cmは、元の2 cmではなく1 cmが表す80,000 cmの2倍に当たります。例えば元の1 cmに対応する印刷後の2 cmは、どちらも80,000 cmを表します。

2. 2.5 kmです。印刷後の4 cmは元の4 ÷ 0.8 = 5 cmに当たり、実際には5 × 50,000 = 250,000 cmです。2.5 kmを元の縮尺に戻すと5 cm、さらに0.8倍して4 cmとなり、測定値に一致します。分母を先に50,000 ÷ 0.8 = 62,500とし、4 cmを掛けても同じ結果です。

3. 18 cm²で、実際の領域の面積は変化しません。紙面の面積は8 × 1.5 × 1.5 = 18 cm²です。逆に18を2.25で割ると8 cm²に戻ります。紙面上の面積と実際の面積を分け、倍率を2回使ったことが採点の観点です。実際の面積を求めるための元の縮尺は与えられていないので、その値は決められません。

4. 1:67,500です。長さの倍率は4 ÷ 6 = 2/3なので、45,000を2/3で割ります。元の6 cmは270,000 cmを表し、複写後の4 cmに67,500を掛けても270,000 cmです。倍率を6 ÷ 4と逆に置くと拡大と判定してしまいます。元より複写後の線が短いという条件に戻ると誤りに気づけます。

5. 正しくありません。縦と横では長さの倍率が方向によって異なるため、1つの分母で全方向を表せません。採点では、方向ごとに倍率が違うことと、全方向に共通の数値縮尺を使えない結論の対応を確認します。縦方向には元の分母の半分が対応しますが、横方向には元の分母が対応します。

要点を短く

• 縮尺は紙面と実際の同じ単位の長さの比です。
• 印刷後の分母は元の分母を長さの倍率で割ります。
• 縦横同倍率なら、紙面の面積は倍率を2回掛けて求めます。
• 答えを元の紙面と印刷後の紙面へ戻して確かめます。

途中のどこで迷ったかを見つける

立式の前に紙面の長さと実際の距離を同じ欄に書いているなら、まず元と印刷後の対応線分を指で追います。単位の換算で止まる場合は、cmからm、kmへ移るたびに桁と単位を書き、比の両側を同じ単位に戻します。面積だけ誤る場合は、縦と横の長さを別々に倍率で変えてから積を取ります。

個別指導では、答えが合った場合も、どの紙面の長さを使ったかと逆算の説明を確かめます。倍率や元の縮尺が足りない場合は、何があれば決められるかを言葉にします。実際の距離を固定して紙面の対応をたどると、縮尺の変化が見えてきます。