高校数学I 余弦定理の導出—垂線と三平方から鈍角にも通じる式を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

垂線の足が辺の外へ出る鈍角の場合も、符号付きの横の位置と三平方から導くのが余弦定理です。

よくあるのは、高1の高校生が鈍角の三角形にも垂線を引き、足を底辺の内部に置いてしまう場面です。図を見直すと、垂線は底辺そのものではなく、その延長と交わります。足の位置が変わると横の長さの足し引きも変わるため、鋭角の図をそのまま使うことはできません。

余弦定理は、二辺とその間の角から残りの辺を結ぶ式です。式を覚える前に垂線と三平方の定理へ戻ると、鈍角で余弦が負になる理由も見えてきます。ここでは導出とその読み取りを扱い、辺の二次方程式による三角形の個数の判定には立ち入りません。

どの位置に垂線が落ちるか

次のような問いを考えます。二辺とその間の角が与えられたとき、向かい側の辺の二乗はどのように表せるでしょうか。角が90度を超えたとき、なぜ式の中の引き算が結果として足し算になるのでしょうか。また、90度では三平方の定理とどうつながるでしょうか。

いずれも、まず角をはさむ2辺を見つけ、その角の向かいにある辺を区別します。長さを表す文字を図に書いてから式へ移せば、どの辺を二乗するのかを確かめられます。

横の位置に符号を付ける

三角形ABCで、角A、角B、角Cにそれぞれ向かい合う辺の長さを a、b、c とします。したがって BC = a、CA = b、AB = c です。三角形なので各辺は正で、0度 < A < 180度です。余弦定理は次の式です。

a² = b² + c² - 2bc cos A

図1のように、Aを原点、Bを右向きの軸上の点として置き、Cから直線ABに垂線を下ろします。その足をHとします。Aから右を正にとったHの横の位置を x、高さCHを h とします。位置 x は長さそのものではなく、HがAの左にあると負です。高さ h は正です。

図1のようにAが鋭角なら x = b cos A、h = b sin A です。Aが鈍角ならHはAの左にあり、角CAHの鋭角は180度 − Aです。補角の関係から cos A = -cos(180度 − A)、sin A = sin(180度 − A) なので、この場合も x = b cos A、h = b sin A が成り立ちます。Aが直角ならHはAに一致し、x = 0、h = b です。よってこの場合も同じ表し方です。

HがBの右に出る鋭角の場合もあります。そこでHBの長さを一律に c − x と決めず、二乗を (c − x)² と表します。左右の順序が逆なら長さは x − c ですが、その二乗は同じだからです。直角三角形CHBに三平方の定理を使い、HとBが一致する場合は BC = h として同じ式を得ます。

a² = (c - x)² + h²
   = c² - 2cx + x² + h²

一方、直角三角形ACHより x² + h² = b² です。HがAと一致する直角の場合も x = 0、h = b なので、この等式は成り立ちます。x = b cos A を代入します。

a² = c² - 2c(b cos A) + b²
   = b² + c² - 2bc cos A

これで鋭角・直角・鈍角のいずれも示せました。余弦の符号が横の位置を表すので、場合ごとの横の長さの足し引きが1つの式に収まります。特に A = 90度 では cos A = 0 ですから a² = b² + c² となり、三平方の定理そのものになります。

符号と長さを区別して読む

座標の x と線分AHの長さは、いつも同じではありません。HがAの右にあるとき、AH = x です。Hが左にあるときは x が負なので、AH = -x です。例えば x = -2 なら長さAHは2であり、負の長さが現れたわけではありません。符号はAを基準にした方向を伝えています。

同様に、BからHまでの長さは |c − x| です。ただし導出では長さを二乗するため、絶対値を外して (c − x)² と書けます。この操作は二乗する前に長さを c − x と決めたことを意味しません。足がBの右にある場合まで含めて考えるための整理です。

図形を回転しても辺の長さと角は変わりません。AからBの向きを右にそろえて考えれば、どの向きに描かれた三角形でも同じ導出を適用できます。Cが紙の下側に描かれている場合も、上下を反転して考えれば高さを正にとれます。図の見かけと辺の対応を混同しないことが、式を移す際の助けになります。

三平方の定理は直角をはさむ2辺の二乗を足します。余弦定理の補正項は、間の角が直角からずれたときに必要な調整です。鋭角なら cos A は正なので、その向かいの辺の二乗は b² + c² より小さくなります。鈍角なら cos A は負なので、逆に大きくなります。これは導いた式からの比較であり、長さ自体を b + c と比較しているわけではありません。

基本例題：延長線上の足から求める

三角形ABCで AB = 6、AC = 4、A = 120度です。BCの長さを根号を使って求め、垂線と三平方でも同じ結果になることを示してください。

図2のように、Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとします。120度は鈍角なので、HはAの左にあります。角CAHは60度です。cos 60度 = 1/2、sin 60度 = √3/2 を使います。

図2の横の長さと高さは次のとおりです。

AH = 4・(1/2)
   = 2
CH = 4・(√3/2)
   = 2√3
BH = BA + AH
   = 6 + 2
   = 8
BC² = BH² + CH²
    = 8² + (2√3)²
    = 64 + 12
    = 76
BC = 2√19

BCは正の長さなので正の平方根を選びました。余弦定理に戻しても、cos 120度 = -1/2 から次のようになります。

BC² = 6² + 4² - 2・6・4・(-1/2)
    = 36 + 16 + 24
    = 76

答えの二乗が76であり、元の2辺と120度の配置から得た直角三角形にも戻りました。2√19は 6 − 4 より大きく、6 + 4 より小さいので辺の長さとしても矛盾しません。鈍角では横の距離が6より長くなる点が、式の正の24に反映されています。

標準例題：鋭角で足が辺の外に出る

三角形PQRで PQ = 3、PR = 8、角QPR = 60度です。QRの長さを根号で求め、垂線の足の位置も説明してください。

Rから直線PQへの垂線の足をHとすると、角Pは鋭角ですが、PH = 8 cos 60度 = 4 です。PQ = 3 なのでHはQの先にあります。鋭角であることと、足が線分の内部にあることは同じ条件ではありません。

RH = 8 sin 60度
   = 4√3
QH = PH - PQ
   = 4 - 3
   = 1
QR² = QH² + RH²
    = 1² + (4√3)²
    = 49
QR = 7

余弦定理でも 3² + 8² − 2・3・8・(1/2) = 49 です。求めた7を戻すと二乗は49で、辺の条件 8 − 3 < 7 < 8 + 3 も満たします。足がQの先にあるため、横の長さを負の数のまま扱うのではなく、二乗する前に位置を確認します。

発展例題：二つの式を比べる

三角形ABCで AB = 5、AC = 7、角Aは鋭角で cos A = 3/5 です。BCの長さを根号で求め、同じ2辺をはさむ角が90度の場合との辺の二乗の差を求めてください。

Aは鋭角で、与えられた余弦は正です。正の辺5と7を使うと、補正の項は正の量を引く形になります。

BC² = 5² + 7² - 2・5・7・(3/5)
    = 25 + 49 - 42
    = 32
BC = 4√2

間の角が90度の場合、向かいの辺の二乗は 5² + 7² = 74 です。したがって、90度の場合から元の場合を引いた差は次のとおりです。

74 - 32 = 42

元の条件への確認として、sin Aは正で、相互関係より sin A = 4/5 です。ACの横の位置は21/5、高さは28/5となります。横の差は 5 − 21/5 = 4/5 なので、その二乗と高さの二乗の和は (16 + 784)/25 = 32 です。4√2の二乗も32で、2 < 4√2 < 12 も満たします。補正項42が、直角の場合から減った二乗の量です。

間違えた図を直す

基本例題で、垂線の足を線分ABの内部に描き、AH = 2、BH = 6 − 2 = 4 として BC² = 4² + (2√3)² = 28 とする誤答を考えます。図3のように120度の辺ACはAから左上へ伸びるため、実際の足はAの左です。

図3では、誤った足を内部に置くと、角BACが鈍角という条件と図が食い違います。長さ2自体は補角60度から求めたAHとして正しいものの、BからHまでの距離は引き算ではなく 6 + 2 = 8 です。ゆえに BC² = 8² + 12 = 76 と直します。

また、式で cos 120度 = -1/2 を代入した後、- 2・6・4・(-1/2) を負の24とする誤りもあります。負の数を引くので正の24です。図ではBHが6より長いこと、式では補正項が正になることを照らし合わせると、符号の誤りを見つけやすくなります。図の向きだけに頼らず、与えられた角と垂線の位置の両方へ戻ることが要点です。

練習：足の位置と辺を結ぶ

次の5問は互いに独立した三角形です。辺の長さはすべて正とし、根号は簡単にしてください。

1. 三角形DEFで DE = 4、DF = 6、角D = 60度のとき、EFを求めてください。
2. 三角形GHIで GH = 5、GI = 6、角G = 120度のとき、HIを求めてください。
3. 三角形JKLで JK = 9、JL = 12、角J = 90度のとき、KLを求めてください。
4. 三角形MNOで MN = 2、MO = 6、角M = 60度です。Oから直線MNへの垂線の足をTとするとき、Tの位置とNOの長さを求めてください。
5. 三角形STUで ST = 4、SU = 5、角Sは鈍角で cos S = -3/5 です。TUの長さと、同じ2辺をはさむ角が90度の場合から増えたTUの二乗の量を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 角Dの向かいがEFです。cos 60度 = 1/2 を代入します。

EF² = 4² + 6² - 2・4・6・(1/2)
    = 16 + 36 - 24
    = 28
EF = 2√7

足の横の位置は 6・(1/2) = 3、高さは 3√3 です。DEとの差1を使うと 1² + (3√3)² = 28 となり、答えの二乗に戻ります。2 < 2√7 < 10 です。

2. cos 120度 = -1/2 です。負の値を代入する括弧を残します。

HI² = 5² + 6² - 2・5・6・(-1/2)
    = 25 + 36 + 30
    = 91
HI = √91

垂線の足はGの左で、Gから足まで3、高さは3√3です。Hから足まで8なので 8² + (3√3)² = 91 と元の配置に戻ります。1 < √91 < 11 です。

3. 直角の場合、余弦の項は0です。

KL² = 9² + 12² - 2・9・12・0
    = 81 + 144
    = 225
KL = 15

9² + 12² = 15² が元の直角三角形の三平方の関係です。3 < 15 < 21 も満たします。

4. MT = 6 cos 60度 = 3 です。MN = 2なのでTはNの先にあり、NT = 3 − 2 = 1 です。高さOT = 6 sin 60度 = 3√3 です。

NO² = 1² + (3√3)²
    = 1 + 27
    = 28
NO = 2√7

余弦定理へ戻すと 2² + 6² − 2・2・6・(1/2) = 28 です。4 < 2√7 < 8 も満たし、位置と辺の条件に合います。

5. 鈍角の余弦は負で、与えられた値と整合します。

TU² = 4² + 5² - 2・4・5・(-3/5)
    = 16 + 25 + 24
    = 65
TU = √65

直角の場合の二乗は 4² + 5² = 41 です。増加量は 65 − 41 = 24 です。sin S = 4/5 より高さは4、足はSの左に3だけ離れます。Tから足までは7なので、7² + 4² = 65 となり、元の図に戻ります。1 < √65 < 9 です。

持ち帰る3点

• 二乗する辺は、使う角の向かいにあります。
• 垂線の足の横の位置は b cos A と符号付きで表せます。
• 90度では補正項が0、鈍角では負の余弦を引きます。

どこで止まったかを見つける

答えが合わないときは、最初に式へ入れた角が2辺の間にあるかを図で確かめます。次に、鈍角なら垂線の足が角の頂点より外側にあるか、鋭角なら足がもう一方の頂点を越えていないかを見ます。最後に、二乗から長さへ戻すとき正の平方根を選び、元の辺の長さの差と和の間にあるかを調べます。

個別指導で確かめるなら、例えば図2のHを自分で置き、BHを足し算で表した理由を言葉にしてみてください。式の符号で止まる場合は、負の余弦を括弧に入れた行から、図の横の距離へ戻ります。足の位置と式の符号が結び付けば、余弦定理の一行を自分で再び導けます。