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高校数学I 余弦定理と三角形の決定—未知の辺の二次方程式から有効な長さを選び直す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 図形と計量を掘り下げる

二辺と一方の対角から未知辺の二次方程式を作り、正の根を元の角や三角不等式に戻して、三角形の個数を判断します。

よくあるのは、二次方程式に正の根が2つ出て、高1の高校生がその両方を三角形の辺として採用する場面です。辺の長さは正なので、負の根を捨てる判断は必要です。しかし、正という条件は出発点です。三辺が三角形を作るか、指定された角が本当にその位置にあるかまで戻って調べます。逆に、適切な条件で作った式では、正の根が必ず図形に対応することも証明できます。今回はその理由まで追います。

どの量が決まっているか

三角形 ABC で、角 A、向かい側の辺 BC = a、角 A に接する辺 CA = b が与えられ、残る辺 AB = c を求める状況を考えます。2辺と、そのうち1辺に向かい合う角が既知なので、与えられた角は既知の2辺の間の角ではありません。この配置を SSA と呼びます。余弦定理を辺 c の方程式として使うと、解が2つ、重なって1つ、あるいは実数解がない場合が現れます。

問題では、長さを根号のまま求めることも、成立する三角形の個数を答えることもあります。文字を置いた後は、式の解の個数と図形の個数が対応する理由を示しましょう。角から候補を調べる正弦定理の方法とも照合できますが、ここでは辺の二次式から出発します。

一本の半直線と円で見る候補

角 A を 0度より大きく 180度より小さく取り、半直線 AB 上に B を探します。A から C までの長さは b、C から B までの長さは a です。したがって B は、中心 C、半径 a の円と、A を始点とする半直線との交点です。図1のように交点が2つあれば、それぞれ異なる c が生まれます。直線上の交点でも A の反対側にあれば c が負に相当し、辺として使えません。

図1では円の2つの交点がともに半直線上にあります。点 C から直線 AB に垂線を下ろし、足を H とすれば、高さ CH は b sin A です。鋭角 A では AH = b cos A です。円の半径が高さより小さいと交点はなく、等しいと接点が1つです。半径が高さより大きいと直線との交点は2つですが、そのどちらが半直線上にあるかは別に確かめます。鈍角では垂線の足が A の反対側にあり、同じ配置図をそのまま使えません。

余弦定理は、三角形が成立するとき次の式です。

a² = b² + c² - 2bc cos A
c² - 2b cos A・c + b² - a² = 0

この式は三角形から導いた必要条件です。逆向きにも使うには、0度 < A < 180度、a > 0、b > 0 としたうえで、正の解 c が本当に三角形を作ることを確認します。実際に A から長さ b の位置に C、もう一方の半直線上に距離 c の位置に B を取れば、2つの半直線は異なるので三角形ができます。余弦定理による BC² は式から a² です。BC と a はともに正だから BC = a です。したがって、この条件を満たす正の根はすべて有効です。三角不等式や元の角を別途調べれば、転記や符号の誤りも見つけられます。

平方完成すると、候補が生じる理由がさらに見えます。

(c - b cos A)² = a² - b²(1 - cos² A)
(c - b cos A)² = a² - b² sin² A

右辺が負なら実数の c はありません。0なら候補は1つですが、その値が正かを調べます。正なら2候補を計算し、それぞれの符号を調べます。判別式が正であっても、負の根しかなければ辺は得られません。三角形でない 0度や 180度を許してしまうと、上の正の根と三角形の対応の説明は使えません。

基本：円が届かない場合

三角形 ABC について、A = 60度、BC = 4、CA = 6 とします。AB の長さを根号を使ってすべて求め、成立する三角形の個数も答えます。図2のように、点 C を中心とする円と半直線の位置を見ます。

AB = c と置き、cos 60度 = 1/2 を使います。角の範囲と既知の辺の正値は条件を満たします。

4² = 6² + c² - 2・6・c・(1/2)
16 = 36 + c² - 6c
c² - 6c + 20 = 0
(c - 3)² = -11

右辺が負なので実数の解はありません。ここで図2を見直すと、半径 4 の円は高さ 3√3 より小さいため、半直線に届きません。よって三角形は 0 個です。正の根を探す以前に、平方が負になることが不可能です。図の円と半直線の位置が、この計算と一致します。

図2の設定を BC = 6 に変えれば、式は c² − 6c = 0 です。根 0 と 6 のうち 0 は A と B が重なり三角形にならないため、6 のみが残ります。判別式が正でも2個とは限らない例です。この変更は基本例の確認であり、元の BC = 4 の答えは変わりません。

標準：正の根を元の条件へ戻す

三角形 ABC で A = 60度、BC = 7、CA = 8 とします。AB の長さを根号で表し、成立する三角形の個数を求めます。c = AB とすると、余弦定理から次のようになります。

7² = 8² + c² - 2・8・c・(1/2)
49 = 64 + c² - 8c
c² - 8c + 15 = 0
(c - 3)(c - 5) = 0
c = 3 または 5

どちらも正です。c = 3 の三辺 3、7、8 は 3 + 7 > 8、3 + 8 > 7、7 + 8 > 3 を満たします。c = 5 でも 5 + 7 > 8、5 + 8 > 7、7 + 8 > 5 です。最大辺以外の和を確かめれば残りも明らかですが、ここでは各条件を並べました。

元の角についても、各辺から余弦定理を逆に整理して確かめます。

c = 3 のとき (8² + 3² - 7²)/(2・8・3) = 24/48 = 1/2
c = 5 のとき (8² + 5² - 7²)/(2・8・5) = 40/80 = 1/2

三角形の内角の範囲では cos A = 1/2 は 60度に対応します。いずれも元の条件に戻るので、AB = 3 または 5、三角形は2個です。辺 BC と角 A の対応を変えて式を作ると、この確認で違いが見つかります。

正弦定理では sin B = 8 sin 60度 / 7 = 4√3/7 です。この値は 0 より大きく 1 より小さいので、半円上で B の候補は鋭角と鈍角の2つです。鋭角候補が 60度より大きいことは、4√3/7 > √3/2 からわかります。よって鈍角候補は 120度より小さく、どちらも A と合わせて 180度未満です。角からも2個と照合できます。

発展：長さの条件で個数を分ける

A = 60度、CA = 10、BC = t とします。t > 0 とし、成立する三角形の個数を t の範囲ごとに求めます。AB = c と置きます。

t² = 100 + c² - 10c
(c - 5)² = t² - 75

まず t² − 75 < 0、すなわち 0 < t < 5√3 なら解がありません。t = 5√3 では c = 5 が重解で、正の辺に対応する三角形が1個です。これは円が半直線に接する場合です。

5√3 < t < 10 では 0 < √(t² − 75) < 5 です。したがって c = 5 − √(t² − 75) と c = 5 + √(t² − 75) はともに正で、2個です。t = 10 では c = 0 または 10 です。0 は辺でないので1個です。t > 10 では √(t² − 75) > 5 となり、小さい根は負、大きい根は正です。よって1個です。

境界をまとめると、0 < t < 5√3 で0個、t = 5√3 で1個、5√3 < t < 10 で2個、t ≥ 10 で1個です。どの正の根も、角 60度の2つの半直線上に辺を配置すれば元の BC = t を復元します。接する境界と、根が0になる境界は別です。両方を書き落とさないことが個数の判定につながります。

誤答を図に戻す

A = 120度、CA = 6、BC = 8 として AB を求めるとき、cos 120度の負号を落として c² − 6c − 28 = 0 とする誤りを考えます。正しい式は次のとおりです。

8² = 6² + c² - 2・6・c・(-1/2)
64 = 36 + c² + 6c
c² + 6c - 28 = 0
(c + 3)² = 37
c = -3 + √37 または -3 - √37

√37 > 3 なので前者は正、後者は負です。AB = √37 − 3 が残ります。図3のように鈍角では垂線の足 H は A の反対側です。長さ AH は 3 ですが、A から B への向きに沿った位置は負です。式の符号は cos 120度 = -1/2 に戻して確かめます。

図3の配置から、BC² = (c + 3)² + (3√3)² です。c = √37 − 3 を戻すと BC² = 37 + 27 = 64 で、BC = 8 です。c は正で、角 A も配置によって 120度です。負の根を無理に正へ直したり、二乗した後の符号を消したりせず、元の位置に戻すと誤りを切り分けられます。

自分で試す5問

いずれも三角形 ABC を考え、長さは根号を含む厳密な値で答えます。成立しない場合はその旨を書き、個数も答えます。

A = 60度、CA = 4、BC = 3 のとき AB を求めます。
A = 60度、CA = 8、BC = 8 のとき AB を求めます。
A = 120度、CA = 4、BC = 7 のとき AB を求めます。
A = 30度、CA = 6、BC = 3 のとき AB を求めます。
A = 30度、CA = 4、BC = 1 のとき AB を求めます。

解答と照合

AB = c とします。

9 = 16 + c² - 4c
(c - 2)² = -3

平方が負になるため解はなく、0個です。高さは 4 sin 60度 = 2√3 であり、BC = 3 より大きいことからも円は半直線に届きません。辺の条件へ戻しても不成立です。

同じように c = AB と置きます。

64 = 64 + c² - 8c
c(c - 8) = 0
c = 0 または 8

0を除くと AB = 8、1個です。三辺は 8、8、8 で三角不等式を満たします。元の式に戻すと 64 + 64 − 2・8・8・(1/2) = 64 で、BC = 8 も復元します。

cos 120度 = -1/2 に注意します。

49 = 16 + c² + 4c
(c + 2)² = 37
c = -2 + √37 または -2 - √37

正の根は √37 − 2 のみで、1個です。角 120度の半直線にその長さを取り、式に戻すと BC² = 16 + (√37 − 2)² + 4(√37 − 2) = 49 です。BC = 7 なので元の条件に合います。

cos 30度 = √3/2 を用います。

9 = 36 + c² - 6√3 c
(c - 3√3)² = 0
c = 3√3

正の重解なので AB = 3√3、1個です。高さは 6 sin 30度 = 3 で、BC はその垂線そのものです。元の式でも 36 + 27 − 2・6・3√3・(√3/2) = 9 となり、BC = 3 を確かめられます。

同様に整理します。

1 = 16 + c² - 4√3 c
(c - 2√3)² = -3

実数解はなく0個です。高さ 4 sin 30度 = 2 に対し BC = 1 なので、元の距離では半直線まで届きません。計算の不成立と図形の不成立が一致します。

個数を決めるときの見取り図

鋭角の場合、円の中心から直線へ下ろした垂線の足は A から見て前方です。半径が高さに等しければ接点は正の位置にあります。半径が高さより大きくても、円が A をまたぐほど大きい場合には、交点の一方は A の後方に移ります。半径が CA と等しい境界では、その交点がちょうど A に重なり、辺の長さは0です。これが発展例で 5√3 と 10 の2つの境界が現れた理由です。

鈍角の場合は垂線の足が後方にあるため、前方へ伸びる半直線上の点と C の距離は、A から離れるにつれて大きくなります。したがって BC が CA 以下では正の位置に交点はありません。BC が CA より大きければ前方に1つあります。この見方は図を描く際の見当になりますが、解答では二次式の根と正値を確かめることで、境界も含めて判定します。

覚えておくこと

角と対辺の対応を図に記す。未知辺の二次式を作り、実数解と正値を順に調べる。 0は辺にならず、重解は1個の候補です。正の根を三角不等式と元の角に戻して確かめる。

手が止まった場所を見分ける

式が作れない場合は、角 A の両側にある辺 b、c と、その向かい側の辺 a を図に書き込みます。符号が合わない場合は、鈍角の cos が負であることと、余弦定理の引き算を別々に丸で囲んで追います。根を選べない場合は、数直線に0を置き、各根が正かを比べてから円と半直線の交点を描きます。個別指導で答案を確かめるなら、最初の余弦定理の対応、平方完成、最後の代入を順に見れば、立式と選別のどちらで食い違ったかを特定できます。根は、元の三角形へ戻して初めて辺の長さになります。