高校数学III・C 微分と不等式の証明—差の関数の増減から等号条件まで書く｜武蔵野個別指導塾

指数と対数を含む差の関数について、導関数の符号を基準値につなぎ、元の不等式と等号条件まで確かめましょう。

よくあるのは、理系高3の演習で導関数の符号を書いたところで手が止まり、元の不等式に戻れない場面です。増減表には関数の動きが書かれていますが、比較したい2つの式のどちらが大きいかは、その表から基準値を読み取って初めて決まります。等号を求めるときも、導関数が0になる点を答えるだけでは足りません。差そのものが0になる点を調べます。

ここでは指数関数や対数関数を含む不等式を、差の関数の増減と境界値を使って証明します。接線の図形的な性質や文字の条件を一般に分類することは扱いません。

どの値を基準にするか

まず左右の式が等しくなりそうな点を探します。その点が定義域に含まれ、差が0になるなら、そこを増減の境目にできるか調べます。差が減少してから増加する場合は、その点が最小となり、差は0以上です。逆に、増加してから減少する場合は最大値を使って差が0以下とわかります。

もう1つの型は、基準になる点が定義域の端で、しかもその端が含まれない場合です。端での値を代入することはできません。その代わり、定義域の内側からの極限と単調性を組み合わせます。極限が0でも、その値を実際に取るとは限らないので、等号の有無は別に調べます。

さらに、導関数の符号がすぐに決まらないこともあります。その場合は導関数をもう一度微分し、最初の導関数の増減を調べます。2回微分した値の符号から、いきなり元の差の符号を決めるのではなく、導関数の基準値を経由して戻ります。計算が複雑になる前に、どの関数の符号を知りたいのかを明記します。

差と増減をつなぐ

2つの実数値の関数 A(x)、B(x) を、共通の定義域 D で比較します。F(x) = A(x) − B(x) と置くと、A(x) ≧ B(x) は F(x) ≧ 0 と同値です。等号 A(x) = B(x) も F(x) = 0 と同値です。差をどちらの順で作るかを最初に決めれば、最後に不等号の向きを戻せます。

区間で微分可能な関数について、内部で導関数が正ならその区間で増加し、負なら減少します。導関数が0以上という情報だけなら、増加または一定という結論です。等号の唯一性を論じるときは、0以外で導関数が正か負かまで確認します。閉区間の端点では微分可能性を区間の内部で調べ、端点の値は連続性と合わせて比較します。

図1のように、差の符号を直接判定する代わりに、導関数から増減を調べて基準値と比較します。図の矢印は証明の順であり、導関数が正という事実だけで差が正になるという意味ではありません。

例えば F′(x) > 0 であっても F(x) = x − 4 は x = 1 で負です。増加するという性質には、値の高さがまだ含まれていません。F(4) = 0 と合わせて初めて、x が4より大きい範囲で F(x) > 0 と言えます。図1の基準値はこの不足を補います。

対数を使う式では、最初に真数が正である範囲を決めます。式変形で正負不明の量を掛けたり割ったりすると、不等号の向きが変わる場合があります。分母が正かどうかを明記し、0で割っていないことも確かめます。端が除かれるときは、極限値と、その値に到達することを区別します。

基本例題：指数と直線の差

問題：すべての実数 x に対して eˣ ≧ 1 + x を証明し、等号が成り立つ x を求めてください。答えは厳密な値で示します。

左右は全実数で定義され、微分可能です。差を F(x) = eˣ − 1 − x と置きます。x = 0 で両辺が1なので、F(0) を基準にします。

F′(x) = eˣ - 1
F(0) = 1 - 1 - 0
     = 0

指数関数は全実数で狭義単調増加し、e⁰ = 1 です。したがって x < 0 では F′(x) < 0、x = 0 では F′(x) = 0、x > 0 では F′(x) > 0 です。F は0まで減少し、その後増加します。よって全実数 x について F(x) ≧ F(0) = 0 です。

図2のように、差の最小値が0であることを確認してから元の式に戻します。0の両側では狭義に減少または増加するので、F(x) = 0 は x = 0 のときに限ります。

したがって eˣ ≧ 1 + x であり、等号は x = 0 のとき、かつそのときに限り成り立ちます。実際に x = 0 を元の両辺に代入すると、ともに1です。例えば x = -1 では右辺が0、左辺が正なので不等式の向きも一致します。この代入は結論の点検であり、全実数に対する証明は増減によって行っています。

ここで eˣ − 1 が負になる範囲を見落とし、F が全域で増加するとすると、負の x の扱いが失われます。基準点を挟む2つの区間を別々に調べることが必要です。また F′(0) = 0 という事実だけでは最小値は決まりません。前後の符号と F(0) の値を組にして結論を出します。

標準例題：対数の定義域を保つ

問題：x > -1 において log(1 + x) ≦ x を証明し、等号が成り立つ x を厳密に求めてください。log は自然対数です。

真数条件は 1 + x > 0 で、与えられた範囲と一致します。差を G(x) = x − log(1 + x) と置きます。この関数は x > -1 で微分可能です。

G′(x) = 1 - 1/(1 + x)
      = x/(1 + x)
G(0) = 0 - log 1
     = 0

定義域では分母 1 + x が正です。したがって G′(x) の符号は x の符号と同じです。-1 < x < 0 では負、x > 0 では正なので、G は0まで減少し、その後増加します。よって G(x) ≧ G(0) = 0 です。

この式を差の定義へ戻すと log(1 + x) ≦ x です。狭義の増減から G(x) = 0 は x = 0 に限られ、代入して log 1 = 0 と確かめられます。x = -1 は真数が0になるため、等号の候補に入れません。導関数の式だけを見て x < -1 まで符号を調べても、元の関数が定義されないので証明の対象にはなりません。

この例では基準点0が定義域に含まれます。定義域の左端 -1 で差を計算する必要はありません。端を含むかどうかを最初に書くと、必要な比較点と不必要な代入が区別できます。

発展例題：端に近づくが等号は取らない

問題：x > 0 に対して log(1 + x) > x/(1 + x) を証明してください。等号が成立する x があるかも答えます。

両辺は x > 0 で定義され、微分可能です。差を H(x) = log(1 + x) − x/(1 + x) と置きます。商の微分と通分により、

H′(x) = 1/(1 + x) - ((1 + x) - x)/(1 + x)²
      = 1/(1 + x) - 1/(1 + x)²
      = x/(1 + x)²

x > 0 では分子と分母が正なので H′(x) > 0 です。ただし、増加するだけでは H(x) の正負は決まりません。0は元の範囲に含まれないので、内側からの極限を調べます。

lim[x→0+] H(x) = log 1 - 0
                 = 0

H は x ≧ 0 に連続に延長でき、延長した値は H(0) = 0 です。任意の x > 0 に対し、H は [0, x] で連続、(0, x) で微分可能であり、内部で導関数が正です。したがって H(x) > H(0) = 0 となります。これを差の式へ戻すと、求める不等式が得られます。

等号は x > 0 では成立しません。延長した点 x = 0 では両辺が0になりますが、問題の範囲外です。例えば x = 1 なら、証明した結果は log 2 > 1/2 という元の比較を意味します。数値の大小をいくつか調べても全域の証明にはならず、端の値と狭義の増加を結ぶことが必要です。

端の極限が0という情報と、関数が正という結論の間には一段階あります。単調性を使わず極限だけから正負は決まりません。また H′ が0以上という弱い情報からは、途中で0を取る可能性をそのまま排除できません。この問題では内部で正と示せるため、厳密な不等号まで得られます。

符号表から結論への抜けを直す

次の答案を考えます。「x > 0 で H′(x) > 0 だから H(x) > 0。よって log(1 + x) > x/(1 + x)。」導関数の計算が正しくても、増加する関数が0より上にあるとは限りません。先ほどの x − 4 のように、増加しながら負の値を取る関数があるためです。

図3のように、欠けた比較点を補います。H は0に連続に延長でき H(0) = 0、さらに [0, x] で狭義に増加するので、x > 0 なら H(x) > H(0) = 0 です。最後に H の定義に戻せば、元の両辺の比較になります。

もう1つの誤りは「端で等号が成立する」と書くことです。延長した式に0を代入する計算自体は正しくても、元の条件 x > 0 を満たしません。修正答案では、延長した点を比較の道具として使った後、元の範囲では等号がないと記します。図3の基準値と等号の判定は、同じ0を見ていても役割が異なります。

自分で取り組む5問

いずれも自然対数を log とします。不等式を証明し、等号の有無と、あればその x を厳密に求めてください。

1. x > 0 で x − 1 ≧ log x。
2. すべての実数 x で e²ˣ ≧ 1 + 2x。
3. x > 0 で x − log x ≧ 1。
4. x > 0 で log(1 + x) < x。
5. x > 0 で x − 1 + 1/x ≧ 1。

問題1と3は似た式ですが、差の置き方から元の形に戻すところまで、それぞれ書いてください。問題4は端点が範囲外です。問題5では分母の符号を確認してから導関数の符号を読み取ります。

5問の解答と照合

1

x > 0 で P(x) = x − 1 − log x と置きます。P は微分可能で、

P′(x) = 1 - 1/x
      = (x - 1)/x
P(1) = 1 - 1 - log 1
     = 0

分母 x は正です。P′ は 0 < x < 1 で負、x > 1 で正ですから、P は x = 1 で最小値0を取ります。よって x − 1 ≧ log x です。狭義の増減より等号は x = 1 に限り、元の両辺に代入するとともに0です。

2

全実数で Q(x) = e²ˣ − 1 − 2x と置きます。微分すると、

Q′(x) = 2e²ˣ - 2
      = 2(e²ˣ - 1)
Q(0) = 1 - 1 - 0
     = 0

指数関数の増加性から、x < 0 で Q′(x) < 0、x > 0 で Q′(x) > 0 です。Q は0で最小値0を取るので e²ˣ ≧ 1 + 2x です。等号は x = 0 に限り、元の両辺はともに1です。

3

x > 0 で R(x) = x − log x − 1 と置きます。関数は微分可能で、

R′(x) = 1 - 1/x
      = (x - 1)/x
R(1) = 1 - log 1 - 1
     = 0

x は正なので、R′ は1より左で負、1より右で正です。R(x) ≧ R(1) = 0 から x − log x ≧ 1 です。等号は狭義の増減より x = 1 のときに限ります。代入すると左辺は1で、右辺に一致します。

4

x ≧ 0 に延長した S(x) = x − log(1 + x) を使います。S は [0, x] で連続、内部で微分可能です。

S′(x) = 1 - 1/(1 + x)
      = x/(1 + x)
S(0) = 0 - log 1
     = 0

x > 0 では S′(x) > 0 です。したがって S(x) > S(0) = 0、すなわち log(1 + x) < x です。元の範囲で等号はありません。延長した x = 0 では両辺が0ですが、問題の条件には入りません。

5

x > 0 で T(x) = x − 2 + 1/x と置きます。示すべき差が T(x) です。

T′(x) = 1 - 1/x²
      = (x - 1)(x + 1)/x²
T(1) = 1 - 2 + 1
     = 0

x² と x + 1 は正なので、T′ は 0 < x < 1 で負、x > 1 で正です。よって T(x) ≧ 0 で、元の式は x − 1 + 1/x ≧ 1 です。等号は x = 1 に限り、そのとき左辺は 1 − 1 + 1 = 1 となります。分母が0になる x = 0 は元から範囲外です。

答案を閉じる前に

• 定義域と差の向きを最初に決めます。
• 導関数の符号から増減を示し、基準値と比較します。
• 含まれない端は極限や連続な延長で扱います。
• 差の符号を元の不等式に戻し、等号を元の条件で確かめます。

自分の答案で、導関数の符号の次に基準値がない場合は、増減と正負を混同している可能性があります。等号候補だけが並んでいる場合は、差が0になることと定義域に入ることを別々に確かめます。個別指導では、どの点を基準に選んだか、その点が範囲に含まれるかを口頭で説明してから、答案の最後の一文を書き直します。差の値まで戻せば、増減表は不等式の証明になります。