高校数学III・C 文字を含む不等式—全ての実数で成り立つ条件を最小値で調べる｜武蔵野個別指導塾

対数の真数条件から下限を求め、その値に到達するかを調べることで、文字の範囲に等号を含める根拠がつかめます。

理系高3の演習でよくあるのは、極値を計算した後、文字の条件を逆向きに書いてしまう場面です。たとえば全ての対象について a ≤ f(x) としたいとき、a はグラフの最も低い位置より上ではなく、その位置以下に置きます。さらに対数があると、真数が正という条件によって、低い位置に近づけてもそこへ到達しないことがあります。最小値の計算と、等号を文字の範囲に含めるかの判断を分けて考えましょう。

どの量を下から押さえるか

出方の1つは、a ≤ f(x) が定義域の各 x で成り立つ条件を求める問題です。まず f の下限を探し、その値がとれるかを調べます。もう1つは a < f(x) のように厳密な不等号を使う問題です。同じ下限でも、その値をとるなら a に等号は許されず、とらないなら許されます。

3つ目は a が関数の係数にも現れる型です。このとき極値の位置そのものが a によって動きます。微分する前に定義域を確定し、停留点がその範囲に入る条件で場合分けします。全称条件を1点への代入で必要条件に変えた後、増減などで十分性まで示すと答案が閉じます。

真数条件から下限へ

log の底は自然対数の底 e とします。log u が実数として定義されるのは u > 0 のときです。たとえば log(x + 2) を含む式は x > -2 で考えます。「全ての実数 x」とあっても、対数を含む不等式では、問題文が指定した真数条件を満たす実数を対象にします。対象が全実数そのものか、定義域内の全実数かは問題文で明示します。

関数 f の値を下から押さえる数 L があり、どんな正の数 ε に対しても L + ε より小さい値を f がとるとき、L を下限と呼びます。f がある定義域の点で L に等しくなるなら、L は最小値でもあります。下限は必ずしも関数値ではありません。端点を含まない区間での極限が下限になる場合は、特にこの違いが効きます。

図1のように、対象となる x の集合から値の下端へ進み、最後に不等号を判定します。微分可能な関数では導関数の符号から増減を調べられますが、停留点がなくても端の極限から下限が決まることがあります。

図1の順に、下限 L をとる場合ととらない場合を比べます。a ≤ f(x) が全域で成り立つ条件は、いずれも a ≤ L です。一方、a < f(x) なら、L をとる場合は a < L、とらない場合は a ≤ L です。a が L を超えると、下限の定義から a より小さい関数値が存在するため、全域の条件は破れます。

基本例題：達成される下限

問題。全ての x > 0 について x − log x ≥ a が成り立つような実数 a の範囲を求め、端点を含む不等式で答えてください。

f(x) = x − log x とおきます。真数条件は x > 0 です。この区間で f は微分可能で、次のようになります。

f′(x) = 1 - 1/x
       = (x - 1)/x

分母は正です。したがって 0 < x < 1 では f′(x) < 0、x > 1 では f′(x) > 0 です。f は x = 1 まで減少し、その後増加します。図2のように最小値は f(1) = 1 で、その点は定義域に含まれます。

図2で横線の高さ a を動かすと、グラフ全体が横線以上になるのは a が最小値以下のときです。必要性は x = 1 を元の不等式に代入して a ≤ 1 と得られます。逆に a ≤ 1 なら、増減から全ての x > 0 で f(x) ≥ 1 ≥ a です。よって答えは a ≤ 1 です。

境界の a = 1 でも x = 1 で等号が成り立ち、他の x では左辺がそれより大きくなります。たとえば a = 2 を選ぶと x = 1 で 1 ≥ 2 となり失敗します。極値の値を得たところで終えず、求める文字をどちら側に置いたかまで元の式に戻して確かめます。

標準例題：端点に届かない下限

問題。全ての x > 0 について log(1 + x) < x + b が成り立つ実数 b の範囲を求め、端点を含むかどうかを不等式で示してください。

変形すると b > log(1 + x) − x ですが、下限を使うために g(x) = x − log(1 + x) とおけば、条件は g(x) + b > 0 です。g は x > 0 で微分可能で、

g′(x) = 1 - 1/(1 + x)
       = x/(1 + x)
       > 0

となります。g は増加し、右側からの極限は lim[x→0+] g(x) = 0 です。0 は定義域にないので、全ての x > 0 で g(x) > 0 ですが、下限 0 はとりません。

b ≥ 0 なら g(x) + b > 0 で十分です。逆に b < 0 なら、右側極限が 0 であることから、十分小さい正の x で g(x) < -b とできます。その x では g(x) + b < 0 となり、条件が破れます。よって b ≥ 0 です。

b = 0 を除くのは誤りです。等号が許されないのは元の不等式ですが、下限に達しないため、b = 0 でも各 x において厳密な大小が残ります。反対に b < 0 の失敗は、特定の大きな x では見えないことがあります。端点へ近づく値を調べることが必要性の証明になります。

発展例題：文字で停留点が動く

問題。全ての x > 0 について x − c log x ≥ 1 が成り立つ実数 c の範囲を求めてください。答えは等号の有無を明示した式で示します。

h(x) = x − c log x とおきます。x > 0 で微分可能なので、

h′(x) = 1 - c/x
       = (x - c)/x

です。まず x = 1 を代入すると h(1) = 1 で、どの c に対しても等号になります。したがって条件が成立するなら、定義域の内点 1 で h は最小値をとります。微分可能な関数が内点で最小値をとるためには導関数が 0 なので、

h′(1) = 1 - c = 0
c = 1

が必要です。ここでは候補が1つに絞られましたが、必要条件だけでは成立を結論できません。c = 1 を戻すと h′(x) = (x − 1)/x です。0 < x < 1 で負、x > 1 で正なので、h は x = 1 で最小となり h(x) ≥ h(1) = 1 です。よって c = 1 が十分でもあり、答えは c = 1 です。

この問題で c ≤ 0 なら h′(x) > 0 なので、h は増加し、x = 1 より小さい正の x で h(x) < 1 です。c > 0 で c ≠ 1 なら停留点 x = c が定義域内にあり、そこでの最小値は 1 より小さくなります。実際、1 は停留点ではないため最小点ではありません。両方の場合に元の条件が破れることも確かめられます。

文字に依存する停留点を先に求める方法も使えますが、x = 1 で常に等号が成立することを見つけると必要条件が短くなります。内点であることと微分可能性を書き添えれば、その近道の理由も明らかです。

誤答を端点まで戻す

標準例題について「g は増加し、x = 0 で 0 だから最小値は 0。厳密な不等式なので b > 0」と書く答案を考えます。計算した極限値は合っていますが、x = 0 は対象外です。存在しない最小点で等号が生じると扱ったため、成立する b = 0 を落としています。

図3のように、白い丸は端点が含まれないことを表します。g(x) は正の x で正ですが、0 にいくらでも近づきます。したがって修正答案では「下限は 0 であり達成されない。b = 0 でも g(x) > 0。b < 0 は右側極限により不適」と書きます。

図3の端の丸を塗りつぶすと、存在しない等号点を作った図になります。逆向きの誤りもあります。基本例題で f(1) = 1 が実際にとられるのに、a < f(x) の条件を a ≤ 1 とすると、a = 1、x = 1 で厳密な不等号が壊れます。境界の文字を代入し、等号点が定義域にあるか調べると双方の失敗を区別できます。

練習問題

いずれも log は自然対数です。指定した定義域の全ての x について不等式が成り立つように、文字の範囲を端点の扱いまで含めて求めてください。

1. x > 0 で 2x − log x ≥ a。
2. x > 0 で log(1 + 2x) < 2x + b。
3. x > 0 で x − 2 log x > c。
4. x > 1 で x − log x ≥ d。
5. x > 0 で 3x − p log x ≥ 3。

練習の解答と確かめ

1. f(x) = 2x − log x は x > 0 で微分可能です。

f′(x) = 2 - 1/x
       = (2x - 1)/x

x = 1/2 の前で減少、後で増加します。その点で最小値は 1 + log 2 です。x = 1/2 の代入から a ≤ 1 + log 2 が必要で、増減から十分です。答えは a ≤ 1 + log 2 です。境界では元の左辺も 1 + log 2 となり等号が成立します。

2. g(x) = 2x − log(1 + 2x) とおきます。x > 0 で真数は正、g は微分可能で、

g′(x) = 2 - 2/(1 + 2x)
       = 4x/(1 + 2x)
       > 0

です。右側極限は 0 なので g(x) > 0、下限 0 はとりません。元の式は g(x) + b > 0 ですから、b ≥ 0 が十分です。b < 0 では十分小さい正の x に対し g(x) < -b となり失敗します。答えは b ≥ 0 です。境界 b = 0 でも各 x で厳密な不等号が保たれます。

3. f(x) = x − 2 log x は x > 0 で微分可能です。

f′(x) = 1 - 2/x
       = (x - 2)/x

x = 2 の前で減少、後で増加するので、最小値は 2 − 2 log 2 です。条件は c < f(x) ですから、最小点への代入により c < 2 − 2 log 2 が必要です。この範囲なら全ての x で c < 2 − 2 log 2 ≤ f(x) と示せます。境界値を c に入れると x = 2 で等号になり、元の厳密な不等式が破れます。

4. f(x) = x − log x とおきます。x > 1 では f′(x) = (x − 1)/x > 0 で、右側極限は lim[x→1+] f(x) = 1 です。1 は定義域に含まれないため f(x) > 1 ですが、下限は 1 です。d ≤ 1 なら f(x) ≥ d です。d > 1 なら 1 に十分近い x > 1 で f(x) < d となり失敗するので、答えは d ≤ 1 です。d = 1 では等号点がなくても不等式自体は成立します。

5. h(x) = 3x − p log x は x > 0 で微分可能で、h(1) = 3 です。全域で h(x) ≥ 3 なら、内点 1 が最小点なので、

h′(1) = 3 - p = 0
p = 3

が必要です。p = 3 なら h′(x) = 3(x − 1)/x となり、1 の前で負、後で正です。よって h(x) ≥ h(1) = 3 で十分です。答えは p = 3 です。元の式に x = 1、p = 3 を戻すと両辺が 3 で一致します。

答案の点検

• 真数を正にして対象の範囲を決めます。
• 導関数の符号と端の極限から下限を求めます。
• 下限が実際にとられるかを確かめます。
• 境界の文字を元の不等式に戻し、必要性と十分性を示します。

個別指導で確認するなら、まず生徒に「文字は関数の値より上か下か」を元の不等式から指さして説明してもらいます。次に端点を含むか、導関数の分母の符号を確かめたか、境界の文字で反例や等号点を作れるかを順に見ます。式変形が合っていても範囲が逆なら、グラフの下端と文字の位置に戻ります。真数条件と下限の到達を言葉でつなぐと、最後の不等号まで根拠が残ります。

境界を判定するときの別の見方

下限を表す数と、実際の関数値を混同しないために、まず数直線に関数値の集まりを描いてみます。基本例題の値の集まりは 1 以上です。1 自体も含むため、関数値より厳密に小さい数を選ぶなら 1 は選べません。一方、標準例題の g の値は 0 より大きく、0 にいくらでも近づきます。全ての関数値より厳密に小さい数として 0 を選んでも、どの正の x に対しても矛盾しません。

下限より大きい文字がなぜ必ず失敗するかも、図の印象だけで済ませないようにします。下限を L、文字を L + δ とし、δ > 0 とします。下限の定義により L + δ より小さい関数値が存在します。その点では、文字が関数値以下という条件も、文字が関数値より小さいという条件も破れます。下限に到達するかどうかに関係なく、この方向は必要性として共通です。

対数の中に文字が入る問題では、さらに対象の集合が文字で変わる可能性があります。その場合は、まず問題文の全称条件がどの集合にかかっているかを確認し、集合が空にならないかも調べます。対象が異なるまま下限を比較すると、同じグラフ上の高さを比べているつもりでも、別々の範囲の値を扱うことになります。ここでの例題は定義域を明示しているので、各文字について同じ対象で比較できます。

導関数を解く途中で文字を含む式で割る場合は、その符号が正、負、0 のどれかを先に区別します。負の数で割れば不等号が反転し、0 では割れません。発展例題では分母 x が正とわかっているため、その符号を固定して調べられます。この確認は、停留点が定義域の外にある場合を誤って最小点に採用する失敗も防ぎます。