高校数学I 外接円の半径—正弦定理から半径を求めて辺の長さとの整合を確かめる｜武蔵野個別指導塾

辺と対角から直径を求め、弦の長さを戻して吟味する対象は外接円の半径です。

よくあるのは、高1の高校生が三角形の辺を見て、外接円の半径はその辺より必ず短いと決める場面です。半径は円の中心から円周までの距離で、辺は円周上の2点を結ぶ弦です。両者は別の場所の長さなので、図の印象だけでは大小を決められません。正弦定理で直径をいったん求め、半径に直す順序をたどります。学習指導要領の確定値表では、正弦定理と図形の計量が数学Iの範囲に含まれています。

何を比べればよいか

外接円の問題には、辺と向かい合う角から半径を求める問いがあります。反対に、半径と角から辺を復元する問いもあります。さらに、得られた辺がその円に収まるかを判断する問いでは、辺と半径を直接比べるのでなく、辺と直径を比べることが役立ちます。

例えば、半径より長い辺を見つけても、それだけで計算の誤りにはなりません。一方、直径より長い辺が得られたなら、同じ円の弦としては成立しません。そのときは対角の対応、正弦の値、半径を直径に直したかを順に調べます。長さは正でなければならず、角も三角形の内角として0度より大きく180度より小さい必要があります。

対角と直径をつなぐ

三角形ABCの頂点A、B、Cを通る円を外接円、その半径をRとします。辺BCの長さをaとすると、Aは辺aに向かい合う角です。同様に、CAをb、ABをcとし、それぞれの対角をB、Cとします。三角形がつぶれていないとき、正弦定理は次の関係を与えます。

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

角Aは0度より大きく180度より小さいため、sin Aは正です。したがって0で割る心配はなく、両辺を整理できます。

a = 2R sin A
R = a/(2 sin A)

ここで a/sin A が表すのは半径でなく直径です。まず対応する辺と角を選び、商を出してから2で割ると取り違えを防げます。図1のように、弦BCと半径OBは異なる線分です。Oは外心であり、鈍角三角形では三角形の外に来ることもあります。外心が内部にある図だけを根拠に、半径と辺の大小を決めてはいけません。

図1のBCは弦で、その両端B、Cは円周上にあります。円の任意の弦PQについて、中心Oを通る折れ線を考えると、三角不等式から PQ ≤ OP + OQ = 2R です。OがPQ上にある場合も、PQは高々直径です。等号はPQが中心を通る直径のときに成立します。よって円の最大の弦は直径です。

正弦定理の式からも a = 2R sin A ≤ 2R です。等号はAが90度のときです。逆に、aとRの大小は sin A が1/2より大きいか小さいかによります。30度を例にすると sin 30度 = 1/2 なので、対辺は半径と等しくなります。角がそれより小さい場合には辺が半径より短い例もあり、90度なら辺は半径の2倍です。正弦の値を介して比べることが、見た目に頼らない方法です。

値が不自然なときの調べ方

円周上の2点が与えられれば、中心を通らない弦は直径より短くなります。この事実は、求めた辺の長さがあり得るかを点検する基準になります。ただし、辺が直径以下なら計算が必ず正しいという意味ではありません。例えば半径を誤って大きく求めた場合でも、辺がその直径以下になることはあります。そこで、大小の検査に加え、元の角と辺を正弦定理に戻します。

半径が0以下になった場合も、円の半径として採用できません。三角形の内角の正弦は正なので、正の辺を正の数で割って求めた半径も正になるはずです。負の値が出たら、鈍角の正弦の符号や計算途中の引き算を確認します。また、角が0度や180度なら3頂点は一直線上に並び、通常の三角形として外接円の半径をこの式から求めることはできません。分母の正弦も0になるため、最初に角の範囲を調べることが必要です。

半径と辺の大小だけを知りたいときは、数値を最後まで計算しなくても a/R = 2 sin A が使えます。例えばsin Aが1/2より大きければaはRより長く、1/2より小さければ短くなります。境界が等号です。直径の2倍という係数を残して比較すると、半径と直径を混同せずに判断できます。

基本例題：対角の組から半径へ

三角形ABCで、角Aが60度、辺BCが6√3 cmです。外接円の半径を根号を用いずに求め、辺BCが直径を超えないことも確かめてください。

図2のように、求める半径をR cmと置きます。角Aの向かいは辺BCですから、この2つを組にして正弦定理を使います。

BC/sin A = 2R
6√3/(√3/2) = 2R
12 = 2R
R = 6

答えは6 cmです。直径は12 cmなので、辺BCが直径以下という条件は 6√3 < 12 で満たされます。実際、両辺は正で、二乗すると108 < 144です。また、得られた半径を辺の式に戻すと次のようになります。

2R sin A = 2・6・(√3/2)
          = 6√3

問題の辺に戻りました。しかも √3 > 1 ですから、6√3 > 6 です。この辺は半径より長いものの、直径より短い弦です。半径より長いという理由で答えを捨てる必要はありません。図2で外心Oと頂点を結び、半径と弦の端点がどこにあるかも確認してください。

標準例題：半径から辺を戻す

三角形PQRの外接円の半径が10 cm、角Pが150度です。辺QRの長さを整数で求めてください。また、QRと直径の大小を比べてください。

150度は鈍角ですが、正弦は補角30度の正弦と等しく、正の値です。辺QRは角Pの対辺ですから、半径を使う式に代入します。

sin 150度 = sin 30度
           = 1/2
QR = 2R sin P
   = 2・10・(1/2)
   = 10

QRは10 cmです。直径20 cmに対し10 < 20なので、弦の長さとして矛盾しません。逆に辺と角から半径を計算すると、10/(2・(1/2)) = 10 cmとなり、与えられた値に戻ります。鈍角でも正弦を負にしない点が重要です。

角Pが大きいからといって、対辺が直径を超えるわけではありません。150度の正弦は30度の正弦と同じなので、同じ円で対角が30度の弦とも長さが一致します。ここでは角Pと半径が与えられているため、QRの長さは式で定まります。他の2辺を求めるための情報までは与えられていません。

発展例題：複数の辺と成立を点検する

三角形DEFで、角Dが45度、角Eが60度、辺EFが8√2 cmです。外接円の半径と辺DFの長さを求め、それぞれ整数または根号を含む形でcmを単位として答えてください。辺DFがその円の弦として成り立つことも確認します。

まず残りの角と辺の対応を整理します。EFは角Dの対辺、DFは角Eの対辺です。内角和から角Fは75度で正なので、与えた2角は三角形の条件に合います。

角F = 180度 - 45度 - 60度
    = 75度
2R = EF/sin D
   = 8√2/(√2/2)
   = 16
R = 8
DF = 2R sin E
   = 16・(√3/2)
   = 8√3

半径は8 cm、辺DFは8√3 cmです。直径は16 cmで、(8√3)² = 192 < 256 = 16² です。両方とも正なので、DF < 16となり最大の弦の条件に合います。与えられたEFについても、2・8・(√2/2) = 8√2 cmと戻せます。DFを用いても、8√3/(2・(√3/2)) = 8 cmです。

この確認では、直径以下という条件が必要な点に注意します。個々の長さが直径以下であることだけから、任意に与えた3本が必ず指定された三角形を作るとは言えません。この例では、先に3つの角が正で和が180度となることを確かめ、正弦定理の対応で辺を求めています。

誤答を直す：商は半径ではない

基本例題で「6√3/(√3/2) = 12なので、半径は12 cm」と答える誤りを考えます。割り算は合っていますが、その商が何を表すかが違います。正弦定理の右辺はRではなく2Rなので、12 cmは直径です。

図3のように中心Oから円周までの線分と、中心を通る円周間の線分を区別します。直径は半径を2本つないだ長さです。したがって、直径12 cmを2で割って半径6 cmに直します。

もし誤った半径12 cmを式に戻せば、辺は 2・12・(√3/2) = 12√3 cmとなります。問題の6√3 cmと一致しないため、誤りに気づけます。半径を求めたら、与えられた辺に戻す確認が有効です。

別の誤りとして、角Aに隣り合う辺ABをaに入れる場合があります。正弦定理で組にするのは角の向かい側の辺です。頂点Aから辺BCに向けて目を動かし、文字の置き方を確認してください。計算結果が直径以下でも対応を誤っている場合はありますから、弦の長さの点検と元の条件への代入を両方行います。

練習：半径と弦を行き来する

次の三角形は、いずれもつぶれていないものとします。長さは指定の形で、単位を付けて答えてください。各問で答えを元の条件に戻し、弦が直径以下であることも確かめます。

1. 三角形ABCで角Aが30度、BCが7 cmです。外接円の半径を整数で求めてください。
2. 三角形DEFの外接円の半径が9 cm、角Dが90度です。辺EFを整数で求めてください。
3. 三角形GHIで角Gが120度、HIが5√3 cmです。外接円の半径を整数で求めてください。
4. 三角形JKLの外接円の半径が4√2 cm、角Jが45度です。辺KLを整数で求めてください。
5. 三角形MNPで角Mが30度、角Nが90度、辺NPが11 cmです。外接円の半径と辺MPを整数で求めてください。

練習の解答と考え方

1. BCは角Aの対辺です。sin 30度 = 1/2 なので、

2R = 7/(1/2)
   = 14
R = 7

半径は7 cmです。2・7・(1/2) = 7 cmと元の辺に戻り、7 < 14なので直径以下です。この場合、辺と半径は等しくなります。

2. EFは直角の対辺です。sin 90度 = 1を用います。

EF = 2・9・sin 90度
   = 18・1
   = 18

EFは18 cmです。直径も18 cmなので、EFは最大の弦であり、直径そのものです。逆に18/(2・1) = 9 cmで、与えた半径に戻ります。

3. HIは角Gの対辺で、sin 120度 = sin 60度 = √3/2です。

2R = 5√3/(√3/2)
   = 10
R = 5

半径は5 cmです。2・5・(√3/2) = 5√3 cmで元の辺を再現します。直径10 cmと比較すると、(5√3)² = 75 < 100 = 10²なので弦の条件にも合います。

4. KLは角Jの対辺です。

KL = 2・4√2・sin 45度
   = 8√2・(√2/2)
   = 8

KLは8 cmです。8/(2・(√2/2)) = 4√2 cmとなり半径に戻ります。直径は8√2 cmで、8 < 8√2ですから、辺は直径より短くなります。

5. NPは角Mの対辺、MPは角Nの対辺です。残る角Pは60度で、3つの内角は正です。

2R = 11/sin 30度
   = 11/(1/2)
   = 22
R = 11
MP = 22・sin 90度
   = 22

半径は11 cm、MPは22 cmです。2・11・(1/2) = 11 cmでNPに戻り、MP/(2・sin 90度) = 11 cmでも半径を確かめられます。NPは直径22 cmより短く、MPは直径に等しい弦です。

手元に残す要点

辺とその対角を組にし、a/sin A = 2Rと置きます。 商は直径なので、半径にするには2で割ります。 逆向きには a = 2R sin A を使います。 弦は直径以下ですが、半径より長いこともあります。 答えを元の辺や角に戻して確かめます。

式が止まった場所を見つける

値を入れる前に止まるときは、三角形の頂点とその向かいの辺に同じ印を付けてみます。式は立つのに答えが合わないときは、商をRと読んでいないか、2RからRへの変換を追います。鈍角の問題なら、正弦が正であることと補角の値も見直します。

個別指導で確かめるなら、完成した答えだけでなく、図に記した対角の組と、直径から半径へ移る行を見せると、どこで判断が変わったかを話し合えます。辺を復元して元の数に戻るか、直径を超えていないかもその場で試せます。図の大きさの印象ではなく、対応と直径を基準にすれば、外接円の半径を辺の長さと結び付けられます。