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多変数の微分積分　偏微分・重積分・ヤコビアンで「次元が増える」を扱う｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.13更新 2026.10.13武蔵野個別指導塾の特徴大学数学特集（解析・線形代数・代数・幾何・確率統計）

偏微分と全微分の違いを具体例で確かめ、極値の判定、三角形の重積分、極座標のヤコビアンまで計算します。高校の微分積分から、平面全体の変化と量を扱う考え方へ進めます。

多変数の微分積分　偏微分・重積分・ヤコビアンで「次元が増える」を扱う

窓を流れる景色から、進まなかった方向を考える

通学電車の窓から、線路沿いの道と、その奥へ続く坂が見えます。窓際で開いた数学のノートには、曲線に引かれた接線が残っています。数学を教える立場でこの景色を授業につなげるなら、「電車の進む方向の傾きがわかれば、奥へ続く坂の傾きもわかるでしょうか」と問いかけたくなります。車窓でたどる経路は1本ですが、地面の上では前後にも左右にも動けます。1本の曲線に沿った変化だけでは、土地全体の起伏は表せません。

高校の微分では、主に1個の入力 x に対する出力 y の変化を考えます。大学の多変数の微分積分では、たとえば東西の位置 x と南北の位置 y を入力にして、高さ z=f(x,y) を考えます。入力が増えても出力は1個のままでかまいません。変わるのは、入力を動かす方向が1つではなくなることです。

どちらへ動くと高さが増えるのか。少し離れた場所の高さを、今いる場所の情報から予測できるのか。土地全体に広がる量をどう合計するのか。偏微分、全微分、重積分は、こうした問いをそれぞれ別の役割で受け持ちます。ヤコビアンは、位置の表し方を変えたときに、面積や体積がどう変わるかを伝えます。

多くの理系学部では、この内容を1〜2年で学びます。記号の種類は増えますが、高校で身につける接線、合成関数の微分、定積分はそのまま土台になります。ただし、「何を固定したか」「どの方向から近づいたか」「どの領域を足し合わせるか」を、式と一緒に言葉にする必要があります。

高校の接線を、曲面の切り口へ広げる

高校数学の入口として、g(x)=x² を x=1 の近くで調べましょう。差分商は次のように整理できます。

(g(1+h)-g(1))/h = ((1+h)²-1)/h = 2+h　(h≠0)

h→0 とすると g′(1)=2 です。したがって、接線は z=1+2(x-1) になります。x=1.1 なら接線の高さは1.2、曲線の高さは1.21で、差は0.01です。この差は h² であり、移動量 |h| で割ると |h| になります。h→0 でこの比が0になることが、接線を単なる交わる直線ではなく、近くでの変化を捉える直線にしています。

次に、曲面 z=f(x,y)=x²+2y² を考えます。y=1 に固定すると、切り口は z=x²+2 です。この切り口の x=1 での傾きは2です。一方、x=1 に固定すると切り口は z=1+2y² となり、y=1 での傾きは4です。同じ曲面上の点 (1,1,3) にいても、どちらに動くかで傾きが異なります。

ここで「微分係数は2です」とだけ答えると、何の変化を測ったのかが抜けてしまいます。x 方向の変化なのか、y 方向なのか、それとも斜めに動いたときなのかを区別します。他の変数を固定して1個だけ動かす微分が偏微分です。高校の微分計算を、そのまま曲面の切り口に適用したものと捉えられます。

ただし、偏微分を2回計算すれば、曲面の近くの様子がすべて保証されるわけではありません。座標軸と平行な2方向だけでは、斜めの方向や曲がった経路に沿う変化を見落とす可能性があります。そこを補う概念が全微分です。全微分は、すべての小さな移動をまとめて1枚の接平面で近似できるかを問います。

積分にも同じ広がりがあります。高校の定積分では、区間を細かく分けて「高さ×幅」を足します。平面上に広がる量では、領域を小さな部分に分けて「高さ×面積」を足します。高さが非負なら、その合計は立体の体積として読めます。高さが負の場所を含むなら、符号つきの合計になります。

高校のベクトルも重要です。移動を (h,k) と組で書けば、移動距離は √(h²+k²) です。内積を使うと、進む方向と変化の大きさの関係を短く表せます。微分と積分にベクトルを組み合わせることで、線上で成立していた考え方を平面や空間へ広げていきます。

偏微分は切り口、全微分はすべての小さな移動

何を固定するかを含めて偏微分を定義する

平面の開集合 U 上で定義された実数値関数 f と、U の点 (a,b) を考えます。開集合という条件は、その点から十分小さくならどの方向にも動けることを保証します。x に関する偏微分係数は、y=b を固定した次の極限が有限の実数として存在するとき、その値で定義します。

∂f/∂x(a,b) = lim［h→0］(f(a+h,b)-f(a,b))/h

同様に、y に関する偏微分係数は x=a を固定して定義します。

∂f/∂y(a,b) = lim［k→0］(f(a,b+k)-f(a,b))/k

たとえば f(x,y)=x²+2y² なら、∂f/∂x=2x、∂f/∂y=4y です。x で微分する間は2y² が定数として扱われ、y で微分する間は x² が定数として扱われます。どの文字で微分するかによって、同じ式の読み方を切り替えます。

全微分は誤差の小ささまで要求する

f が (a,b) で全微分可能であるとは、ある実数 A,B が存在して、次のように書けることです。

f(a+h,b+k)-f(a,b) = Ah+Bk+R(h,k)

lim［(h,k)→(0,0), (h,k)≠(0,0)］R(h,k)/√(h²+k²) = 0

Ah+Bk は移動 (h,k) に対する線形な近似、R(h,k) はその誤差です。極限は、軸に沿う場合だけでなく、あらゆる近づき方について成立する必要があります。この線形写像を全微分と呼び、df= A dx+B dy とも書きます。全微分可能なら偏微分係数が存在し、A=∂f/∂x(a,b)、B=∂f/∂y(a,b) です。k=0、次に h=0 とおいて差分商を作ると、この対応を確かめられます。

先ほどの関数を (1,1) の周りで展開すると、次の等式になります。

f(1+h,1+k)-f(1,1) = 2h+4k+h²+2k²

誤差は R(h,k)=h²+2k² です。ρ=√(h²+k²) とおくと、0≦R(h,k)≦2ρ² なので、ρ>0 に対して R(h,k)/ρ≦2ρ です。右辺は0に近づきます。この不等式は、どの方向から近づいても同時に使えるため、全微分可能性を示せます。対応する接平面は z=3+2(x-1)+4(y-1) です。

h=0.1、k=-0.05 とすると、線形部分は 2×0.1+4×(-0.05)=0 です。そのため接平面による予測は3ですが、実際の値は3.015です。小さな変化が一次の範囲では打ち消し合っても、二次の誤差までは消えません。「近似で等しい」と「厳密に等しい」を分けて読む練習になります。

逆に、偏微分係数が存在しても全微分可能とは限りません。原点以外で p(x,y)=xy/(x²+y²)、原点で p(0,0)=0 と定めます。両座標軸の上では p=0 なので、原点での2つの偏微分係数はともに0です。しかし y=x に沿って x≠0 のまま原点へ近づくと p(x,x)=1/2 です。原点で連続ではなく、全微分可能でもありません。全微分可能なら線形部分と誤差がともに0へ向かい、連続性が従うからです。

勾配は傾きの情報をベクトルにまとめる

偏微分係数を並べたベクトルを勾配と呼びます。

∇f(a,b) = (∂f/∂x(a,b), ∂f/∂y(a,b))

全微分可能な関数では、単位ベクトル v=(v₁,v₂) に沿う方向微分係数は ∇f(a,b)・v です。ここで・は内積を表します。方向微分そのものは lim［t→0］(f((a,b)+tv)-f(a,b))/t で定義され、全微分の式に (h,k)=tv を入れると内積の形が出ます。単位ベクトルにするのは、移動距離あたりの変化を比較するためです。

f(x,y)=x²+2y² の (1,1) での勾配は (2,4) です。v=(1/√5,2/√5) なら方向微分係数は2√5で、勾配に垂直な w=(2/√5,-1/√5) なら0です。内積の不等式 ∇f・v≦|∇f||v| と |v|=1 から、勾配が0でなければ勾配の向きが最も急に増える方向だとわかります。これは、その点のごく近くについての一次の情報です。

重積分は領域を細かく分けて合計する

長方形 R 上の有界な関数 f を考えます。R を小長方形に分け、各小長方形から点を選び、その点の関数値に小長方形の面積を掛けて足したものをリーマン和と呼びます。分割の最大直径を0に近づけたとき、分割や点の選び方によらず同じ有限値へ収束するなら、f はリーマン積分可能で、その値を二重積分と定義します。

∬［R］ f(x,y) dx dy = lim［分割の最大直径→0］∑ f(ξᵢ,ηᵢ)ΔAᵢ

左辺の R は積分する領域、ΔAᵢ は各小長方形の面積です。連続関数なら、閉じた有界長方形上でこの積分が存在します。三角形や円板では、それらを囲む長方形の上で領域の外の値を0とする方法で定義できます。境界が区分的に滑らかで、関数が領域上で連続な場合には、この方法で通常の二重積分を扱えます。

連鎖律から極値、面積の変換まで計算する

経路を通じて変わる値を微分する

多変数の連鎖律は、次の仮定のもとで使えます。f が (x(t₀),y(t₀)) で全微分可能で、x(t),y(t) が t₀ で微分可能なら、合成関数 f(x(t),y(t)) も t₀ で微分可能です。その微分は、右辺の各量を対応する点で評価して、次の式になります。

df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt)+(∂f/∂y)(dy/dt)

証明の要は、全微分の式へ経路の変化を代入することです。t の増分を s とすると、x の増分は x′(t₀)s と s に比べて小さい誤差に分かれ、y も同様です。経路の移動距離は十分小さい s について定数倍の |s| 以下なので、全微分の誤差も |s| で割れば0へ向かいます。残る一次の項が上の式になります。

f(x,y)=x²+2y²、x(t)=t、y(t)=t² とすると、直接代入した関数は t²+2t⁴ です。したがって微分は2t+8t³です。連鎖律でも、2x×1+4y×2t に x=t、y=t² を代入すれば同じ答えになります。t=1 での変化率は10です。偏微分係数の2と4は各座標方向の傾きであり、経路上の変化率10とは役割が違います。

停留点を探してから、周りで増えるかを調べる

開集合の内点で全微分可能な関数が局所最大または局所最小をとるなら、その点で勾配は0です。どちらかの座標方向で微分係数が0でなければ、その方向へ少し進むか戻るかによって値を増減できるためです。ただし、勾配0は極値の必要条件であり、十分条件ではありません。

2階偏導関数がその点の近傍で連続な関数について、停留点での2階偏微分係数を A=∂²f/∂x²、B=∂²f/∂x∂y、C=∂²f/∂y² と置きます。混合偏微分はこの連続性の仮定のもとで順序を交換でき、2階の情報はヘッセ行列にまとめられます。D=AC-B² とすると、D>0 かつ A>0 なら厳密な局所最小、D>0 かつ A<0 なら厳密な局所最大です。D<0 なら、近くに値が大きい点も小さい点もある鞍点です。D=0 なら、この判定だけでは決まりません。

たとえば q(x,y)=x²+xy+y²-2x-4y では、停留点の条件は次の連立方程式です。

2x+y-2=0,　x+2y-4=0

解は (x,y)=(0,2) です。A=2、B=1、C=2 なので D=3>0 となり、局所最小と判定できます。さらに y=2+k、x=h とおくと、厳密に次の等式が成り立ちます。

q(h,2+k) = -4+h²+hk+k² = -4+(h+k/2)²+3k²/4

二乗の和が0になるのは h=k=0 のときだけなので、この例では最小値-4を全平面でただ1点だけがとります。一般の2階微分による判定は近くでの話ですが、この等式はすべての h,k で成り立つため、大域的な最小まで示せます。

対照的に s(x,y)=x²-y² は原点で勾配0でも、x 軸上では正、y 軸上では負になり、原点は鞍点です。また x⁴+y⁴ と x⁴-y⁴ はともに原点で2階偏微分係数がすべて0ですが、前者は厳密な最小、後者は鞍点です。D=0 を「極値なし」と覚えてはいけない理由がここにあります。

領域の読み方を積分の上下端にする

連続関数を閉じた有界長方形上で積分する場合、二重積分は、一方の変数について積分してから他方について積分する累次積分と一致し、順序を交換できます。三角形などでは、切り口が動くため、内側の積分区間の端も外側の変数に応じて変わります。より一般の関数で積分順序を交換するには、絶対可積分性などの条件を確かめる必要があります。

領域 T を 0≦x≦1、0≦y≦x で定め、f(x,y)=x+y を積分しましょう。x を固定すると y は0から x まで動きます。内側の積分は次の値です。

∫［y=0〜x］(x+y) dy = x²+x²/2 = 3x²/2

これを x で0から1まで積分すると、∬［T］ (x+y) dx dy=1/2 です。順序を逆にする場合、同じ T は 0≦y≦1、y≦x≦1 と表します。内側を x で積分すると1/2+y-3y²/2になり、y を0から1まで積分すれば、やはり1/2です。積分記号の順だけを入れ替え、上下端をそのまま残すことはできません。

ヤコビアンは小さな面積が何倍になるかを表す

座標変換 x=x(u,v)、y=y(u,v) の偏微分係数を並べたものがヤコビ行列で、その行列式をここではヤコビアン J と呼びます。2変数では次の式です。

J = (∂x/∂u)(∂y/∂v)-(∂x/∂v)(∂y/∂u)

変数変換の定理の使いやすい形として、開集合 U から V への写像 Φ が1対1かつ全射で、Φ と逆写像がともに1階連続微分可能とします。S が U 内のコンパクトな、境界が区分的に滑らかな領域で、f が Φ(S) 上で連続なら、次の公式が成立します。

∬［Φ(S)］ f(x,y) dx dy = ∬［S］ f(Φ(u,v))|J(u,v)| du dv

線形近似で見ると、u,v の小長方形は2本の辺ベクトルが張る平行四辺形へ移ります。その面積倍率が行列式の絶対値です。符号は向きの反転を表し、通常の面積を足すときは絶対値を使います。これは、関数の式を置き換えるだけでは積分が保たれない理由でもあります。

極座標 x=r cosθ、y=r sinθ なら、ヤコビ行列の2本の列は (cosθ,sinθ) と (-r sinθ,r cosθ) です。その行列式は r(cos²θ+sin²θ)=r になります。角度を少し変えたとき、原点から遠いほど長い弧を動くので、面積に r が掛かることは図からも納得できます。

単位円板 B、すなわち x²+y²≦1 の上で x²+y² を積分すると、次のように計算できます。

∬［B］ (x²+y²) dx dy = ∫［θ=0〜2π］∫［r=0〜1］r³ dr dθ = π/2

被積分関数から r²、面積の変換から r が出ます。極座標は原点で J=0 となり、角度の端も同じ点を表すため、円板全体で先ほどの仮定をそのまま満たすわけではありません。原点付近と角度の切れ目を除いた領域で公式を適用し、除いた部分を狭めていきます。ここでは関数が有界で、除く領域の面積が0へ近づくので、その寄与も0になります。公式を使う範囲と、境界をどう扱うかを分けると筋道が通ります。

座標を変えても問題を追えるようにした研究

多変数の微分積分の歴史を考えるとき、偏微分の記号が増えたことだけに目を向けると、何が必要だったのかを見失います。複数の量が同時に動く現象では、それらの関係を式にした後で、「この量を別の量の関数として解けるか」という問題が生じます。連鎖律で扱った合成とは逆向きに、関係式の中から局所的な関数を取り出す問いです。

陰関数定理を扱う研究書は、その起源を18世紀の実解析関数と力学の研究に置き、陰関数定理と逆関数定理が偏微分方程式、微分幾何、幾何解析の道具へ発展した流れを述べています（Krantz・Parks, 2003）。ここでいう陰関数とは、たとえば F(x,y)=0 のように、y が単独で左辺に取り出されていない関係から定まる関数です。

平面での陰関数定理の基本形は、F が (a,b) の近傍で1階連続微分可能、F(a,b)=0、∂F/∂y(a,b)≠0 なら、その点の十分小さい長方形の近傍で F(x,y)=0 を満たす点が、1階連続微分可能な関数 y=g(x) のグラフとして一意に表される、というものです。その近傍で g′(x)=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y) となります。分母を0でないと仮定することが、ある変数について解く向きを選べる根拠になります。

たとえば F(x,y)=x²+y²-1 では、(0,1) で ∂F/∂y=2 なので、近くでは y=√(1-x²) と表せます。一方、(1,0) では ∂F/∂y=0 で、その点の近傍の円を1本の y=g(x) のグラフにはできません。同じ x に正負2つの y が対応するからです。ただし ∂F/∂x=2 なので、近くで x=√(1-y²) と表すことはできます。式が解けるかだけでなく、どの向きに解くかが重要です。

もう1つの研究の流れは、最小にする対象を点から関数へ広げることです。先ほどの q(x,y) では、2個の数を選んで値を最小にしました。変分法では、曲線や分布を表す関数を選び、その関数に応じて決まる積分の値を最小にします。積分汎関数とは、このように関数を入力として数を返す量です。

積分汎関数の最小化を扱う総説は、最小化する関数の存在を示す際に、弱下半連続性という性質が重要になること、また下半連続性の研究が20世紀初頭にさかのぼり、現代理論の節目が1952年と1965年に築かれたことを述べています（Benešová・Kružík, 2017）。初学者にとっての接点は、「微分して0にする」前に、そもそも最小を実現する対象が存在するかを問う姿勢です。高校から続く極値の計算は、存在を確かめる理論と組み合わさって、より広い問題へ進みます。

面上の量を数え、時間とともに変わる系へ進む

重積分の直接的な応用として、密度が場所によって異なる薄い板の質量を考えます。長さをある共通単位で測り、領域 T を先ほどの三角形、面密度を σ(x,y)=x+y とします。面密度は単位面積あたりの質量なので、微小部分の質量は「面密度×面積」です。全質量は ∬［T］ σ(x,y) dx dy となり、対応する質量単位で1/2です。同じ積分の計算でも、何の量を面積に掛けているかによって物理的な意味が変わります。

密度が一定でないからといって、三角形の面積に適当な1点の密度を掛ければよいとは限りません。領域全体の分布を反映する必要があります。また、座標変換をした際に密度の式だけ変えてヤコビアンを落とすと、質量を誤って数えます。ヤコビアンは幾何の付属物ではなく、同じ物理量を異なる座標で計算しても一致させるための要素です。

研究では、空間上の分布に加えて、時間とともに変わる状態も扱います。経路積分という枠組みでは、単一の位置だけでなく、時間を通じた経路を対象にします。初歩の二重積分と同じ定義で直ちに扱えるものではありませんが、時間を細かく分け、各時点の状態を変数として記述する発想には、多変数の計算との接点があります。

再パラメータ化に対する不変性を持つ系の経路積分を扱った研究は、離散化によってその対称性が一般に壊れる問題を取り上げ、検討対象の離散化された経路積分が再パラメータ化不変であれば離散化にも依存しないことを示し、その知見を用いた反復的な構成法を述べています（Bährほか, 2011）。再パラメータ化とは、同じ経路をたどるための変数の付け方を変えることです。ここでは「細かく分ければよい」だけでは足りず、分け方によって保持したい構造が失われないかが問題になります。

高校の置換積分で、置換した後も同じ面積を計算するために微分の因子を付けたことを思い出してください。研究の対象や必要な理論は大きく異なりますが、表現を変えても何を保ちたいかを明らかにする姿勢はつながっています。多変数の積分で領域とヤコビアンを一緒に確認する習慣は、その入口になります。

また、乱れと雑音を含む系の時間発展について、経路積分を使う方法をまとめた総説では、単一変数の確率的な時間発展から出発し、摂動的な方法や模型への適用、乱れについて平均した時間発展を調べる手順が扱われています（Hertzほか, 2016）。位置や状態が不規則に変わる場合にも、変化率と積分を結び付ける考え方が使われます。多変数の微分積分を学ぶ段階では、まず有限個の変数について、何が状態で何が積分変数かを読み分けることが、その先の式を理解する準備になります。

図と式の対応を、答案に残せる手順にする

つまずきやすいのは、計算規則を覚えたのに、何を計算しているかが曖昧になる場面です。∂f/∂x を正しく求めても、y を固定した切り口の傾きだと言えないことがあります。円板を極座標に直せても、なぜ r を掛けるかが抜けると、円環など少し異なる領域で積分範囲を決めにくくなります。

大学1年生385人を対象に、数学、運動学、その他の文脈における対応するグラフの問題を調べた研究では、グラフ解釈の方略が文脈に大きく依存することが報告されています（Ivanjekほか, 2016）。これは特定の大学の対象者にグラフの解答と説明を求めた研究であり、多変数解析の学習法の効果を直接検証したものではありません。それでも、同じ数学的関係を異なる場面で読み直すという授業の問いを立てる手がかりになります。計算が一致するだけでなく、各場面で縦軸、横軸、傾きが何を意味するかまで確かめます。

学習の手順は、答案に残せる形にすると見直しやすくなります。

微分する前に、入力、出力、固定する量を書きます。偏微分なら「y を固定」、合成関数なら「x も y も t とともに変わる」と一言添えます。記号の使い分けが計算上の飾りでなくなります。
曲面を1枚で描こうとせず、まず切り口と等高線を描きます。x²+2y² なら y を固定した放物線と、値を正の定数に固定した楕円を分けて描き、曲面上の傾きと平面上の等高線を混同していないかを確かめます。
計算後に、別の方法で同じ量を求めます。連鎖律なら先に代入した一変数関数を微分し、重積分なら積分順序を交換します。答えが違ったときは、計算の途中だけでなく領域の表し方まで戻ります。
結論の横に仮定を短く書きます。「内点」「全微分可能」「2階偏導関数が連続」「変換が1対1」などです。定理の名前を覚えるより、どの行でその仮定を使ったかを追うほうが、適用範囲を判断しやすくなります。

高校生のうちに取り組むなら、二次関数の平方完成、合成関数の微分、定積分、ベクトルの内積を言葉と一緒に復習できます。たとえば、微分した式だけで終えず、「この値はどの点での何の変化率か」を1行書きます。二変数の式にも、片方へ具体的な値を代入すれば高校の関数が現れます。その切り口を足場にすれば、初めから立体図を完全に思い浮かべる必要はありません。

塾で担えるのは、誤りを単に計算ミスとして片付けず、どの対象の区別が抜けたかを見つけることです。三角形の重積分なら、内側の変数が動く線分を本人の手で描いてもらい、その端点を積分区間へ写します。偏微分と全微分なら、軸上の確認で十分かを反例に戻って考えます。途中の図と言葉が残れば、翌日に解き直す際にも、どの判断を再現すればよいかが明確です。

ご家庭では、お子さまが立体の図をすぐに描けるかだけで理解を判断せず、何を固定したか、どの領域を積分したかを説明できるかに耳を傾けていただけます。記号が増える時期には、計算速度より対象の読み分けに時間がかかることがあります。「この積分は何を足しているの」と尋ね、説明のために図へ戻る時間を持つと、どこまで理解しているかを共有しやすくなります。

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次元が増えたときに出てくる3つの疑問

偏微分が全部求まれば、接平面も使えますか

偏微分係数の存在だけでは十分ではありません。原点以外で xy/(x²+y²) と定めた例は、原点で両方の偏微分係数が存在しても連続ではありませんでした。よく使う十分条件は、その点の近傍で1階偏導関数が存在し、連続であることです。この条件のもとで全微分可能となり、接平面の近似が使えます。個別の点では、定義どおりに誤差を移動距離で割って極限を確かめる方法もあります。

勾配が0になる点だけ調べれば最大値と最小値が出ますか

閉じた有界な領域上で連続な関数は最大値と最小値をとりますが、それをとる点が内部にあるとは限りません。内部の微分可能な点では勾配0を候補にし、境界では境界の式を代入するなどして別に調べます。たとえば単位円板上の x²+2y² は原点で最小値0をとりますが、最大値2は境界の (0,1) と (0,-1) でとります。0≦x²+2y²≦2(x²+y²)≦2 と評価し、等号を満たす点を調べれば確かめられます。

ヤコビアンは暗記して付ければよいのですか

まず、古い座標を新しい座標の関数として書き、その微分から面積倍率を求めます。同時に、変換後の領域と、1対1になる範囲も確認します。極座標で r が出ることだけを覚えると、原点や角度の重なりに気付きにくくなります。小さな長方形の2本の辺がどう移るかを描くと、行列式と面積の関係を読み直せます。

通学電車の窓で見た景色に戻ると、線路に沿って進む変化と、土地全体に広がる起伏は別の情報でした。多変数の微分積分では、その違いを曖昧にせず、方向ごとの変化、すべての方向をまとめる近似、領域全体の合計へと順に表します。高校の計算を捨てる必要はありません。使える条件を明らかにしながら、扱う対象を広げていきます。

新しい記号が並んだら、固定した量、動かした方向、積分する領域を図に書き戻してみてください。その3点を自分で指し示せるところから、次元の増えた数学にも確かな足場が生まれます。

あわせて読む（数学の地図・高校数学の単元解説）

参考文献

Steven George Krantz, Harold R. Parks（2003）「The Implicit Function Theorem」Birkhäuser Boston eBooks. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0059-8
Barbora Benešová, Martin Kružík（2017）「Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications」SIAM Review. https://doi.org/10.1137/16m1060947
Benjamin Bähr, Bianca Dittrich, Sebastian Steinhaus（2011）「Perfect discretization of reparametrization invariant path integrals」Physical review. D. Particles, fields, gravitation, and cosmology/Physical review. D. Particles and fields. https://doi.org/10.1103/physrevd.83.105026
John A Hertz, Yasser Roudi, Peter Sollich（2016）「Path integral methods for the dynamics of stochastic and disordered systems」Journal of Physics A Mathematical and Theoretical. https://doi.org/10.1088/1751-8121/50/3/033001
Lana Ivanjek, Ana Sušac, Maja Planinić ほか（2016）「Student reasoning about graphs in different contexts」Physical Review Physics Education Research. https://doi.org/10.1103/physrevphyseducres.12.010106