理科の復習で測定の平均に回数を入れ忘れる—元の記録へ戻して計算を確かめる方法｜武蔵野個別指導塾

理科の測定で3回の記録のうち2回しか足さず割ったときの間違いを、元の記録表から読み返して直す手順を説明します。足した記録の個数と割る数をそろえたとき、出てくる値は平均です。

測った回数を3と覚えて、分子には2回分の値しか並べていない、という計算の間違いが理科の復習によく現れます。割る数を先に決めてしまうと、記録を数える順序が入れ替わり、あとから足し直しても気づかないまま答えが確定してしまいます。直すのは計算の速さではなく、足した値の数と割る数を元の記録と突き合わせてそろえる手順です。

ここに書くのは、前の特集『勉強のやり方の細かい悩み』のあとに続く、数の記録の照合の話です。中2の子が夜に測った水溶液の質量3回分を例に、照合する順番、途中で止まったときの分岐、訂正したあとの再試行を順にたどります。

よくあるのは、理科の記録票を写したその夜に平均を出すという場面です。授業で配られたプリントの記録欄に3つの数値が並んでいるので、それを紙に写して割る、という手順そのものは成り立ちます。短い時間で済ませたい日ほど、記録のほうへ気を取られて、数えずに計算が先に走ってしまいます。集中が途切れたままだと、答えの数値だけはできあがります。

記録の中で何が合わなくなったのか

分母を3とした理由は、たいてい記録票の3つの数字を見て「3回測った」と記憶したからです。分子に並べた項の数を指で数えない限り、確かめようがありません。足すほうは手を動かす作業、割るほうは暗記する作業なので、忙しい夜に残るのは割るほうの記憶だけです。

たとえば、水100mLに食塩を溶かした水溶液の質量を、同じ天秤で3回測ったとします。1回目が105.4 g、2回目が105.5 g、3回目が105.6 g です。3つを足すと316.5 g、3で割ると105.5 g になります。この計算そのものは問題ありません。

問題は、2回目の値の行がにじんでいて、分子に載せなかったことです。1回目と3回目だけを足した211.0 g を3で割った、という計算が残っていました。答えは70.3 g です。割る数の3は最初の記憶から取り直したもので、足した項の数を数えずに置かれた数字でした。

表の上の段と下の段で違うのは、分子に並べた値と、足した合計と、出てきた値の3か所です。割る数と、記録した測定の個数は両方で同じです。ここで気付けるのは、分子の2個を2で割ると105.5 g になり、正しい答えとちょうど一致することです。数値だけを見ていると回数の食い違いに気づけない理由がここにあります。とはいえ、水100mLに食塩を溶かした水溶液が70.3 g になることはありませんから、値の範囲で怪しさに気づくことはできます。

図1のように、同じ3個の記録から、3個を足す場合と2個を足す場合に分かれます。割る数が3のまま変わらないので、分子の項数だけを数えれば、どちらの計算になったかが分かります。

元の記録から数え直す手順

直し方としていちばん確実なのは、答えを書き直す前に、記録票と計算用紙を並べて数え直すことです。順番を決めておくと、途中で手が止まったときに戻れる場所がはっきりします。

ひとつ目は、計算用紙を消さずに残すことです。間違えた式を消して新しい式だけを書くと、次に同じ問題を扱ったときにどこで崩れたかが分からなくなります。訂正するときは線を引いて、その横へ書き直します。

ふたつ目は、記録票を出すことです。授業で使ったプリントの記録欄と、手元のノートの両方を確認し、どちらの値を使うかを決めてから数えます。授業で配布された値を使うなら、その旨を計算用紙の端に書き添えておきます。

みっつ目は、記録の個数を数えることです。記録欄の数値を、上から1つずつ指で追って数えます。数字の個数と、測定した回数は別の話です。3回測ったうち1回は採用しないと決めたなら、数える対象は2個になります。

4つめは、分子の項数を数えることです。式に並んでいる項の数を指で数え、分数で書いているなら分子だけを見ます。並んだ項が少なければ、合計を作り直す前に足し算から確認します。

5つめは、割る数を記録の個数に合わせることです。割る数は、足した項の数と同じにします。記録から1つを除外したなら分母からも1つ引き、除外した値は分子にも分母にも入れません。

6つめは、合計を2つに分けて足し直すことです。105.4と105.5で210.9、210.9に105.6を足して316.5 です。一度にまとめて足すと、途中で丸めた数字や、書き損じを直した数字が残ります。分けて足せば、値がずれた場所をたどれます。

7つめは、割ることです。316.5を3で割ると105.5 g になります。答えのそばに「3回分」と書き添えておくと、平均の欄を埋めるあとで回数を確かめ直せます。8つめは、単位を付けることです。g が抜けていると、答えの数字は正しくても答案では不正解になります。

8つを並べて書くと長くなりますが、毎晩くりかえすのは2つの作業だけです。記録票の値を指で追って数えることと、数えた個数を式に書き直すことです。ほかの手順はこの2つをやりやすくするための準備だと考えると、短い時間で済ませたい日に工程を増やせずに済みます。

図2のように、手順は「記録を出す」「個数を数える」「分子を数える」「分母をそろえる」「書き直す」の順に進めます。途中で迷ったときは、必ず2つめの「個数を数える」へ戻ります。戻った先が一箇所に決まっていると、やり直しが短く済みます。

図2の2つめの枠に色をつけているのは、迷ったときの戻り先をそこで固定するためです。戻る先が決まると、やり直した記録に「記録3個」「分子3項」と書き添えた数字も残せます。

途中で止まったときにどう戻すか

値が読めないことがあります。文字がにじんでいて数字が読めないとき、授業で写した値が残っていればプリントと照合して採用します。照合できない値は推測で埋めずに、記録票の欄を「採用2個」と書き直して、分母もその数にそろえます。推測で埋めた値が平均に混ざると、あとでどこを直せばよいかが分からなくなります。

授業の指示で回数が決まっている場合もあります。プリントに「3回測った平均を答えなさい」と書いてあるなら分母は3です。1回の測定を無効にする指示があるかどうかは、配布されたプリントやノートの書き方の指示を確認します。確認できない場合は、学校の担任に質問します。

出した値が物理的にあり得ない値だった場合は、計算の途中まで戻って数え直します。70.3 g のような値が出たときは、記録3個のうちどの2個を足したのか、分母の3はどこから来たのかを、順番に確かめます。

割り算では分母は分子の項数から決まります。この順番を先に決めておくと、記録の読み違いにも気付きやすくなります。先に3で割ることを決めてから記録を見ると、分子の項数が3個かどうかを確かめるだけで済むからです。値の範囲であり得ない値が出たときは、この順番を疑ったほうが早く直せます。

訂正したら、最初から同じ手順で書き直します。前回の式に1行足すように直すと、分子の項数と分母の回数がまた別の組合せになります。書き直したら、途中に「記録3個」「分子3項」「分母3」のように数だけ書き添えて置いてください。次の日に持ち越すのは、この分母のメモだけで十分です。

値が読み違えられているとき

記録を写しただけで起きているのが回数の数え違いなら、値が読み違えられているときも同じ手順で直せます。

ひとつは、桁の読み違いです。記録の105.6 g を106.5 g と読み違えて足すと、合計は317.4 g、3で割ると105.8 g になります。この値は範囲に収まっているので、数値だけではおかしいと気づけません。確かめるには、記録の値を1つずつ指で追う、小数点の位置をそろえて声に出して読み上げる、元のプリントの字形と見比べる、という手順を重ねます。合計も2つに分けて足して、片方だけで確かめます。

図3のように、105.6 g を106.5 g と読んだ直後は、合計も割り算の答えも、そこそこまともな数字に見えます。図の下にある本来の平均との差が0.3 g しかないため、値の範囲でも見つけられません。文字列として一桁ずつ読み直すことが、気づけない取り違えに効く理由です。

もうひとつは、測り直した値を加えたのに回数が増えていない場合です。やり直して得た105.3 g まで足すと4個分になり、421.8 g を3で割った140.6 g が出ます。最初の3個の値から大きく離れた値なので、記録に4個あることに気づけます。測り直した値は記録票に1行として残し、記録した回数を4に直すか、その行を採用せず3のままにするかを決めます。決めたほうを「採用した値」の欄に書き直します。

なお、記録票はそのまま保管しておくと、あとから照合できます。ノートに値を書き写すのではなく、記録票の写しを挟んでおくか、値を1行ずつ写し残します。値だけを写すと、書き写しの段階で桁や小数点の位置が変わってしまうことがあります。

記録票は3つの欄を用意しておくと、次に同じ表を扱うときも自分の手で数え直せます。「測った回数」「採用した値」「割る数」です。採用した値の欄には、2回目は文字がにじんで未採用だと書いた理由も添えます。記録を残しておけば、値を出し直すときの照合材料にもなります。家庭でやる部分は、お子さまが自分で数えられる範囲に分けておくと、時間を照合に充てられます。

確かめの問題

ここまでの例とは別の記録で、3問ほど確かめてみます。

1問目です。同じ水道の温度を4回測り、18.0度、18.5度、19.0度、18.5度という記録を得ました。4つを全部採用したとき、足す回数と割る回数はそれぞれいくつですか。平均はいくつですか。答えは、足す回数が4、割る回数も4です。合計は74.0度、74.0を4で割ると18.5度になります。分母は足した項の数と同じにします。18.5度が出れば、記録4個を足して4で割ったことになります。止まった場合は、分子の項数と分母を数え直してください。

2問目です。石の質量を3回量ったもののうち、1回分は量り器の目盛りが狂っていて値を採用しないと、記録票に書き残しました。残った2回の値だけで平均を出すとき、割る数はいくつですか。答えは2です。分母は採用した記録の数に合わせます。3で割った値は、採用した2つの平均ではなく、採用した値の和を3で割った値になります。戻る場所は、記録票の「採用した値」の欄です。採用した個数が2になっているかを確認します。

3問目です。記録した値は24.6 g、25.4 g、25.6 g の3個です。この3つを足して4で割った答えが18.9 g とノートにありました。おかしいところをあげてください。答えは、割る数が4になっている点です。3つの値の和は75.6 g なので、3回分なら75.6を3で割って25.2 g です。18.9 g は和を4で割った値です。戻る場所は分子の項数と分母を数え直す部分で、割る数を記録の個数にそろえます。

個別指導で確かめる点

塾での場面でも確認したいのは、使う値と分母の決め方です。授業で配布した値と、家庭で測った値の間でどちらを使うか決まっているか。記録票の様式に、測った回数と採用した値の欄があるか。平均の解答に桁数や単位の指定があるとすれば、解答欄の形式に合わせることです。指定は学校の指示に従います。

記録欄に回数を書き込む欄があるかも確認します。回数を書き込む欄がないプリントでは、分子の項数を数える手間がそのまま残ります。記録の様式を変えたいときは、学校の担当者と相談してから進めます。

家庭でやる部分は、お子さまが自分で数え直せる範囲に分けておきます。照合の材料は、自分の手元にある記録票とプリントです。

結び

平均を出す前の数え直しは、答えを出す計算とは別の作業として残しておくと効きます。夜に犯した取り違えは、記録を読み返せば見つかります。割り算の分母は、足した記録の数から決まります。記録の数を数える一行を、平均を求める前の手順に付けておけば、答えの合わない夜に迷い直す手間はぐっと減ります。