中学受験の算数 等差の並びの何番目—増える回数と項数を分けて位置を逆算する｜武蔵野個別指導塾

5から6ずつ増える並びを例に、65の位置を増える回数から逆算し、100を超える数や途中の数から差を決める問いも表で確かめると、増える回数に1を足せば何番目です。

よくあるのは、2から5ずつ増える並びで、47が何番目かを尋ねられ、47から2を引いた45を5でわった9を、そのまま9番目と書いてしまう場面です。実際に2、7、12、17、22、27、32、37、42、47と書き出せば、47は10番目にあります。9という数は「5をたした回数」を表していて、番号そのものではありません。短い並びなら書き出して気づけますが、数が3桁になると書き出しを省きたくなり、この1つのずれが残りやすくなります。

並びの位置を問う問題は、番号を口に出して数える問題ではありません。最初の数から差が何回たされたかを数え、その回数から番号を決める問題です。二つの数を取りちがえないための手順を、順に確かめます。

出方の型と、求める順序

位置を問う問題の出方は、大きく三つに分かれます。

第一の型は、最初の数と差が示され、ある数が何番目かを求める形です。「5から6ずつ増える並びで、65は何番目ですか」という問いです。この形では、65から5を引き、その差を6でわって増える回数を出し、最後に1をたします。

第二の型は、離れた二つの位置とその数が示され、差を先に決める形です。「4番目が23、10番目が53の並びで、98は何番目ですか」という問いです。番号の差6は増える回数、数の差30はその間にたされた量なので、30を6でわれば1回あたりの差が決まります。

第三の型は、範囲の端を決める形です。「100以下で最も大きい数は何番目ですか」という問いです。わり算の商と余りを読み分け、範囲を超えない側の番号を選びます。

三つの型は、問いの言葉で見分けられます。「何番目ですか」と番号を聞いていれば第一の型、「差はいくつですか」と差を聞いていれば第二の型、「最も大きい数はいくつですか」と数を聞いていれば第三の型です。番号を聞かれているのに数だけ答える、数と番号の両方を聞かれているのに片方だけ書く、という取りこぼしも多く起きます。問いの末尾まで読んでから式を立てるようにします。

どの型でも、先に決めるのは増える回数で、番号は最後です。順序を入れかえると、導入の場面のように1つ小さい番号を書いてしまいます。まず増える回数を確定させ、そのあとで1をたして番号へ直す、という二段構えを崩さないことが出発点です。

|知りたい量|求め方| |増える回数|(値 − 最初の数) ÷ 差| |項数（番号）|増える回数 + 1| |値|最初の数 + 差 × 増える回数|

増える回数と項数は、1つちがう

図1のように、6から4ずつ増える並びを五つ書いて、番号と増えた回数を並べてみます。

1番目は6です。2番目は10で、6に4を1回たした数です。3番目は14で、4を2回たした数です。4番目は18で3回、5番目は22で4回たした数になります。番号が5なのに、たした回数は4です。この1つの差が、この単元でいちばん取りちがえやすいところです。

最初の数は、まだ一度も差をたしていない数です。ですから、番号1のとき増える回数は0になります。番号が1増えるたびに差が1回たされるので、増える回数は番号より必ず1小さくなります。逆にいえば、番号は増える回数に1をたした数です。

図1で確かめた関係を式にすると、次の三つになります。三つは、値を出す向き、増える回数を戻す向き、そして番号へ直す最後の一歩に分かれます。

値 = 最初の数 + 差 × 増える回数
増える回数 = (値 - 最初の数) ÷ 差
項数 = 増える回数 + 1

一つ目の式は、増える回数から値を出す向きです。二つ目の式は、値から増える回数を戻す向きで、引き算とわり算の順序を守ります。三つ目の式が、増える回数を番号へ直す最後の一歩です。三つを一つの式として暗記するより、増える回数という真ん中の量をはさんで、前後に二つの式を置くほうが、どこで1をたすのかを見失いません。

番号と増える回数の対応を表にすると、次のようになります。

|番号|1|2|3|4|5|6| |増える回数|0|1|2|3|4|5|

この表のどの列も、番号から1を引いた数が増える回数になっています。差が4でも6でも、この関係は変わりません。変わるのは1回あたりにたされる量だけで、番号と増える回数の間にある1つの差は、いつも同じです。ですから、まず差の回数を数えるという作戦は、どの並びにも同じ形で使えます。

わり算で余りが出たときは、その値が並びに現れないことを意味します。たとえば6から4ずつ増える並びに25は現れません。25から6を引いた19を4でわると、商が4で余りが3になります。

25 - 6 = 19
19 ÷ 4 = 4 余り 3

4回たした22までは並びにあり、そこから4をたすと26になるので、25は通りません。余りがあるときは、番号を決める前に、その数が並びに入るかを疑います。余りが0のときだけ、その数は番号をもちます。

番号と数を線分図のように横一列へ並べると、隣り合う数の間隔がどこも同じであることも見えます。間隔の数は、数の個数より1つ少ないという見方は、植木を等間隔に並べたときの間の数と同じ仕組みです。間隔を数えているのか、木を数えているのかを言い分けるところが、この単元の中心になります。

基本例題　65の位置を求める

5から6ずつ増える並びで、65は何番目ですか。

まず65から最初の数5を引いて、増えた量を出します。引いた答えの60が、5から65までに増えた量です。

65 - 5 = 60
60 ÷ 6 = 10
10 + 1 = 11

増える回数は10回です。番号はこれに1をたした数なので11番目です。図2のように、増えた量、増える回数、番号の三つを順に並べて書くと、どこで1をたすのかが見えます。

出した番号を元の条件へ戻して確かめます。11番目は、最初の5に6を10回たした数です。

5 + 6 × 10 = 5 + 60 = 65

65に戻ったので、番号は正しく決まっています。前後の番号も見ておきます。10番目は5に6を9回たした59、12番目は5に6を11回たした71です。65は59と71の間にあり、11番目の位置に収まっています。前後を1つずつ計算するのは、番号がずれたときに、ずれの向きをはっきりさせるためにも役立ちます。

表にすると、番号と数の対応は次のようになります。

|番号|1|2|3|4|5|6| |数|5|11|17|23|29|35|

この表の続きを書かなくても、増える回数を式で出せば11番目に届きます。書き出しは最初の数項で規則を確かめるために使い、遠い位置は式で決める、という役割の分け方が身につくと、桁が増えても手が止まりません。書き出しで規則を確かめるときは、隣どうしの差を3組ほど計算し、どれも同じ数になることを見てから式に移ります。

ためしに68を考えます。68から5を引いた63を6でわると、商が10で余りが3になります。

68 - 5 = 63
63 ÷ 6 = 10 余り 3

増える回数10のときの数は65なので、68は11番目と12番目の間にあたる数です。並びに現れない数は、余りを見た時点で見分けられます。問題文が並びにある数を前提にしていても、自分の計算で余りが出たら、引き算かわり算のどちらかが違っていると考えます。

標準例題　差を先に決める

例題2　200を超える番号

7から9ずつ増える並びで、200を超えるのは何番目ですか。

200に近いところを、増える回数ごとに表で見ます。200を超える直前と直後が並ぶように、三つの回数を選びます。

|増える回数|そのときの数| |20|7 + 9 × 20 = 187| |21|7 + 9 × 21 = 196| |22|7 + 9 × 22 = 205|

増える回数21の196は、まだ200を超えていません。増える回数22の205で初めて200を超えます。番号は増える回数に1をたすので、22に1をたして23番目です。

表を作るときは、200に近いところから候補を3つほど並べます。200を9でわると商が22、余りが2になるので、増える回数は22の前後にあると見当をつけられます。いきなり1から順に書くより、当たりのついた回りから確かめるほうが、数が大きい問題では速く終わります。

わり算で確かめることもできます。200から7を引くと193で、これを9でわると商が21、余りが4です。

200 - 7 = 193
193 ÷ 9 = 21 余り 4

商の21は「9を21回たしても200に届かない」ことを示しています。余りが4あるので、あと1回たせば200を超えます。ですから増える回数は22で、番号は23です。余りが出たときに商をそのまま番号にしないことが、この形の分かれ目です。商と余りを並べて書き、余りが0かどうかで次の一歩を変えます。

例題3　離れた二つの位置から

4番目が23、10番目が53である並びがあります。差はいくつですか。また、98は何番目ですか。

まず、4番目から10番目までの間に、差が何回たされたかを数えます。番号の差は6です。

10 - 4 = 6
53 - 23 = 30
30 ÷ 6 = 5

6回たされた間に、数は23から53へ30増えました。30を6でわると、1回あたりの差は5です。次に1番目を求めます。4番目は1番目に5を3回たした数なので、逆に5を3回引けば1番目に戻ります。

23 - 5 × 3 = 23 - 15 = 8

1番目は8です。ここまでで並びは8、13、18、23、28、…と決まりました。98の位置は、最初の数からの増えた量を差でわって求めます。

98 - 8 = 90
90 ÷ 5 = 18
18 + 1 = 19

答えは19番目です。二つの向きから照合します。19番目は8に5を18回たした数です。

8 + 5 × 18 = 8 + 90 = 98

さらに、10番目から98までの増え方でも確かめます。53から98までの増えた量は45で、これを5でわると9回です。10番目から9回進んだ位置は19番目になります。

98 - 53 = 45
45 ÷ 5 = 9
10 + 9 = 19

どちらの数え方でも19番目になりました。離れた二つの位置を使う問題では、番号の差と数の差を別々に出し、数の差を番号の差でわって差を決める、という順序を守ります。ここで番号の差ではなく番号そのものをわる誤りが起きやすいので、わる数が「6回」であることを式の横に書いておきます。

番号の差を7と数えてしまう誤りもよく起こります。4番目から10番目までを指で数えると、4、5、6、7、8、9、10で7個です。しかし増える回数は、4番目から5番目へ進む1回を最初の1回として数えるので6回です。個数と間隔の数は1つちがうという図1の関係が、ここでもそのまま働いています。

発展例題　範囲の端を決める

例題4　100以下で最も大きい数

1から4ずつ増える並びで、100以下で最も大きい数は何番目ですか。また、その数はいくつですか。

100から最初の数1を引いて、増えた量の限界を出します。

100 - 1 = 99
99 ÷ 4 = 24 余り 3

商の24は、4を24回たしても100を超えないことを示しています。余りの3は、あと3たすと100を超えてしまう量です。ですから増える回数は24で、番号は25です。そのときの数は、最初の1に4を24回たして求めます。

1 + 4 × 24 = 1 + 96 = 97

答えは25番目で、その数は97です。端を含むかを確かめます。25番目の97は100以下です。26番目は97に4をたした101で、100を超えます。

100ちょうどが並びに入るかどうかも、同じ手順で判断できます。100から1を引いた99は4でわり切れないので、100はこの並びに現れません。わり切れるときだけ、その数自身が番号をもちます。余りが0かどうかは、端の数を数え落とすかどうかを決める分かれ目です。

範囲の端を扱う問題では、端を表す四つの言葉が答えを1つ動かします。100以下なら100を含み、100未満なら含みません。40以上なら40を含み、40より大きいなら含みません。条件の言葉を式の横に書き写し、含む側かどうかを丸で囲んでから計算すると、読みちがえを防げます。

誤答から直す　増える回数を番号にしない

図3のように、3から4ずつ増える並びで43が何番目かを考えると、増える回数の10をそのまま番号にしてしまう誤りが起こります。

誤答の手順は次のとおりです。増えた量を出したあと、差でわった数をそのまま番号にしています。

43 - 3 = 40
40 ÷ 4 = 10
答え 10番目

40は、3から43までに増えた量です。これを4でわった10は、4をたした回数です。番号は、たした回数より1つ大きくなります。ですから正しくは10に1をたして11番目です。元の条件へ戻して確かめます。

3 + 4 × 10 = 3 + 40 = 43

11番目が43です。10番目は39、12番目は47なので、43は11番目の位置にあります。

同じ誤りは、最初の数と差が大きく離れているときにも起こります。2から6ずつ増える並びで62を考えます。

62 - 2 = 60
60 ÷ 6 = 10
2 + 6 × 10 = 62

ここで10番目と答えると、また1つ小さくなります。正しくは11番目で、2に6を10回たすと62に戻ります。式の最後の行は、番号を決めたあとに必ず書く照合の行です。

誤りが起きるのは、わり算の答えがきりのよい数になったときです。10や20のような数が出ると、そこで計算が終わったように感じて、1をたす一歩を飛ばしてしまいます。式の最後に「+ 1」を書く欄を空けておき、増える回数と番号を別の行に書くようにすると、飛ばしにくくなります。答えの右に「回」と「番目」を書き添えるのも同じ効果があります。単位を書き分けるだけで、二つの量が別物であることが目に見えるようになります。

書き出しと式の使い分け

位置を決める方法は、書き出す方法と式で求める方法の二つあります。どちらも同じ答えに届くので、両方を知っておくと、片方で出した答えをもう片方で確かめられます。

6から4ずつ増える並びの5番目を、書き出しで確かめます。6、10、14、18、22と五つ書けば、5番目が22であることはすぐに見えます。同じ5番目を式で求めるなら、増える回数を4として、6に4を4回たします。

6 + 4 × 4 = 6 + 16 = 22

書き出した数と式の答えが食い違ったときは、差の数え方がずれています。多くの場合、増える回数を1つ多く数えたか少なく数えたかです。ですから短い並びでは、書き出しを検算の道具として使えます。10番目より先になると書き出しは間違えやすくなるので、式を主にして、最初の数項の書き出しで規則だけを確かめる、という順序が安全です。

書き出しには、規則そのものを確かめる役割もあります。問題文に差が書かれていないときは、隣どうしの差を3組ほど計算し、どれも同じ数になることを見てから式に移ります。1組だけ見て決めると、たまたま同じ差だった別の規則を取りちがえることがあります。

練習問題

次の五問を解いてください。答えは次の節にまとめています。

1. 12から7ずつ増える並びで、96は何番目ですか。
2. 3番目が14、9番目が44である並びがあります。差と1番目を求め、20番目を求めてください。
3. 4から7ずつ増える並びで、150を超えない最も大きい数は何番目ですか。また、その数はいくつですか。
4. 9から8ずつ増える並びで、7番目から15番目までの数は何個ありますか。また、15番目の数はいくつですか。
5. 100から6ずつ減る並びで、40以上で最も小さい数は何番目ですか。また、その数はいくつですか。

練習問題の答えと解き方

1. 96の位置

96から12を引いて増えた量を出し、7でわります。

96 - 12 = 84
84 ÷ 7 = 12
12 + 1 = 13

答えは13番目です。12に7を12回たすと96に戻ります。12 + 7 × 12 = 12 + 84 = 96となり、最初の数と差だけで元の数を作り直せます。

2. 離れた二つの位置

9番目と3番目の番号の差は6、数の差は30です。

9 - 3 = 6
44 - 14 = 30
30 ÷ 6 = 5

差は5です。3番目は1番目に5を2回たした数なので、1番目は14から5を2回引いて4です。

14 - 5 × 2 = 14 - 10 = 4
4 + 5 × 19 = 4 + 95 = 99

答えは差が5、1番目が4、20番目が99です。3番目と9番目に戻して確かめると、4 + 5 × 2 = 14、4 + 5 × 8 = 44となり、問題文の二つの数に戻ります。

3. 150を超えない最も大きい数

150から4を引いて、増えた量の限界を出します。

150 - 4 = 146
146 ÷ 7 = 20 余り 6
4 + 7 × 20 = 4 + 140 = 144

増える回数は20で、番号は21です。答えは21番目で、その数は144です。22番目は144に7をたした151で、150を超えます。144と151の間に150があるので、144が条件に合う最も大きい数です。

4. 7番目から15番目まで

7番目から15番目までの個数は、両端を含めて数えます。

15 - 7 + 1 = 9
9 + 8 × 14 = 9 + 112 = 121

答えは9個、15番目の数は121です。並べて確かめると、57、65、73、81、89、97、105、113、121の9個になります。両端を含むので、単純に15から7を引いた8ではなく9個になる点に注意します。

5. 減る並び

6ずつ減る並びでは、40以上という条件を、100から40を引いた量で考えます。

100 - 40 = 60
60 ÷ 6 = 10
10 + 1 = 11

6を10回引くと40です。番号は10に1をたした11番目です。12番目は40から6を引いた34になり、40を下回ります。答えは11番目で、その数は40です。減る並びでも、増える回数と番号の関係は同じように使えます。減る量を数える向きで考えても、番号に1をたす一歩は変わりません。

覚えておくこと

• 増える回数は、差が何回たされたかを表す。
• 項数は、増える回数に1をたした数になる。
• 位置を求める式は、(値 − 最初の数) ÷ 差 + 1 である。
• わり切れない値は、その並びに現れない。
• 番号を出したら、最初の数から差をたして元の数に戻るか確かめる。

つまずきの見分け方と、確かめる場所

答えの番号が1つ小さいときは、増える回数をそのまま書いていないかを見ます。式の最後に1をたす行があるか、増える回数と番号を別の行に書いているかを確かめると、原因が特定できます。

わり算の余りを捨てているときは、その数が並びに入るかを確かめていない可能性があります。余りが出た問題で、答えの数が並びに本当に現れるかを、前後の項を計算して見せると、誤りに気づけます。

範囲の端を問う問題で1つずれるときは、端を含むかどうかの読み取りを見ます。「以下」と「未満」、「以上」と「より大きい」の区別を、自分の言葉で説明できるかを確かめます。

離れた二つの位置から差を求める問題では、番号の差と数の差のどちらでわったかを確認します。数の差を番号の差でわった式を書かせると、順序の誤りはその場で見つかります。

確かめる場所は、答えを出した直後の一行です。番号から数を計算し直し、問題文の数に戻るかを照合します。戻れば手順は正しく、戻らなければ立式のどこかが入れかわっています。増える回数と項数を分けて書き分けることが、遠い位置を落ち着いて決める土台になります。