中学受験の算数 公倍数と最小公倍数—二つの列に共通する数を周期の表で見つける｜武蔵野個別指導塾

4と6の共通の数を24と答えたお子さまに、数直線で12から24、36へ続く間隔を示し、積が最小とは限らない理由を伝える。12こそ最小の公倍数です。

出方の型と見通し

4と6の公倍数をたずねると、24と書いて手を止めるお子さまがいます。4×6の計算は合っていますが、たずねられているのは2つの数に共通する倍数のうち、いちばん小さい数です。4の倍数は4、8、12、16、20、24と続き、6の倍数は6、12、18、24、30と続きます。両方に現れる最初の数は12で、24はその次の公倍数にあたります。積を答えてしまう背景には、2つの数を掛ければ必ず最小の共通の数になるという思い込みがあります。

公倍数と最小公倍数の問いは、大きく3つの形で出ます。1つは、2つの倍数の列を書き並べ、最初にそろう数と、そのあと現れる間隔をたずねる形です。「8と12の公倍数を小さい順に3つ書きなさい」という問いがこれにあたります。2つ目は、決められた範囲の中に公倍数がいくつ入るかをたずねる形で、「1から300までに12と15の公倍数は何個ありますか」のように出ます。3つ目は、2つの数のどちらで割っても割り切れる数を、条件に合う範囲から選ばせる形です。「6と8のどちらでも割り切れる2けたの整数をすべて書きなさい」がその例です。

どの形も、やることは同じです。2本の倍数の列を同じ場所に並べ、印が重なる位置を探します。数が大きくなって列を書くのが大変になったら、両方を割り切る数でくくって、残った2つの数で列を短くします。この2段構えの手順が身につくと、積をそのまま答える誤りも、公倍数の間隔を取り違える誤りも減っていきます。

問題文では、同じ内容がいくつかの言葉で書かれます。「2つの数のどちらで割っても割り切れる数」「2つの数に共通する倍数」「2つの列がそろう数」は、どれも公倍数を指します。「いちばん小さい」が付いていれば最小公倍数をたずねています。「何個ありますか」が付いていれば、範囲の中の公倍数の個数です。言葉を言い換えられるかどうかで、式を立てる前の段階に差が付きます。

用語と考え方

ここでは正の整数だけを扱います。0は倍数に数えません。

2つの整数について、一方の倍数でももう一方の倍数でもある数を、その2つの数の公倍数といいます。公倍数は1つではなく、いくつも並びます。そのうち最も小さい正の数を最小公倍数といいます。4と6なら、4の倍数は4、8、12、16、20、24、28、32、36と続き、6の倍数は6、12、18、24、30、36と続きます。共通して現れる数は12、24、36で、最小公倍数は12です。

図1のように、2本の列を同じ数直線の上下に置くと、共通の数がどこに現れるかを目で追えます。4の倍数の印は4ごとに、6の倍数の印は6ごとに付き、両方の印が重なるのは12、24、36の位置です。重なった印の間隔は、いつも12になっています。

この間隔がいつも最小公倍数になる理由を、12と24で確かめます。24も12も4の倍数なので、その差12は4の倍数です。同じように、24も12も6の倍数なので、差12は6の倍数でもあります。つまり、2つの公倍数の差は、また公倍数になります。そこで、12より大きく24より小さい公倍数があったとします。その数から12を引くと、12より小さい公倍数ができてしまい、12がいちばん小さいという条件に反します。だから12と24の間には公倍数がなく、公倍数は12の倍数として、12、24、36、48と並びます。最小公倍数をLと書けば、公倍数はLの1倍、2倍、3倍と続くわけです。

同じ理由で、公倍数をLで割った余りは0になります。Lの倍数でない公倍数があったとすると、Lで割った余りがLより小さい公倍数になり、やはり最小という条件に反します。この性質は、範囲の中の個数を数えるときに働きます。1から100までに4と6の公倍数がいくつあるかは、最小公倍数12の倍数が100までに何個入るかと同じことです。12、24、36、48、60、72、84、96の8つが入り、12の9倍の108は100を超えます。端の数を入れるかどうかは問題文で確かめます。

2つの数を掛けた積も、必ず公倍数になります。4×6=24は、4で割っても6で割っても割り切れます。けれども12より大きいので、最小公倍数ではありません。2つの数を掛けると、両方に共通して入っている約数を2度数えてしまうからです。4と6はどちらも2で割り切れるので、掛け算の24には2が余分に1度入り、その分だけ大きな公倍数になります。8と12なら共通の約数4が余分に入り、積96は最小公倍数24の4倍になります。

数が大きいときは、共通の約数でくくって列を短くします。8と12はどちらも4で割り切れるので、8=4×2、12=4×3と書けます。共通の4は1度だけ数え、残った2と3を掛けて4×2×3=24とします。この計算が成り立つのは、8の倍数が4×2、4×4、4×6と続き、12の倍数が4×3、4×6、4×9と続くからです。かっこの中の数が2の倍数でも3の倍数でもある最初の数は6で、4×6=24が最初の共通の数になります。

残った2つの数がまだ共通の約数を持つときは、同じ操作を繰り返します。20と30は10でくくると2と3になり、2と3は1以外の共通の約数を持ちません。すると最小公倍数は10×2×3=60です。共通の約数のうち最も大きい数を使うと、1度で終わります。この数を最大公約数といいますが、ここでは共通の約数でくくって計算する使い方だけを見ます。

列を書くときは、小さい方の数の倍数を先に書き、大きい方の数の倍数と照らし合わせると速く進みます。8と12なら、12の倍数を12、24、36と書き、そのそれぞれが8で割り切れるかを見ます。最初に割り切れた24で探すのをやめれば、列をむだに長く書かずに済みます。ただし、公倍数を3つ並べる問題では、最初の1つを見つけたあとも、最小公倍数を足して2つ目、3つ目を書き足します。

共通の約数を探すときは、2、3、5の順に試すと見つけやすいです。どちらも偶数なら2で割れます。各位の数の和が3の倍数なら3で割れます。一の位が0か5なら5で割れます。見つかった約数で割った商どうしを並べ、また同じ手順を繰り返します。商どうしが1以外の共通の約数を持たなくなったら、左に出した数を全部掛け、最後に残った2つの数を掛けます。8と12なら2が2回出て、最後に2と3が残るので、2×2×2×3=24です。

公約数と公倍数は向きが逆です。公約数は2つの数を割り切る数で、公倍数は2つの数で割り切れる数です。8と12の共通の約数は1、2、4で、最小公倍数は24です。同じ2つの数を見ていても、割る側に立つか割られる側に立つかで並ぶ数が変わります。言葉を入れ替えないようにしてください。

3つの数の公倍数を求める問題は、まず2つの最小公倍数を出し、その数と3つ目の数の最小公倍数を出す順になります。ここでは2つの数の場合に絞って、列と間隔の見方を固めます。

基本例題

例題1　8と12の公倍数を小さい順に3つ書き、最小公倍数を求めなさい。

まず2本の列を書きます。書き始めの数をそろえ、倍数を1つずつ増やしながら並べると、書き漏らしを防げます。

8の倍数　8、16、24、32、40、48、56、64、72 12の倍数　12、24、36、48、60、72、84

両方に現れる数は24、48、72です。したがって公倍数は24、48、72で、最小公倍数は24になります。8の列では3番目、12の列では2番目に現れる数が24です。

同じ答えを、共通の約数でくくって確かめます。8と12はどちらも4で割り切れるので、8=4×2、12=4×3です。2と3は1以外の共通の約数を持たないので、4×2×3=24が最小公倍数です。図2のように、割り算を縦に並べると、左に出した共通の約数と、下に残った2つの数が一度に見えます。

検算します。24÷8=3、24÷12=2で、どちらも余りなく割り切れます。公倍数の2番目は24+24=48、3番目は48+24=72です。積の8×12=96も公倍数ですが、24、48、72、96の4番目にあたり、最小ではありません。

答え　公倍数は24、48、72。最小公倍数は24。

標準例題

例題2　18と30の最小公倍数を求め、公倍数を小さい順に3つ書きなさい。

18と30はどちらも2で割り切れ、さらに3でも割り切れます。共通の約数を探すときは、大きい数から試すと短く済みます。18と30の共通の約数は2、3、6で、最も大きい6でくくります。

18=6×3 30=6×5

3と5は1以外の共通の約数を持ちません。そこで6×3×5=90が最小公倍数です。

検算します。90÷18=5、90÷30=3で、どちらも割り切れます。公倍数は90、180、270と90ずつ増えます。積の18×30=540は、90の6倍で、6番目の公倍数です。

和を公倍数と取り違える誤りもあります。18+30=48は、18でも30でも割り切れません。48÷18は2余り12、48÷30は1余り18です。2つの数を足しても、共通の倍数にはなりません。足し算で作った数は、2つの数の間にあるだけで、どちらの倍数でもないことが多いのです。

答え　最小公倍数は90。公倍数は90、180、270。

列を書く方法と共通の約数でくくる方法は、どちらも同じ答えに着きます。数が小さいうちは列の方が間違いに気づきやすく、数が大きくなるとくくる方法が速くなります。40と60なら、まず2でくくって20と30、次に10でくくって2と3が残ります。左に出た2と10、残った2と3を掛けて2×10×2×3=120が最小公倍数です。120÷40=3、120÷60=2で、どちらも割り切れます。

発展例題

例題3　12と18の公倍数のうち、3けたで最も小さい数を求めなさい。また、3けたの公倍数は全部で何個ありますか。

12と18はどちらも6で割り切れます。まず6でくくって、残りを見ます。

12=6×2 18=6×3

2と3は1以外の共通の約数を持たないので、6×2×3=36が最小公倍数です。公倍数は36、72、108、144と36ずつ増えます。

3けたで最も小さい公倍数は108です。108÷12=9、108÷18=6となり、どちらも割り切れます。1つ前の72は2けたなので、3けたの最初は108で間違いありません。

3けたの公倍数の個数は、36の倍数が100から999までに何個入るかで数えます。999÷36=27余り27なので、36の倍数は27個あります。このうち36と72の2つは2けたですから、3けたは27-2=25個です。最後の3けたの公倍数は36×27=972で、972+36=1008は4けたになります。

端の数を取り違えないようにします。108と972はどちらも3けたの公倍数なので、個数に含めます。27個から2けたの2つを引く計算は、両端を含めた数え方と一致しています。108の1つ前の72と、972の1つ後の1008を書き添えておくと、端の確認が一目で終わります。

別の数え方でも確かめます。108から972までの差は864で、36で割ると24です。108を1個目と数えれば、24+1=25個になります。書き出して数えても、108、144、180、216、252、288、324、360、396、432、468、504、540、576、612、648、684、720、756、792、828、864、900、936、972の25個で、同じ数になります。

答え　3けたで最も小さい数は108。3けたの公倍数は25個。

よくある誤りと直し方

例題4　8と20の最小公倍数を求めなさい。

誤答は8×20=160です。この答えは、積をそのまま書いたもので、160は確かに公倍数です。8で割っても20で割っても割り切れます。しかし最小ではありません。8と20は4を共通の約数に持つので、積の160には4が2度入り、その分だけ大きくなっています。

原因は、共通の約数を2度数えていることです。8=4×2、20=4×5なので、4の部分は両方に共通します。掛け算の160は4×2×4×5と同じで、4を2回かけています。共通の部分を1度だけにすれば、正しい最小公倍数になります。

直し方は、共通の約数4でくくることです。4×2×5=40が最小公倍数になります。40÷8=5、40÷20=2で、どちらも割り切れます。公倍数は40、80、120と続き、積の160は4番目です。

図3のように、誤答の160と正解の40を並べると、違いは共通の約数を1度だけ数えたかどうかにあります。40から80へは40ずつ増え、160はその4番目にあたります。160という数自体は間違っていません。最小公倍数をたずねられたときに、最小でない数を答えてしまった点が誤りです。

別の条件でも比べます。7と9は1以外の共通の約数を持ちません。このときは7×9=63がそのまま最小公倍数になります。つまり、積が最小公倍数になるのは、2つの数が1以外の共通の約数を持たないときだけです。「いつも積」ではなく「1以外の共通の約数がないときだけ積」と覚え直すと、この誤りは起こりにくくなります。

間隔を取り違える誤りもよく見ます。12と18の公倍数を36、54、72と書いた場合、36の次に18を足しています。54は18では割り切れますが、12では割り切れません。最小公倍数を見つけたあとは、間隔を必ず最小公倍数そのものにします。正しくは36、72、108です。36に12を足して48とする誤りも同じで、48は12では割り切れますが18では割り切れません。

この誤りは、最小公倍数を求める計算が正しくても起こります。36という答えは合っているのに、そのあとの並べ方で間隔を片方の数に置き換えてしまうのです。公倍数の列を書いたら、2つの数のうち小さい方でも大きい方でもない36で割って、商が整数になるかを確かめます。36、72、108はすべて36で割り切れ、54と48は割り切れません。

割り算を並べる表でも、書き忘れによる誤りがあります。8と12を2で割って4と6、もう一度2で割って2と3とし、左に出した2を1つだけ使って2×2×3=12とすることがあります。12は12では割り切れますが、8では割り切れません。左に出した数は、割った回数だけすべて掛けます。8と12なら2が2回出るので、2×2×2×3=24です。答えを出したら、必ず元の2つの数で割って確かめます。

練習問題

1. 6と10の最小公倍数を求め、公倍数を小さい順に3つ書きなさい。
2. 9と15の公倍数のうち、1から200までにあるものは何個ありますか。
3. 14と21の公倍数のうち、100以下で最も大きい数を求めなさい。
4. 10と15のどちらで割っても割り切れる2けたの整数を、すべて書きなさい。
5. 12と16の公倍数のうち、200より大きく300より小さい整数を、すべて書きなさい。

答えと解き方

1. 6=2×3、10=2×5なので、2×3×5=30が最小公倍数です。公倍数は30、60、90と続きます。検算は30÷6=5、30÷10=3です。積の60は2番目の公倍数にあたります。

2. 9=3×3、15=3×5なので、3×3×5=45が最小公倍数です。45、90、135、180が200以下に入り、45×5=225は200を超えます。答えは4個です。検算は180÷9=20、180÷15=12です。

3. 14=7×2、21=7×3なので、7×2×3=42が最小公倍数です。42、84、126と続くので、100以下で最も大きい数は84です。検算は84÷14=6、84÷21=4です。126は100を超えています。

4. 10=5×2、15=5×3なので、5×2×3=30が最小公倍数です。2けたの公倍数は30、60、90で、120は3けたになります。検算は90÷10=9、90÷15=6です。30と60も、それぞれ10と15の両方で割り切れます。

5. 12=4×3、16=4×4なので、4×3×4=48が最小公倍数です。48、96、144、192、240、288、336と続きます。200より大きく300より小さい数は240と288です。検算は240÷12=20、240÷16=15、288÷12=24、288÷16=18です。192は200より小さく、336は300より大きいので、どちらも条件の外になります。

覚えておくこと

• 公倍数は2つの倍数の列に共通して現れる数で、最小公倍数はその最初の数です。
• 公倍数は最小公倍数の倍数として並び、間隔はいつも最小公倍数です。
• 積は公倍数の1つですが、共通の約数があるときは最小公倍数より大きくなります。
• 数が大きいときは、共通の約数でくくり、残った2数が1以外の共通の約数を持たなくなるまで分けます。
• 範囲の中の個数は、最小公倍数の何倍まで入るかで数え、端を含むかを問題文で確かめます。

つまずきの見分け方と確かめる場所

積を答えてしまうお子さまには、「この2つの数は1以外の数で両方割り切れるか」と聞きます。割り切れるなら積は最小ではありません。8と20なら4で割り切れるので、積の160より小さい公倍数があります。自分で共通の約数を見つけられたら、その数でくくる計算まで一緒に確かめます。

間隔を取り違えるお子さまには、最小公倍数の次に片方の数を足していないかを見ます。36の次に54と書いていたら、54をもう片方の12で割らせます。割り切れないことに気づけば、間隔が最小公倍数でないとわかります。間違えた数を消して終わりにせず、なぜ割り切れないのかを言葉にさせると、同じ誤りが減ります。

範囲の個数を1つずれるお子さまには、範囲の最初と最後の公倍数を書き出させます。「200以下」と「200より小さい」の違いを、問題文に戻って確かめる習慣が効きます。最後の公倍数に最小公倍数を足した数が範囲を出るかどうかも、一緒に見ます。端の数は、書き出した列の左右に1つずつ足して確かめると見落としません。

表の書き方を確かめるときは、2本の列を縦に並べさせ、共通の数に丸を付けさせます。丸の位置がずれていたら、列の書き始めの数が合っているかを見ます。4の倍数を2から書き始めていたり、6の倍数を12から書き始めていたりすると、丸の位置がずれます。倍数の列は、その数の1倍から書き始めると決めておくと安全です。

式の意味を確かめるときは、くくった数と残った数を指で追わせます。8と12なら、4が共通の部分、2と3がそれぞれに残った部分です。4×2で8、4×3で12に戻ることを確かめてから、4×2×3で最小公倍数を作ります。戻る確認ができれば、どの数が共通で、どの数が残りなのかを取り違えません。

説明を確かめるときは、「なぜ12が24より先なのか」を言葉にさせます。共通の約数を2度数えない説明が出れば、理解は計算の手順だけでなく理由にまで届いています。言葉に詰まったら、12と24の差が12であり、その12がまた公倍数であることに戻ります。理由を自分の言葉で言えたお子さまは、次に数が変わっても同じ見方を使えます。

共通の印が現れる間隔を自分の手で確かめたお子さまは、次の2つの数を見せられたときも、同じ2本の列を自分から書き始めます。