大学入試数学 二変数の和の制約—一方を消去した後の定義域を求め最適値を戻す｜武蔵野個別指導塾

x+yが一定の二変数で二次式の最大最小を問われたら、消去したあとに残るxの動ける幅を先に書き、頂点が入るか外れるかで端点と比べる順を決める。その切れ目を見抜けます。

自習中に x+y=8 という条件の下で x²+y² の最小値を求める問題を解き、y=8-x を代入して平方完成まで終えたのに、最後の検算で答えの組が条件からはみ出していた、という場面があります。途中の計算に誤りは見当たらないのに、答えだけが合わない。原因は多くの場合、消去したときに x が動ける範囲を書き直していないことです。ここでは、和の制約から一変数の二次関数へ移す手順と、定義域を戻して最適値と達成する組を決める手順を、順番に確かめます。

何を問われるか

和が一定という条件の問題は、次の三つの型で出ます。

第一の型は、x+y=S と、x の上下限 a≤x≤b が与えられ、二次式の最大値と最小値を問う型です。y を消去して x の二次関数にし、頂点が区間に入るか、入らないならどちらの端点が近いかを調べます。第二の型は、x>0、y>0 という正の条件だけが付く型です。このとき x の範囲は 0<x<S という開いた区間になり、最大値や最小値が存在しない場合があります。存在しないことを答案に書くのも答えの一部です。第三の型は、上限や下限に文字が入る型です。頂点が区間に入るかが文字の値で変わるため、境目を求めて場合分けし、それぞれの組を順序付きで書きます。

使う道具は、代入、展開、平方完成、二次関数の区間での最大最小、そして連立不等式から範囲を出す計算です。数学Iの二次関数だけで処理でき、微分は使いません。前提として、文字はすべて実数で、問題文にある正の条件と上下限を、式を解く前に確認します。

用語と考え方

x+y=S を制約式、最大にしたい式や最小にしたい式を目的式と呼びます。制約式を y=S-x と解いて目的式へ代入する操作が消去です。消去は一方の文字を決めれば他方が決まる一対一の対応なので、x の範囲を決めれば y の範囲も自動的に決まります。ここで大事なのは、消去したあとに残る x の範囲を、元の条件から作り直すことです。x>0 と y>0 は、y=S-x を代入すると x>0 かつ S-x>0、すなわち 0<x<S になります。上下限 a≤x≤b が別に与えられていれば、0<x<S と a≤x≤b の共通部分が実際の定義域です。

目的式が二次式なら、消去のあとは f=A(x-p)²+q の形に平方完成します。A>0 のとき (x-p)²≥0 なので f≥q がすべての x で成り立ち、等号は x=p のときだけ成り立ちます。したがって、p が定義域に入っていれば最小値は q です。p が定義域の外にあれば、q は到達できない値で、最小値は定義域の端点のうち p に近い側で取ります。A>0 の放物線は頂点から離れるほど値が大きくなるので、区間の端点を比べれば最大値が決まります。ただし区間が開いている端を含む場合は、近づく値と実際に取れる値を区別します。平方完成で出る定数 q は頂点の値であって、最小値そのものではありません。q を最小値と呼べるのは、x=p が定義域に入るときだけです。

評価の向きと等号を分けて書くのが、この単元の答案の骨格です。f≥q を示しただけでは最小値を求めたことにならず、f=q となる x が定義域に存在することを別に示します。逆に、頂点の値が到達できない場合には、いくらでも近づける値と、実際に取る値が違うことを明記します。最大値についても同じで、端点で取るのか、頂点で取るのか、取らないのかを場合ごとに決めます。

もう一つ見落としやすいのは、消去した文字の条件が消えるわけではないという点です。y=8-x と置いた時点で y は式から見えなくなりますが、y>0 という条件は x<8 として残ります。消去は条件を減らす操作ではなく、条件を別の文字で書き直す操作です。消去の前後で条件の数が変わっていないことを、毎回確かめます。

図1は、条件を x の範囲へ翻訳する様子を数直線で表したものです。上の段の 0<x<8 は、x+y=8 と x>0、y>0 から出る範囲です。下の段の 1≤x≤3 は問題文が与えた上下限で、両方の重なりが実際に動かせる範囲になります。端の白丸はその値を取らないこと、黒丸は取ることを表します。

図1のように、条件は足し算ではなく共通部分で重ねます。片方だけで決めると、消去したあとに存在しない x を候補にしてしまいます。

基本例題

x+y=8、1≤x≤3、y>0 のとき、f=x²+y² の最大値と最小値を求め、そのときの組 (x,y) を書きます。

まず y を消去します。制約式を y について解くと y=8-x です。これを目的式へ代入すると f=x²+(8-x)² になります。展開して整理し、平方完成します。

y = 8 - x
f = x² + (8 - x)²
  = x² + 64 - 16x + x²
  = 2x² - 16x + 64
  = 2(x - 4)² + 32

次に定義域です。y>0 から 8-x>0、つまり x<8 です。x>0 と合わせると 0<x<8 で、これと 1≤x≤3 の共通部分は 1≤x≤3 です。x がこの範囲にあるとき y=8-x は 5≤y≤7 となり、y>0 は自動的に満たされます。

頂点は x=4 で、定義域 1≤x≤3 の右側の外にあります。放物線は頂点から離れるほど値が大きいので、定義域では x が大きいほど f は小さいままです。したがって最小値は右端 x=3 で f=2(3-4)²+32=34、y=8-3=5 です。最大値は左端 x=1 で f=2(1-4)²+32=50、y=8-1=7 です。

答えは、最大値 50 を (x,y)=(1,7) で取り、最小値 34 を (x,y)=(3,5) で取ります。検算すると、1+7=8、3+5=8 で和の条件に戻り、1≤1≤3、1≤3≤3 で上下限にも戻ります。値も 1²+7²=50、3²+5²=34 で一致します。

図2は、xy 平面上の直線 x+y=8 のうち、1≤x≤3 で切り取られる線分を太く示したものです。両端の (1,7) と (3,5) が、いま比べた二つの候補です。

図2のように、和の制約は平面上では直線になります。上下限はその直線上の線分に切り取る条件なので、候補は線分の両端と、頂点に対応する点の三つに絞られます。

平面上で考えると、頂点の x=4 に対応する点 (4,4) は直線 x+y=8 の上にあります。しかし線分の端は x=3 で切れているため、(4,4) は動かせる範囲の外です。頂点が直線上にあることと、線分上にあることは別で、上下限が付いた瞬間に候補から外れます。この区別が、消去したあとに定義域を書く理由です。

標準と発展の例題

例題2（標準） 正の条件だけの和

x+y=6、x>0、y>0 のとき、f=x²+2y² の最小値を求め、最大値があるかどうかも答えなさい。

y=6-x を代入します。x>0 と y>0 から 0<x<6 です。

f = x² + 2(6 - x)²
  = x² + 2(36 - 12x + x²)
  = x² + 72 - 24x + 2x²
  = 3x² - 24x + 72
  = 3(x - 4)² + 24

頂点は x=4 で、0<x<6 の中にあります。よって最小値は 24 で、x=4、y=2 のときです。組は (x,y)=(4,2) で、和は 6、どちらも正です。

最大値はありません。x を 0 に近づけると y は 6 に近づき、f は 72 に近づきますが、x=0 は x>0 に反するため 72 には到達しません。x を 6 に近づけたときの 36 も、y=0 が除かれるため到達しません。0<x<6 で f は連続に動き、72 より大きい値も 36 より小さい値も取りますが、最大になる点はありません。答案には「最大値はない」と書き、近づく値の 72 を最大値として書かないようにします。

別解として、x-4=u と置くと、x の範囲は -4<u<2、f=3u²+24 です。u=0 が範囲内なので最小値 24 がすぐ見え、u が -4 に近づくほど f が 72 に近づいて到達しないことも見えます。文字をずらすと頂点が原点に来て、範囲の端がどこにあるかだけを考えればよくなります。

例題3（標準） 両方に下限がある和

x+y=9、x≥2、y≥3 のとき、f=x²+y² の最大値と最小値を求め、そのときの組を答えなさい。

まず x の範囲を出します。y=9-x を y≥3 に代入すると 9-x≥3、すなわち x≤6 です。x≥2 と合わせて 2≤x≤6 です。この範囲で y=9-x は 3≤y≤7 となり、y≥3 は満たされます。

f = x² + (9 - x)²
  = x² + 81 - 18x + x²
  = 2x² - 18x + 81
  = 2(x - 9/2)² + 81/2

頂点は x=9/2 で、2≤x≤6 の中にあります。よって最小値は 81/2 で、x=9/2、y=9/2 のときです。最大値は両端を比べます。x=2 のとき f=4+49=53、x=6 のとき f=36+9=45 なので、最大値は 53 で、x=2、y=7 のときです。

答えは、最大値 53 を (x,y)=(2,7) で、最小値 81/2 を (x,y)=(9/2,9/2) で取ります。頂点が区間の内側にあるので最小は頂点、最大は端点という役割分担になっています。両端の値を計算せずに頂点だけを書くと、最大を取り落とします。y≥3 という条件が x≤6 という上限を作っている点も、消去の前に確認しておきたいところです。

例題4（やや難） 係数がそろっていない和

x+y=4、1≤x≤3 のとき、f=2x²+y²-x の最大値と最小値を求め、そのときの組を答えなさい。

y=4-x を代入します。x の範囲は与えられた 1≤x≤3 で、このとき y は 1≤y≤3 となり、正の条件も満たされます。

f = 2x² + (4 - x)² - x
  = 2x² + 16 - 8x + x² - x
  = 3x² - 9x + 16
  = 3(x - 3/2)² + 37/4

頂点は x=3/2 で、1≤x≤3 の中にあります。よって最小値は 37/4 で、x=3/2、y=5/2 のときです。最大値は両端を比べます。x=1 のとき f=2+9-1=10、x=3 のとき f=18+1-3=16 なので、最大値は 16 で、x=3、y=1 のときです。

答えは、最大値 16 を (x,y)=(3,1) で、最小値 37/4 を (x,y)=(3/2,5/2) で取ります。係数が 2 と 1 でそろっていないため、頂点の x 座標は和の半分の 2 ではなく 3/2 に寄ります。平方完成の結果をそのまま信じ、和の半分で頂点を決めないことが大切です。検算では、3+1=4、3/2+5/2=4 で和に戻り、値も 2・3²+1²-3=16、2・(3/2)²+(5/2)²-3/2=37/4 で一致します。

例題5（難） 幅が文字で動く和

x+y=10、a≤x≤a+2 とします。ただし 0<a<8 とします。このとき f=x²+y² の最大値と最小値を、a の場合に分けて求め、そのときの組を答えなさい。

y=10-x を代入すると f=x²+(10-x)²=2x²-20x+100=2(x-5)²+50 です。また y>0 から x<10 で、a+2<10 は 0<a<8 から成り立ちます。定義域は a≤x≤a+2 です。頂点は x=5 なので、区間が頂点より左にあるか、頂点を含むか、右にあるかで場合が分かれます。

1. 0<a≤3 のとき、a+2≤5 で区間は頂点より左です。f はこの区間で減少するので、最大は x=a、最小は x=a+2 です。最大値は 2(a-5)²+50 で組は (a,10-a)、最小値は 2(a-3)²+50 で組は (a+2,8-a) です。

2. 3<a<5 のとき、頂点 x=5 が区間の内側に入ります。最小値は 50 で、組は (5,5) です。最大は両端の比較になります。f(a)-f(a+2)=2[(a-5)²-(a-3)²]=8(4-a) なので、a<4 なら x=a 側が大きく、a=4 なら両端が同じで、a>4 なら x=a+2 側が大きいです。したがって a<4 のとき最大値 2(a-5)²+50 を (a,10-a) で、a=4 のとき最大値 52 を (4,6) と (6,4) の両方で、a>4 のとき最大値 2(a-3)²+50 を (a+2,8-a) で取ります。

3. 5≤a<8 のとき、区間は頂点より右です。f はこの区間で増加するので、最小は x=a、最大は x=a+2 です。最小値は 2(a-5)²+50 で組は (a,10-a)、最大値は 2(a-3)²+50 で組は (a+2,8-a) です。

場合ごとの答えを、次の表にまとめます。

境目を確かめます。a=3 は (i) の最小が 2(0)+50=50 で、x=5 のときです。(ii) の最小も 50 で、連続しています。a=4 では両端の値が等しく、最大値は 52 で二つの組にまたがります。a=5 は (iii) の最小が 50 で x=5、最大が 2(2)²+50=58 で x=7 です。どの場合でも、和が 10 に戻ることを組で確認できます。

この例題の要点は、頂点の位置ではなく、区間と頂点の位置関係を先に読むことです。a の値ごとに平方完成をやり直すのではなく、一つの平方完成から三つの場合を分けます。また、a=4 のように最大を取る組が二つ並ぶ場合があるので、一組だけ書いて終えないようにします。

よくある誤り

最初の誤りは、頂点をそのまま答えにして、定義域を確かめないものです。x+y=8、1≤x≤3 で f=x²+y² を平方完成すると f=2(x-4)²+32 になります。ここで「最小値は 32、x=4、y=4」と書くと、x=4 が 1≤x≤3 に反します。実際にはこの x は動かせず、32 は到達できません。正しい最小値は端点の 34 です。図3は、頂点が動かせる範囲の外にあることを、放物線と範囲の帯で示したものです。

図3のように、放物線の頂点は範囲の右外にあり、範囲内の最小は右端で取ります。頂点の値が「もっともらしく小さい」からといって、到達できるとは限りません。答案では、頂点の x が範囲に入るかを最初に確かめ、入らなければ端点を比べます。

二つ目の誤りは、開いた端を最大値として書くものです。x+y=6、x>0、y>0 で f=x²+2y² の最大を 72、組を (0,6) と書くと、x=0 が x>0 に反します。72 は x を 0 に近づけたときの近づく先で、値としては取れません。この場合は「最大値はない」と書き、必要なら「72 に限りなく近づく」と添えます。

三つ目の誤りは、上下限がどちらの文字に付いているかを取り違えるものです。a≤x≤a+2 という条件を、y の範囲と読み替えてしまうと、消去したあとの定義域がずれます。問題文の条件は、消去する前に、どの文字についての条件かを一つにまとめておくと取り違えません。そのうえで、消去した文字の正の条件を不等式に直し、共通部分を取ります。

練習問題

次の五問を解きなさい。答えるときは、最大値・最小値の有無を明記し、そのときの組を順序付きで書くこと。値だけを並べず、どの組で取るのかまで一続きに書き、取れない場合には「ない」と明記します。

1. x+y=5、x>0、y>0 のとき、f=x²+y² の最小値を求めなさい。最大値があるかどうかも答えなさい。
2. x+y=11、2≤x≤4 のとき、f=x²+y² の最大値と最小値を求めなさい。
3. x+y=7、0<x≤2 のとき、f=x²+2y² の最小値を求めなさい。最大値があるかどうかも答えなさい。
4. x+y=12、1≤x≤4 のとき、f=x²+y²-2x の最大値と最小値を求めなさい。
5. x+y=13、1≤x≤4 のとき、f=x²+2y² の最大値と最小値を求めなさい。

解答

1. y=5-x で、定義域は 0<x<5 です。f=x²+(5-x)²=2x²-10x+25=2(x-5/2)²+25/2 です。頂点 x=5/2 は範囲内なので、最小値は 25/2 で、組は (x,y)=(5/2,5/2) です。最大値はありません。x を 0 に近づけると f は 25 に近づきますが、x=0 は除かれ、25 には到達しません。検算すると、5/2+5/2=5 で和に戻り、値は (5/2)²+(5/2)²=25/2 です。

2. y=11-x で、定義域は 2≤x≤4 です。f=x²+(11-x)²=2x²-22x+121=2(x-11/2)²+121/2 です。頂点 x=11/2 は範囲の右外なので、範囲では減少します。最小値は x=4 で 65、組は (4,7) です。最大値は x=2 で 85、組は (2,9) です。検算すると、4+7=11、2+9=11 で和に戻り、値は 16+49=65、4+81=85 です。

3. y=7-x で、0<x≤2 のとき y は 5≤y<7 です。f=x²+2(7-x)²=3x²-28x+98=3(x-14/3)²+98/3 です。頂点 x=14/3 は範囲の右外なので、範囲では減少します。最小値は x=2 で 54、組は (2,5) です。最大値はありません。x を 0 に近づけると f は 98 に近づきますが、x=0 は除かれるため到達しません。検算すると、2+5=7、2²+2・5²=54 です。

4. y=12-x で、定義域は 1≤x≤4 です。f=x²+(12-x)²-2x=2x²-26x+144=2(x-13/2)²+119/2 です。頂点 x=13/2 は範囲の右外なので、範囲では減少します。最小値は x=4 で 72、組は (4,8) です。最大値は x=1 で 120、組は (1,11) です。検算すると、4+8=12、1+11=12 で和に戻り、値は 16+64-8=72、1+121-2=120 です。

5. y=13-x で、定義域は 1≤x≤4 です。f=x²+2(13-x)²=3x²-52x+338=3(x-26/3)²+338/3 です。頂点 x=26/3 は範囲の右外なので、範囲では減少します。最小値は x=4 で 178、組は (4,9) です。最大値は x=1 で 289、組は (1,12) です。検算すると、4+9=13、1+12=13 で和に戻り、値は 16+162=178、1+288=289 です。

覚えておくこと

• 消去したら、残った文字の範囲を元の条件から作り直す。
• x>0、y>0 と x+y=S から 0<x<S を作る。
• 上下限は共通部分で重ね、開いた端は値として書かない。
• 頂点が範囲に入れば頂点、外れれば端点を比べる。
• 答えの組を和に戻して検算する。

つまずきの見分け方

頂点の値を書いたのに定義域を書いていない答案は、最初に戻って範囲の共通部分を書き出させます。y の条件を x の不等式に直す作業を一行でよいので残すと、同じ誤りが減ります。最大値がない問題で 72 のような近づく値を書いてしまうときは、開いた端の値を代入して「この x は使えない」と言葉にさせます。場合分けの問題では、a の境目で二つの場合の値がつながるかを確かめさせ、つながらないときは場合の分け方か端点の計算を見直します。最後に、求めた組を和の式に戻し、上下限と正の条件を一行ずつ照合させます。自分で解くときも、答えを書いたあとに「和」「範囲」「値」の三つを順に点検すると、消去のあとの見落としをその場で見つけられます。場合分けの答案では、各場合の最小が区間の左端で取るのか右端で取るのかを、a の値と並べて書かせます。境目の a で二つの式の値が同じになることを確かめれば、場合の抜けや重複にも気づけます。