中学受験の算数 ちょうちょ型の相似—交点をはさんだ二つの三角形の対応を読む｜武蔵野個別指導塾

台形の対角線が交わる点でできる二つの三角形は、平行な辺を手がかりに辺の比がそろいます。向きが逆でも対応する辺をたどれば長さを読み取れるのがちょうちょ型です。

よくあるのは、台形の対角線が交わった図を前にして、上下にできた二つの三角形の辺の比を書く場面です。上の三角形の左の辺と、下の三角形の左の辺をそのまま組にして、比の式を立ててしまうお子さまがいます。二つの三角形は向きが逆さまなので、左の辺どうしは対応しません。それでも見た目は左右がそろって見えるため、式の順番が入れ替わったことに気づきにくいのです。図を指でなぞり、どの辺がどの辺と同じ役目なのかを確かめるところから始めます。

ちょうちょ型の相似が問われる三つの形

ちょうちょ型の相似は、一つの点をはさんで向かい合う二つの三角形を見る問題です。問われ方は大きく三つに分かれます。

一つ目は、交点から頂点までの長さを求める形です。辺の長さが三つ与えられ、残りの一つを求める場面が多くなります。二つ目は、平行な二辺の比から、交点が対角線を分ける比を求める形です。三つ目は、二つの三角形の面積の比から、辺の比を戻す形です。どの形でも、平行な二辺と交点の位置が手がかりになります。

長さを求める問題では、三つの長さと一つの未知の長さが並びます。比を求める問題では、長さの数値が少なく、二辺の比と対角線の分け方が問われます。面積の問題では、二つの三角形の面積が与えられ、辺の比へ戻す計算が要ります。どの型でも、平行な二辺のどちらが大きいかを先に決めておくと、比の向きをそろえやすくなります。

どの形でも、最初に確かめる条件は同じです。向かい合う二辺が平行であること、そして二本の直線が一点で交わっていることです。この二つがそろって初めて、等しい角の組が生まれます。問題文に平行の記号や「ABとCDは平行」という言葉があれば、図の二辺に同じ印を書き写します。書き写さないまま計算を始めると、どの角とどの角が等しいのかを忘れてしまいます。

条件の読み取りでは、交点がどこにあるかも確かめます。対角線の交点が図形の内側にあるのか、直線を延長した先で交わるのかで、長さの足し引きが変わります。問題文の「辺の上」「延長線上」という言葉を探し、図に点の位置を書き込みます。この一手間が、後の式の立て方を決めます。

ちょうちょ型の相似とは何か

台形ABCDで、辺ABと辺CDが平行であるとします。対角線ACとBDが点Pで交わるとき、三角形PABと三角形PCDは相似になります。この形がちょうちょ型の相似です。二つの三角形が点Pをはさんで向かい合い、羽を広げたように見えることから、この名で呼ばれます。

なぜ相似になるのかを、角の組で確かめます。まず、角APBと角CPDは対頂角なので等しくなります。次に、ABとCDが平行なので、ACを横切る直線と見ると、角PABと角PCDは錯角で等しくなります。同じように、BDを横切る直線と見ると、角PBAと角PDCが錯角で等しくなります。二組の角がそれぞれ等しい三角形は形が同じになるので、三角形PABと三角形PCDは相似です。

対頂角は、二本の直線が交わったときに向かい合う角で、いつでも等しくなります。錯角は、平行な二直線に一本の直線が交わったときに、斜め向かい合う角です。平行の条件があるからこそ錯角が等しくなり、対頂角と合わせて二組の等しい角がそろいます。三つ目の角も自動的に等しくなるので、三角形の形は同じになります。対頂角と錯角という二つの名前を押さえれば、どこを根拠に等しいと言えるかを指させるようになります。

ここで大切なのは、頂点の対応です。相似を式に書くときは、対応する順に頂点を並べます。三角形PABと三角形PCDが相似であることを、PとP、AとC、BとDの順で書きます。すると、辺の対応も決まります。PAとPC、PBとPD、ABとCDがそれぞれ対応する辺です。長さの比は、PA:PC=PB:PD=AB:CDとなります。

対応を決めるときは、まず平行な二辺ABとCDに同じ印を付けます。次に、AとCを結ぶ線と、BとDを結ぶ線をたどります。Aから出た線はCに着くのでAとCが対応し、Bから出た線はDに着くのでBとDが対応します。残ったPどうしが対応します。この順で頂点を並べると、辺の対応も自動的に決まります。頂点の並びを書いてから式を立てる習慣が、向きの逆転を防ぎます。

図1のように、点Pの回りに二組の等しい角ができています。向きが逆の三角形では、左に見える辺が必ずしも左の辺と対応するとは限りません。対応は、頂点の並びと平行な二辺を手がかりに決めます。図の見た目だけで組を作ると、式の順番が入れ替わってしまいます。

成立する条件も確認します。ABとCDが平行でなければ、錯角は等しくなりません。対頂角だけでは相似は決まらないので、平行の条件が問題文にあるかを必ず見ます。また、点Pが二本の直線の交点であることも必要です。片方の直線が途中で折れていたり、交点がずれていたりすると、同じ比は使えません。

相似な三角形では、対応する辺の比がどこでも同じになります。どの辺の組で比を取っても、同じ値になります。この性質を使って、わかっている長さから未知の長さを求めます。比の式を作ったら、最後に問題文の長さに戻して、比がそろっているかを確かめます。

相似は、形を変えずに大きくしたり小さくしたりした関係です。一つの三角形を同じ割合で拡大したものが、もう一つの三角形になります。どの辺も同じ割合で伸びるので、二組の辺の比を取ると同じ値になります。この見方を持つと、比の式を立てる前に、大きい方の三角形の辺が小さい方の何倍くらいかを見当づけられます。

基本例題　対角線の交点までの長さを求める

台形ABCDで、辺ABと辺CDは平行です。対角線ACとBDの交点をPとします。AB=6cm、CD=9cm、AP=4cm、BP=4cmのとき、PCとPDの長さを求めなさい。

式を立てる前に、対応表を書きます。上段にPA、PB、AB、下段にPC、PD、CDと並べます。わかっている値はAP=4cm、BP=4cm、AB=6cm、CD=9cmです。問われているのはPCとPDなので、表の空いた欄に印を付けます。表を見ると、ABとCDの比がそのままPAとPCの比になることが、式を書く前に見えます。

図2のように、まず相似になる二つの三角形を確かめます。三角形PABと三角形PCDです。次の順に、根拠を添えて進めます。

1. 角APBと角CPDは対頂角なので等しい。
2. ABとCDが平行なので、角PABと角PCDは錯角で等しい。
3. 角PBAと角PDCも錯角で等しい。
4. 二組の角が等しいので、三角形PABと三角形PCDは相似。対応はPとP、AとC、BとD。
5. 対応する辺の比は、PA:PC=PB:PD=AB:CD。
6. AB:CD=6:9=2:3なので、PA:PC=2:3。
7. AP=4cmを当てはめると、4:PC=2:3。PC=4×3÷2=6cm。
8. PB:PDも2:3なので、4:PD=2:3。PD=4×3÷2=6cm。

答えはPC=6cm、PD=6cmです。確かめに、PA:PC=4:6=2:3、PB:PD=4:6=2:3となり、AB:CD=2:3とそろいます。この図では左右が対称なので、上の三角形と下の三角形の対応する長さが同じになっています。比の値が二組とも同じになったことを、答えの根拠として書けるようにします。

AP+PC=4+6=10cm、BP+PD=4+6=10cmです。二本の対角線がどちらも10cmになるのは、この図が左右対称だからです。対角線の長さを足して確かめると、部分の長さが全体に戻ることも同時に確認できます。答えを出した後にこの足し算をすると、部分と全体の関係が頭の中でつながります。

別の見方もします。比の1あたりを先に求める方法です。AB:CD=6:9=2:3なので、PA:PCも2:3です。AP=4cmが2にあたるので、比の1あたりは4÷2=2cmです。PCは3にあたるので、2×3=6cmです。このように、比の1あたりを意識すると、式を立てる前に見当をつけられます。見当と式の答えが一致すれば、対応の順を間違えていないことの確認にもなります。

標準例題　左右で長さの違う台形でも対応は同じ

台形ABCDでABとCDが平行で、対角線の交点をPとします。AB=9cm、CD=12cm、AP=6cm、BP=9cmのとき、PCとPDを求めなさい。また、三角形PABと三角形PCDの面積の比も求めなさい。

対応は基本例題と同じで、PAとPC、PBとPD、ABとCDです。AB:CD=9:12=3:4なので、PA:PC=3:4、PB:PD=3:4となります。

PA:PC=6:PC=3:4を解くと、PC=6×4÷3=8cmです。PB:PD=9:PD=3:4を解くと、PD=9×4÷3=12cmです。この図では左右の長さが違うので、APとPBの長さが違っても、それぞれの三角形の中で対応する辺の比は3:4でそろいます。

面積の比は、相似比を二回かけたものになります。三角形PABと三角形PCDは相似比3:4で、底辺の比が3:4、高さの比も3:4だからです。3×3:4×4=9:16となります。面積の比を求めるときに、相似比の3:4をそのまま答えにしないよう注意します。

確かめに、AP:PC=6:8=3:4、BP:PD=9:12=3:4となり、二つの比がそろいます。面積の比も、底辺の比3:4と高さの比3:4をかけ合わせた9:16です。長さの比と面積の比は別の値になることを、この例で押さえます。

別解として、対角線全体を使う方法があります。AP:PC=3:4なので、AP:AC=3:7です。AC=AP+PC=6+8=14cm、AP=6cmで、6:14=3:7となり、比がそろいます。部分どうしの比だけでなく、部分と全体の比も、相似比から作れることを覚えておくと、対角線の長さが与えられた問題で迷いません。

交点の位置は、問題文の条件で確かめます。対角線の交点が台形の内側にあるときは、AP+PC=AC、BP+PD=BDのように、二つの部分を足すと対角線全体になります。直線の延長どうしが外側で交わる形では、長い方から短い方を引くと全体になります。どちらの形でも、相似の対応そのものは変わりません。図の見た目で内側か外側かを決めず、問題文の「辺の上」「延長線上」という言葉を読み取ります。

発展例題　面積の比から辺の比を戻す

台形ABCDでABとCDが平行で、対角線の交点をPとします。三角形PABの面積が27cm²、三角形PCDの面積が48cm²、AB=12cmのとき、CDの長さとPA:PCを求めなさい。また、AC=21cmのとき、APとPCを求めなさい。

面積の比は27:48=9:16です。相似な三角形では、面積の比は相似比を二乗した値になります。9:16は3×3:4×4なので、相似比は3:4です。面積の数値が大きいからといって、辺の比を9:16としないことが大切です。

対応する辺の比も3:4なので、AB:CD=3:4です。AB=12cmから、CD=12×4÷3=16cmです。PA:PCもAB:CDと同じ3:4になります。

AC=21cmのとき、PA:PC=3:4で、ACは3+4=7にあたります。21÷7=3cmが比の1あたりなので、AP=3×3=9cm、PC=3×4=12cmです。求めた二つを足すと9+12=21cmとなり、ACの長さに戻ります。

確かめに、三角形PABの面積を底辺AB=12cmで計算すると、高さは2×27÷12=4.5cmです。三角形PCDは底辺16cmで、高さは2×48÷16=6cmです。高さの比は4.5:6=3:4となり、相似比と一致します。面積から辺の比を戻すときも、最後に高さや底辺の値へ戻して確かめると、取り違えに気づけます。

面積の比と相似比の行き来は、次のように確かめます。相似比が3:4なら面積比は9:16、面積比が9:16なら相似比は3:4です。面積比から辺の比へ戻すときは、同じ数を二回かけた形を探します。面積の比がそのまま平方数の比でないときも、比を簡単にしてから同じ手順を使います。面積の数値だけを見て辺の比を決めないよう、底辺と高さの両方を確かめます。

よくある誤答　向きが逆の三角形で辺の順を逆にする

台形ABCDでABとCDが平行で、対角線の交点をPとします。AB=6cm、CD=8cm、AP=3cm、BP=6cmのとき、PDを求めなさい。

あるお子さまは、図3で左に見える辺どうしを組にして、AB:CD=AP:PDと書きました。6:8=3:PDを計算して、PD=4cmと答えました。ところが、この答えは正しくありません。

この式では、上の三角形の左の辺APを、下の三角形の左の辺PDに対応させています。しかし、二つの三角形は向きが逆です。三角形PABを点Pの回りに180度回すと、三角形PCDの向きに重なります。このとき、APはPCに重なり、BPはPDに重なります。左に見える辺が対応するのは、見た目の左どうしではなく、平行な二辺の位置で決まるのです。

対応を頂点の並びで決め直します。三角形PABと三角形PCDは相似で、PAとPC、PBとPD、ABとCDが対応します。まずPCを求めます。AB:CD=6:8=3:4、PA:PC=3:4です。AP=3cmなので、3:PC=3:4。PC=3×4÷3=4cmです。次にPDです。PB:PD=3:4、BP=6cmなので、6:PD=3:4。PD=6×4÷3=8cmです。

答えはPD=8cmです。誤答の4cmは、PCの長さをPDと取り違えた値でした。求めた長さが、どちらの辺のものかを必ず確かめます。図3では、同じ色の辺どうしが対応しています。赤の辺はPAとPC、緑の辺はPBとPD、紺の辺はABとCDです。色をたどると、対応の順を目で確認できます。

もう一つの誤りは、比の向きを逆にすることです。PA:PC=3:4を、PC:PA=3:4と書いてしまうと、PC=3×3÷4=2.25cmとなります。比は、小さい方から大きい方へ書く順をそろえます。AB:CD=6:8=3:4も、PA:PC=3:4も、小さい方が先です。二つの比の向きを同じにしておけば、対応する辺どうしを入れ替える心配がありません。

平行の条件が抜けている問題では、相似と決められません。二直線が交わって対頂角が等しくても、ABとCDが平行でなければ錯角は等しくなりません。図で平行に見えるかどうかではなく、問題文に平行の条件があるかを確かめます。条件が足りないときは、「相似とは言えない」と答えるのが正しい判断です。

練習問題

次の五問を解いてください。台形ABCDでは、辺ABと辺CDが平行で、対角線ACとBDの交点をPとします。五問とも、まず平行な二辺の比を求め、次に対応する辺の比へ置き換えます。数値が小数になっても、比の式を整数のまま扱えば計算しやすくなります。答えは単位を付けて書き、最後に問題文の長さへ戻して確かめます。

1. AB=4cm、CD=6cm、AP=6cmのとき、PCを求めなさい。
2. AB=5cm、CD=8cm、PB=10cmのとき、PDを求めなさい。
3. AB:CD=3:5で、AC=24cmのとき、APとPCを求めなさい。
4. 三角形PABの面積が16cm²、三角形PCDの面積が36cm²のとき、PA:PCとAB:CDを求めなさい。
5. AB=7cm、CD=10cmで、PD-PB=6cmのとき、PBとPDを求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1. AB:CD=4:6=2:3なので、PA:PC=2:3です。AP=6cmより、6:PC=2:3。PC=6×3÷2=9cmです。確かめに、6:9=2:3となり、AB:CDとそろいます。
2. AB:CD=5:8なので、PB:PD=5:8です。PB=10cmより、10:PD=5:8。PD=10×8÷5=16cmです。確かめに、10:16=5:8となり、対応する辺の比がそろいます。
3. PA:PC=AB:CD=3:5です。ACは3+5=8にあたるので、24÷8=3cmが比の1あたりです。AP=3×3=9cm、PC=3×5=15cmです。確かめに、9+15=24cm、9:15=3:5となります。
4. 面積の比16:36=4:9は、2×2:3×3なので相似比は2:3です。PA:PC=2:3、AB:CD=2:3です。確かめに、面積の比は2×2:3×3=4:9=16:36となり、問題の面積と一致します。
5. PB:PD=AB:CD=7:10です。差は10-7=3にあたり、これが6cmなので、比の1あたりは6÷3=2cmです。PB=7×2=14cm、PD=10×2=20cmです。確かめに、20-14=6cm、14:20=7:10となります。

五問を通して、比の式はどれも「小さい方:大きい方」の順で書きました。答えを出したら、元の問題文の長さに戻し、二つの比が同じになることを確かめます。面積の問題では、面積の比から相似比へ戻すときに同じ数を二回かけた形を探し、辺の比から面積の比へ進むときは二乗します。向きを間違えたときは、値が極端に小さくなるか大きくなるので、見当とのずれで気づけます。

覚えておくこと

• 向かい合う二辺が平行かを最初に確かめる。
• 対頂角と錯角で、二組の等しい角を見つける。
• 対応はPとP、AとC、BとDの順に書く。
• PA:PC=PB:PD=AB:CD。
• 面積の比は相似比を二乗した値になる。

つまずきの見分け方と個別指導で確かめること

図の上で左の辺どうしを指でなぞるお子さまには、三角形PABを180度回した位置を鉛筆で薄く写させます。APがPCに重なることを目で確かめると、対応の順が入れ替わりません。回した図と元の図を並べ、重なる辺に同じ印を付けさせます。

平行の印を書き忘れるお子さまには、問題文の「ABとCDは平行」に線を引かせ、図の二辺に同じ印を書き足させます。印がないまま比の式を立てると、錯角の根拠を説明できません。説明を聞いたときに、どの角とどの角が等しいかを言葉で言えるかを確かめます。

比の式は立てられるのに、どちらの長さを先に求めるかで止まるお子さまには、対応表を書かせます。上段にPA、PB、AB、下段にPC、PD、CDと並べ、わかっている値と問われている値を書き込みます。表の同じ列どうしが対応するので、式の順番が目で決まります。表を埋める手が止まるなら、平行の印と錯角の位置まで戻ります。

面積比と相似比を混同するお子さまには、一辺2cmの正方形を一辺3cmに広げた図を描かせます。面積は4cm²から9cm²になり、比が2:3ではなく4:9になることを確かめます。辺の比と面積の比を同じ表に並べ、二乗の関係を自分の言葉で説明できるかを聞きます。

交点が図形の外にある問題で足し引きを間違えるお子さまには、問題文の「辺の上」「延長線上」に印を付けさせ、図に点の位置を書き込ませます。APとPCのどちらが長いかを図で確かめてから、式を立てます。位置を確かめずに式だけを立てると、足すべきところで引いてしまいます。

式の答えが整数にならず、問題文の数値から大きく外れるお子さまには、比の向きと対応する辺の位置を一緒に見直させます。計算そのものより、どの辺とどの辺を組にしたかを指で確かめる方が、間違いの原因を見つけやすいことがあります。

向きが逆でも、対応する辺を指でたどれば長さは見えてきます。