大学入試数学 確率の漸化式と吸収—到達後に動かない状態を分け期限内の到達確率を求める｜武蔵野個別指導塾

4つの地点を行き来し、目標に着いた回で試行を止めて期限内の到達確率3/16を未到達の状態から積み上げるのが吸収です。

すごろくの盤面で、あがりのマスに止まった駒を次の回にもう一度動かしてしまう場面です。目標に着いた後の扱いを決めないまま「4回以内に着く確率」を求めると、着いた駒を数え直したり、逆に着いた後に通る経路を落としたりします。この題目では、一度入ったら動かない状態を吸収状態と呼び、着いた回から先の確率を保存したまま、決められた回数以内に着く確率を漸化式で求めます。問われ方は三つに分かれます。第一は、決められた回数以内に目標へ着く確率を求める形です。第二は、左端を「留まれる場所」にするか「終わりの場所」にするかで結果がどう変わるかを比べる形です。第三は、到達済みの確率を別の列に移し、未到達の状態の合計から逆算する形です。

吸収状態と反射状態を分けて状態を決める

状態とは、各回の試行が終わった時点で駒がいる地点のことです。確率の漸化式を立てるときは、次の回の確率を決めるのに必要な情報だけを状態として残します。ここでは地点の番号を 0, 1, 2, 3 と書き、各回に 1/2 の確率で右へ 1、1/2 の確率で左へ 1 動く試行を考えます。どの回も同じ規則で動き、前の回の結果によって次の回の確率が変わらないことを問題文の条件として明示します。

吸収状態とは、一度入ると次の回も同じ状態へ確率 1 で移る状態です。目標の地点を吸収状態にすると、着いた後の経路を数えなくても、着いた時点で確率をそこへ移して保存できます。これに対して反射とは、外へ出る向きの移動を境界に留める扱いです。左端の 0 で左へ動く指示が出たら、0 に留まり、次の回もまた動ける状態として残ります。吸収は試行の終わり、反射は試行の続きであり、同じ端でも漸化式の形が変わります。

回数を n で表し、n は 0 以上の整数とします。n 回の試行を終えた時点で地点 0, 1, 2 にいる確率をそれぞれ aₙ, bₙ, cₙ とし、n 回までに吸収状態へ入った確率を rₙ と書きます。rₙ は「n 回目に初めて着く確率」ではなく「n 回目までに着いた確率」です。この区別がここでの中心であり、着いた後も動かす計算では rₙ ではなく「n 回目に 3 にいる確率」を答えてしまいます。

未吸収の確率 qₙ を qₙ = 1 − rₙ と定めます。各回の後、駒はどれかの状態に必ずいるので、aₙ+bₙ+cₙ+rₙ = 1 がすべての n で成り立ちます。この等式は検算に使えます。表を作って各回の列の和が 1 にならなければ、遷移の確率の書き漏らしがあるか、吸収した確率を二重に数えています。

漸化式とは、前の回の値から次の回の値を決める等式です。初めの値である初期値を決めれば、n = 0, 1, 2, … の順に値を求められます。ここでは確率を状態ごとの列に分け、1回前の列から次の列を作ります。

図1のように、地点 0 では左へ動く代わりに 0 に留まり、地点 3 では到着後も 3 に留まります。矢印のそばの 1/2 は、その向きへ移る確率です。3 の矢印が自分自身へ戻る形になっているのは、外へ出る移動がないのではなく、入った後の移動がすべて同じ地点へ向かうためです。

図1の矢印をそのまま式にすると、次の4本の漸化式になります。

aₙ₊₁ = (1/2)aₙ + (1/2)bₙ
bₙ₊₁ = (1/2)aₙ + (1/2)cₙ
cₙ₊₁ = (1/2)bₙ
rₙ₊₁ = rₙ + (1/2)cₙ

1本目は、次の回に 0 にいるのが「今 0 にいて留まる場合」と「今 1 にいて左へ動く場合」だからです。2本目は、次の回に 1 にいるのが「今 0 にいて右へ動く場合」と「今 2 にいて左へ動く場合」だからです。3本目は、次の回に 2 にいるのが「今 1 にいて右へ動く場合」だけだからです。4本目は、次の回に吸収されるのが「今 2 にいて右へ動く場合」だけであり、すでに吸収された確率 rₙ はそのまま残るからです。

初期値は試行を始める前の状態なので、次のとおりです。

a₀ = 1, b₀ = 0, c₀ = 0, r₀ = 0

ここで r₀ = 0 と置くことが、累積の漸化式を閉じる鍵です。rₙ を「まだ着いていない確率」と定義してしまうと、吸収した後に減っていく列になり、着いた回の情報が消えます。着いた確率は減らさずに足し込む、という向きを最初に決めておきます。

基本例題（標準）4つの地点を行き来する駒

地点 0, 1, 2, 3 を次の規則で動く駒を考えます。各回、1/2 の確率で右へ 1、1/2 の確率で左へ 1 動きます。地点 0 で左へ動くときは 0 に留まります。地点 3 に着いたら、その後の回は動きません。地点 0 から出発するとき、4回の試行以内に地点 3 へ着く確率を分数で求めてください。

まず初期値から 1 回ずつ表を作ります。n = 1 では、0 から右へ動く 1/2 だけが 1 に移り、残りの 1/2 は 0 に留まります。したがって a₁ = 1/2, b₁ = 1/2, c₁ = 0, r₁ = 0 です。

n = 2 では、a₂ = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2) = 1/2、b₂ = (1/2)(1/2) + (1/2)(0) = 1/4、c₂ = (1/2)(1/2) = 1/4、r₂ = 0 + (1/2)(0) = 0 です。2回では 3 に着けないので、到達確率はまだ 0 です。

n = 3 では、a₃ = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/4) = 3/8、b₃ = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/4) = 3/8、c₃ = (1/2)(1/4) = 1/8、r₃ = 0 + (1/2)(1/4) = 1/8 です。3回目に初めて着く経路は 0 から 1、1 から 2、2 から 3 と進む1本だけで、その確率は 1/8 です。

n = 4 では、a₄ = (1/2)(3/8) + (1/2)(3/8) = 3/8、b₄ = (1/2)(3/8) + (1/2)(1/8) = 1/4、c₄ = (1/2)(3/8) = 3/16、r₄ = 1/8 + (1/2)(1/8) = 3/16 です。4回目に初めて着く確率は (1/2)c₃ = 1/16 で、3回目までに着いた 1/8 に足すと 3/16 になります。

各列の和は 1 です。たとえば n = 4 の列は 3/8 + 1/4 + 3/16 + 3/16 = 1 になります。表の rₙ の列だけを見ると、0, 0, 0, 1/8, 3/16 と増えており、到達確率が単調に増えることがわかります。吸収状態を置いた計算では、この単調性が成り立たなければどこかで確率を落としています。

図2のように、この表の rₙ の列を棒の高さで表します。3回目までは 0 で、3回目に初めて 1/8、4回目に 3/16 へ増えます。

答えは 3/16 です。別の数え方でも確かめます。4回の各回に右と左の2通りがあるので、長さ4の記号列は16通りあり、どれも同じ確率 1/16 です。3 に着く列は、右右右右、右右右左、左右右右の3通りです。右右右の時点で 3 に着いているので4回目は左右どちらでもよく、最初に左へ動いて 0 に留まってから右を3回続ける列も着きます。3/16 はこの3通りと一致します。

標準例題（やや難）左端を失敗の吸収に変えて比べる

同じ4つの地点で、左端の扱いだけを変えます。地点 0 で左へ動くと失敗の状態に移り、以後は動きません。地点 3 は成功の吸収状態で、着いたら以後は動きません。0 と 3 以外では、各回 1/2 で右へ 1、1/2 で左へ 1 動きます。地点 0 から出発するとき、4回以内に地点 3 へ着く確率、失敗して終わる確率、まだどちらでもなく続いている確率をそれぞれ分数で求めてください。

地点 0, 1, 2 にいる確率を aₙ, bₙ, cₙ、成功して吸収された確率を rₙ、失敗して吸収された確率を fₙ とします。漸化式は次のとおりです。

aₙ₊₁ = (1/2)bₙ
bₙ₊₁ = (1/2)aₙ + (1/2)cₙ
cₙ₊₁ = (1/2)bₙ
rₙ₊₁ = rₙ + (1/2)cₙ
fₙ₊₁ = fₙ + (1/2)aₙ

基本例題との違いは2か所です。地点 0 で留まる項がなくなり、代わりに「今 0 にいて左へ動く」分が fₙ に足されます。地点 0 にいる確率 aₙ は、次の回には bₙ₊₁ の一部として右へ進む分と、fₙ₊₁ として失敗に移る分に分かれます。

初期値 a₀ = 1, b₀ = c₀ = r₀ = f₀ = 0 から順に計算します。n = 1 では a₁ = 0, b₁ = 1/2, c₁ = 0, r₁ = 0, f₁ = 1/2 です。n = 2 では a₂ = 1/4, b₂ = 0, c₂ = 1/4, r₂ = 0, f₂ = 1/2 です。n = 3 では a₃ = 0, b₃ = 1/4, c₃ = 0, r₃ = 1/8, f₃ = 5/8 です。n = 4 では a₄ = 1/8, b₄ = 0, c₄ = 1/8, r₄ = 1/8, f₄ = 5/8 です。

4回以内に成功する確率は 1/8、失敗して終わる確率は 5/8、まだ続いている確率は 1 − 1/8 − 5/8 = 1/4 です。n ごとの列の和はどれも 1 になります。

基本例題の 3/16 と比べると、成功の確率は 1/16 だけ小さくなっています。差の 1/16 は、最初に左へ動いて 0 に留まり、そこから右を3回続ける経路です。反射ではこの経路が残り、失敗の吸収では最初の1回で試行が終わるため、同じ位置の列でも確率が変わります。吸収と反射の違いは、この1本の経路の扱いに現れます。

この比較から、端の設定を読まずに位置の列だけを写すと誤ることもわかります。問題文の「留まる」「終わる」は、漸化式の項として必ず書き分けます。どちらの設定でも、吸収された確率 rₙ, fₙ は減らさずに足し込む点は共通です。

別の数え方でも確かめます。長さ4の列は16通りで、どれも同じ確率 1/16 です。成功する列は右右右右と右右右左の2通り、失敗する列は最初が左の8通りと、左右左左・左右左右の2通りを合わせた10通り、残りの4通りは続いています。2/16 = 1/8、10/16 = 5/8、4/16 = 1/4 となり、漸化式の値と一致します。

発展例題（難）5地点で未吸収の確率から到達確率を積む

地点 0, 1, 2, 3, 4 を動く駒を考えます。地点 0 で左へ動くときは 0 に留まります。地点 4 に着いたら以後は動きません。0 と 4 以外では、各回 1/2 で右へ 1、1/2 で左へ 1 動きます。地点 0 から出発するとき、5回以内に地点 4 へ着く確率と、6回以内に着く確率を分数で求めてください。あわせて、未吸収の確率 qₙ の減り方が、地点 3 にいる確率の 1/2 に等しいことを確かめてください。

地点 0, 1, 2, 3 にいる確率を aₙ, bₙ, cₙ, dₙ、吸収された確率を rₙ とします。漸化式は次のとおりです。

aₙ₊₁ = (1/2)aₙ + (1/2)bₙ
bₙ₊₁ = (1/2)aₙ + (1/2)cₙ
cₙ₊₁ = (1/2)bₙ + (1/2)dₙ
dₙ₊₁ = (1/2)cₙ
rₙ₊₁ = rₙ + (1/2)dₙ

地点 3 は吸収状態ではないので、次の回に 3 にいるのは「今 2 にいて右へ動く場合」だけであり、3 から 4 へ移る分は rₙ に足されます。初期値 a₀ = 1, b₀ = c₀ = d₀ = r₀ = 0 から計算すると、n = 4 で a₄ = 3/8, b₄ = 1/4, c₄ = 1/4, d₄ = 1/16, r₄ = 1/16 です。n = 5 では a₅ = 5/16, b₅ = 5/16, c₅ = 5/32, d₅ = 1/8, r₅ = 3/32、n = 6 では a₆ = 5/16, b₆ = 15/64, c₆ = 7/32, d₆ = 5/64, r₆ = 5/32 です。

答えは、5回以内が 3/32、6回以内が 5/32 です。6回目に初めて着く確率は (1/2)d₅ = (1/2)(1/8) = 1/16 であり、3/32 + 1/16 = 5/32 と一致します。

別の数え方でも確かめます。5回の列は32通りで、どれも同じ確率 1/32 です。5回以内に着く列は、4回目までに着く右右右右から先の2通りと、5回目に初めて着く左右右右右の1通りです。2/32 + 1/32 = 3/32 となり、漸化式の値と一致します。

未吸収の確率は qₙ = aₙ+bₙ+cₙ+dₙ です。q₅ = 1 − 3/32 = 29/32、q₆ = 1 − 5/32 = 27/32 なので、減少は 2/32 = 1/16 です。一方、地点 3 にいる確率は d₅ = 1/8 なので、その 1/2 は 1/16 になります。したがって qₙ₊₁ = qₙ − (1/2)dₙ が成り立っています。吸収される確率の増分は、必ず「目標の1つ手前にいる確率」の 1/2 として現れます。

ここで、状態を「到達した」と「まだ到達していない」の2つにまとめられない理由を確かめます。基本例題の模型では、q₁ = 1、q₂ = 1 で、未吸収の確率はどちらも同じ 1 です。しかし r₂ − r₁ = 0 であるのに対し、r₃ − r₂ = 1/8 です。同じ q から次の増分が違うので、q だけでは次の回の確率を決められません。未到達の駒が 0, 1, 2 のどこにいるかによって、目標に着く近さが違うからです。

状態をまとめてよいのは、まとめた後の各状態から次の状態へ移る確率が、元のどの状態にいたかに依らず同じになるときです。到達済みの部分は、どの地点から入っても以後は動かないので、1つの吸収状態にまとめられます。未到達の部分は、地点ごとに次の推移が違うので、地点の情報を残します。この切り分けが、吸収を含む試行の状態設計です。

誤答を直す：到達した駒を次の回で動かす

図3の左のように、地点 3 に着いた後も 1/2 で 3 に留まり、1/2 で 2 へ戻ると決めてしまう誤りがあります。この設定で4回目に地点 3 にいる確率を計算すると 1/8 になります。これを「4回以内に着く確率」として答えると、正しい 3/16 より小さくなります。

誤りの理由は2つあります。第一に、吸収状態を通過する状態に変えたため、3回目に着いた 1/8 のうち、4回目に 2 へ戻る 1/16 が数から抜けます。第二に、現在位置の確率を累積の確率と取り違えています。3回目に着いた駒は、4回目にどこへ動いても「4回以内に着いた」ことに変わりはありません。着いた時点で確率を rₙ に移し、以後は動かさないのが正しい扱いです。

正しい計算では、3回目までに着く 1/8 をそのまま保存し、4回目に初めて着く 1/16 を足して 3/16 にします。図3の右は、地点 3 の矢印を自分自身へ確率 1 で戻す形に直したものです。この形にすると、3 にいる確率はそのまま吸収済みの確率として積み上がります。

もう一つのよくある誤りは、1/2 を4回かけて 1/16 とだけ答える型です。これは経路を1本しか数えていません。長さ4の列は16通りあり、右右右右の1本を数えただけでは、最初に0へ留まってから右を3回続ける左右右右と、右右右左の2本が抜けます。右右右で着いた後は4回目が左でも右でも着いたことに変わりはないので、この2本も到達に数えます。到着する列は1通りではないため、漸化式の表を作るか、長さ4の列をすべて書き出して数えます。

誤答を直すときは、どの確率をどの列に移したのかを表の行で確かめます。吸収された確率の列が増えているか、列の和が 1 のままか、rₙ が減っていないかの3点を見れば、吸収の扱いの誤りはたいてい見つかります。

練習問題

次の5問を解いてください。答えは分数で答えます。各問の難しさを「標準」「やや難」「難」で示します。

1.（標準）3つの部屋 0, 1, 2 を動く駒があります。各回 1/2 で右へ 1、1/2 で左へ 1 動きます。部屋 0 で左へ動くときは 0 に留まります。部屋 2 に着いたら以後は動きません。部屋 0 から出発するとき、3回以内に部屋 2 へ着く確率を求めてください。

2.（標準）4つのマス 0, 1, 2, 3 を動く駒があります。各回、2/3 の確率で右へ 1、1/3 の確率で左へ 1 動きます。マス 0 で左へ動くと失敗して終わり、マス 3 に着くと成功して終わります。どちらも以後は動きません。マス 1 から出発するとき、2回以内に成功する確率を求めてください。

3.（やや難）3つの地点 0, 1, 2 を動く駒があります。各回、2/3 の確率で右へ 1、1/3 の確率で左へ 1 動きます。地点 0 で左へ動くときは 0 に留まります。地点 2 に着いたら以後は動きません。地点 0 から出発するとき、3回以内に地点 2 へ着く確率を求めてください。

4.（やや難）3つの停留所 0, 1, 2 を動く駒があります。各回 1/2 で右へ 1、1/2 で左へ 1 動きます。停留所 0 で左へ動くときは 0 に留まります。停留所 2 に着いたら以後は動きません。停留所 1 から出発するとき、2回以内に停留所 2 へ着く確率と、3回以内に着く確率を求めてください。

5.（難）4つの地点 0, 1, 2, 3 を動く駒があります。各回 1/2 で右へ 1、1/2 で左へ 1 動きます。地点 0 で左へ動くと失敗して終わり、地点 3 に着くと成功して終わります。どちらも以後は動きません。地点 1 から出発するとき、4回以内に成功する確率、4回以内に失敗する確率、4回後もまだ続いている確率を求めてください。

練習問題の解答

1. 部屋 0, 1 にいる確率を aₙ, bₙ、吸収された確率を rₙ とします。初期値は a₀ = 1, b₀ = 0, r₀ = 0 です。漸化式は aₙ₊₁ = (1/2)aₙ + (1/2)bₙ、bₙ₊₁ = (1/2)aₙ、rₙ₊₁ = rₙ + (1/2)bₙ です。n = 1 では a₁ = 1/2, b₁ = 1/2, r₁ = 0 です。n = 2 では a₂ = 1/2, b₂ = 1/4, r₂ = 1/4 です。n = 3 では a₃ = 3/8, b₃ = 1/4, r₃ = 1/4 + 1/8 = 3/8 です。答えは 3/8 です。長さ3の列を書き出しても、着く列は右右右、右右左、左右右の3通りで、どれも確率 1/8 です。右右で着いた後に残る1回の分も、着いた時点で確定するので同じ 1/8 として数えます。

2. マス 1 から出発します。1回目に右へ動く確率は 2/3 で、マス 2 に移ります。2回目に右へ動く確率も 2/3 なので、1回目も2回目も右へ動く確率は (2/3)(2/3) = 4/9 です。1回目に左へ動くとマス 0 で失敗して終わるので、2回以内に成功する経路はこの1本だけです。答えは 4/9 です。4通りの分岐を書き出すまでもなく、成功する経路が「右、右」に限られることを先に確かめます。

3. 地点 0, 1 にいる確率を aₙ, bₙ、吸収された確率を rₙ とします。a₀ = 1, b₀ = 0, r₀ = 0 です。漸化式は aₙ₊₁ = (1/3)aₙ + (1/3)bₙ、bₙ₊₁ = (2/3)aₙ、rₙ₊₁ = rₙ + (2/3)bₙ です。n = 1 では a₁ = 1/3, b₁ = 2/3, r₁ = 0 です。n = 2 では a₂ = 1/9 + 2/9 = 1/3、b₂ = 2/9、r₂ = (2/3)(2/3) = 4/9 です。n = 3 では a₃ = 1/9 + 2/27 = 5/27、b₃ = 2/9、r₃ = 4/9 + (2/3)(2/9) = 16/27 です。答えは 16/27 です。3回の列で確かめると、右右で着く列が 4/9、左右右で着く列が (1/3)(2/3)(2/3) = 4/27 で、合計 16/27 になります。

4. 停留所 1 から出発します。1回目に右へ動くと停留所 2 に着くので、その確率は 1/2 です。1回目に左へ動くと停留所 0 に移り、2回目に右へ動けば停留所 1 に戻るだけで、2回以内には着きません。したがって2回以内に着く確率は 1/2 です。3回以内では、1回目に左へ動いて 0 に移り、2回目に 0 に留まり、3回目に右へ動く経路は着きません。着くのは、1回目に左へ動いた後に 2回目に右へ動いて 1 に戻り、3回目に右へ動く経路で、確率は (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8 です。ただし2回目の 0 からの移動は、右へ動いて 1 に移る場合だけを数えています。1回目に右へ動く 1/2 はすでに2回以内で着いています。答えは 1/2 + 1/8 = 5/8 です。

5. 地点 1 から出発します。1回目に左へ動くと失敗して終わり、その確率は 1/2 です。1回目に右へ動くと地点 2 に移り、その確率は 1/2 です。2回目に地点 2 から右へ動くと成功して終わり、確率は (1/2)(1/2) = 1/4 です。2回目に地点 2 から左へ動くと地点 1 に戻り、確率は 1/4 です。3回目に地点 1 から左へ動くと失敗し、確率は (1/4)(1/2) = 1/8 です。3回目に右へ動くと地点 2 に移り、確率は 1/8 です。4回目に地点 2 から右へ動くと成功し、確率は (1/8)(1/2) = 1/16 です。4回目に左へ動くと地点 1 に戻り、確率は 1/16 です。したがって4回以内に成功する確率は 1/4 + 1/16 = 5/16、失敗する確率は 1/2 + 1/8 = 5/8、まだ続いている確率は 1 − 5/16 − 5/8 = 1/16 です。

覚えておくこと

• 吸収状態は一度入ったら確率 1 で同じ状態に留まり、反射は外へ出る移動を境界に留めて試行を続ける。
• 吸収された確率は減らさずに足し込む。rₙ は「n 回目までに着いた確率」であり、現在位置の確率ではない。
• 到達確率 rₙ の増分は、目標の1つ手前にいる確率に、そこから目標へ移る確率を掛けた分である。
• 到達済みの部分は1つにまとめられるが、未到達の部分は地点ごとの推移が違うので位置を残す。
• 表の各列の和が 1、rₙ が減らない、吸収列が増える、の3点で計算を確かめる。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

最初のつまずきは、目標に着いた後も動かしてしまうことです。表の rₙ の列が増えず、代わりに目標の地点の確率が上下していれば、吸収を通過として扱っています。目標の地点の矢印が自分自身へ確率 1 で戻る形になっているかを、図と式の両方で確かめます。

二つ目のつまずきは、反射と吸収を同じ「端」として処理することです。左端で左へ動くとき、0 に留まる項があるか、失敗の状態へ移る項があるかで式が変わります。問題文の「留まる」「終わる」を読み落とすと、初期値から 2 回目までの値がすぐに食い違います。n = 1 と n = 2 の表を先に作り、列の和が 1 になるかを見れば、端の扱いの誤りは早い段階で見つかります。

三つ目のつまずきは、状態を減らしすぎることです。到達したかどうかの2状態だけでは、未到達の駒が目標にどれだけ近いかを表せません。同じ未到達の確率から出発しても、次の回に着く確率が変わる例を、自分の表の数で確かめておきます。状態をまとめた後も、次の推移が元の地点に依らず同じになるかどうかが判断の基準です。

計算を確かめるときは、漸化式を1回ずつ回した表と、短い回数の列の全列挙を並べます。3回や4回なら列の本数が16本程度に収まるので、着く列をすべて書き出し、その確率の合計が rₙ と一致するかを見ます。一致しなければ、吸収した後の列を二重に数えているか、到着した後に動く前提で数えています。到達済みの確率を別の列へ移して保存する、この一手が吸収を含む試行の計算を閉じます。