大学入試数学 整数命題の反例の作り方—否定の範囲を保って成立しない条件を探す｜武蔵野個別指導塾

整数の複数の仮定を満たしながら結論を破る数を探し、代入で答案を仕上げる反例設計。

よくあるのは、演習の解き直しで、結論が成り立たない数を見つけたものの、その数が問題の仮定を満たしていない場面です。結論の計算は正しくても、その数は命題への反例になりません。反例は、相手が指定した条件の内側で探します。整数という範囲、正負、割り切れる条件を残したまま、結論だけを崩す手順を考えます。

何を満たし、何を破るのか

整数に関する命題では、「条件を満たすすべての整数について、ある性質が成り立つ」という主張を調べることがあります。正しいなら理由を証明し、正しくないなら反例を1つ示します。例えば、偶数という条件の下で別の割り切れ方を主張する場合、奇数で結論が崩れても反例にはなりません。条件が2つあるなら、両方を満たす候補が必要です。

問いの形には、与えられた命題が正しいか判定するもの、間違った推論を直すもの、追加条件の必要性を反例で示すものがあります。最後の型では、外すよう求められた条件だけを外し、残りの条件を維持します。最初に、変数の範囲と仮定、結論をそれぞれ書き出すと、何を代入してよいかが明確になります。

命題が正しい場合には反例は存在しません。小さい数をいくつ調べても見つからないことは、正しさの証明にはなりません。一方、仮定を満たして結論を満たさない1例が見つかれば、すべてについて成立するという主張は否定できます。以下では自然数を1以上の整数とします。

反例の条件をどう設計するか

整数 n について「P ならば Q」という全称命題を考えます。その否定は「P であり、Q ではない整数 n が少なくとも1つある」です。P が偽の数は、Q が偽であっても役に立ちません。P が A かつ B なら、反例には A と B の両方が必要です。Q が C かつ D なら、その否定は C でない、または D でないことです。両方を破る必要はありません。

図1のように、候補をまず仮定でふるい、残った候補について結論の否定を調べます。仮定の中に「または」があれば、少なくとも一方を満たせばよいことにも注意します。「かつ」と「または」を区別するだけで、不要な条件を課す失敗を避けられます。

図1の最後に残った数については、仮定と結論の否定を計算で書きます。候補を探す過程と、提出する答案の根拠は別です。探すときに表を使っても、答案では選んだ数の代入が最短の場合があります。

割り切れる条件の否定にも気をつけます。正の整数 d に対して「d が n を割り切る」の否定は「d が n を割り切らない」です。余りが1であることだけを意味しません。余りは0から d − 1 まであり、0以外ならいずれも割り切れないことを示します。

また、全称命題の否定は存在の主張です。整数を1つ固定して示す反例と、あらゆる整数で成立する証明とは役割が異なります。複数の整数を使う命題なら、順序も含めた1組を示し、各変数の条件を点検します。値を逆にしても同じ条件とは限りません。

候補探しでは、結論が倍数条件ならその否定を余りで表すと便利です。ただし、余りの条件は元の式への代入で最後に確認します。条件を満たす数が存在しない場合、反例の候補もありません。その場合は仮定を満たす数がないことを証明する必要があり、探索の時間切れだけでは判断できません。

基本例題：倍数の条件を同時に見る

【例題1・標準】次の命題が正しいか判定してください。正しくなければ整数の反例を1つ示し、仮定と結論を確かめてください。

「すべての整数 n について、n が4の倍数かつ6の倍数ならば、n は24の倍数である。」

4と6の両方の倍数を探し、24で割り切れないものを選びます。4と6の最小公倍数は12なので、まず n = 12 を試します。

12 = 4・3
12 = 6・2
12 = 24・0 + 12

したがって12は仮定の2条件を満たしますが、24では割り切れません。よって n = 12 は反例であり、命題は正しくありません。図2のように、両方の仮定を通過したことと結論を破ったことを別々に確認します。

図2で24の倍数を選べば仮定は満たしても結論も成り立ち、反例にはなりません。例えば n = 24 は反例探しに失敗した候補です。逆に n = 8 は24の倍数ではありませんが、6の倍数でないので仮定を満たしません。候補が失敗した理由を両側で分けると、次の候補の選び方が変わります。

最小公倍数を使わずに、4の倍数を順に調べて12を発見してもかまいません。ただし、見つからなかった範囲だけから一般的な結論を出すことはできません。反例が見つかった場合は、その1例の検算で全称命題を否定できます。

条件を残して結論を崩す

【例題2・やや難】次の命題が正しいか判定してください。正しくなければ自然数の反例を1つ挙げ、その条件をすべて確かめてください。

「すべての自然数 n について、n は奇数かつ3の倍数ならば、n²は27の倍数である。」

奇数かつ3の倍数という仮定から、n = 3 を候補にします。平方が27の倍数になるためには、少なくとも27で割り切れなければなりません。

3 = 2・1 + 1
3 = 3・1
3² = 9
9 = 27・0 + 9

3は自然数で、奇数かつ3の倍数です。しかし9は27の倍数ではないため、n = 3 は反例です。命題は正しくありません。3の倍数を平方すると9の倍数にはなりますが、それだけでは27の倍数とは限りません。元の仮定から確実に得られることと、追加で主張されたことの差に注目すると、探すべき余りが見えます。

別の探し方として n = 3k と置けば、n² = 9k² です。27の倍数でない候補を探すには k を3の倍数でない奇数にすればよく、k = 1 が使えます。この置き方は候補を作るための方針です。最後は n = 3 を元の仮定と結論に戻すので、k の条件だけを見て答案を終える必要はありません。

一方、n = 6 では平方が27の倍数でなくても、奇数という仮定が失われます。また n = 9 は両方の仮定を満たしますが、平方の81は27の倍数です。どちらも反例として失敗しますが、前者は入口、後者は出口で失敗しています。

【例題3・難】次の命題が正しいか判定してください。正しくなければ整数の順序対 (a, b) を反例として1組示し、各条件を確かめてください。

「すべての整数 a, b について、a + b が偶数かつ a・b が偶数ならば、a と b はともに4の倍数である。」

和が偶数なら a と b は同じ偶奇です。積も偶数なので、両方が奇数という場合は除かれ、両方とも偶数です。しかし偶数であることと4の倍数であることは異なります。そこで片方を4の倍数でない偶数にします。

a = 2
b = 4
a + b = 6 = 2・3
a・b = 8 = 2・4
2 = 4・0 + 2

順序対 (2, 4) は和と積がともに偶数という仮定を満たし、a は4の倍数ではありません。結論の「ともに4の倍数」は一方が満たさなければ偽なので、これが反例です。b が4の倍数であることは妨げになりません。

別解では、a = b = 2 としても、和4と積4は偶数で、どちらも4の倍数ではありません。反例は1組で足ります。どちらか一方だけが偶数である候補は積の条件を満たしても和が奇数になり、この命題の反例には使えません。

和が偶数かつ積が偶数なら両方偶数という観察は、命題の仮定から得られる情報を使ったものです。ただし両方偶数と確認するだけでは「ともに4の倍数」という結論を否定できません。偶数のうち4で割った余りが2の数を具体的に代入するところまでが必要です。

誤答をどこから直すか

例題1に対して「n = 8 なら24の倍数でないので反例」と書いた答案を考えます。8が24の倍数でない計算自体は正しいのですが、8は6の倍数ではありません。図3のように、結論だけを見る矢印を戻し、仮定の両方から確認し直します。

図3の修正後は12 = 4・3、12 = 6・2、12 = 24・0 + 12 と書けます。元の答案に不足していたのは、6の倍数という条件です。条件を消して答案を成立させるのではなく、条件を保った別の数へ取り替えます。

もう一つの誤りは「小さい数を調べて反例がなかったから正しい」とすることです。試行が失敗した理由は、命題が真だからか、反例が調べた範囲外にあるからか、候補の作り方が偏っているからかもしれません。調査範囲が問題の定義域全体と証明できない限り、いずれとも決められません。有限の範囲を指定された場合は、その端点を含め全候補を調べる方法が使えます。

自分で試す5問

各問で命題の真偽を判定してください。偽なら指定の形で反例を示して仮定と結論を確認し、真なら証明してください。

1. 【標準】すべての整数 n について、n が5の倍数ならば10の倍数である。反例は整数1つで示してください。
2. 【標準】すべての整数 n について、n が偶数ならば n² も偶数である。証明してください。
3. 【やや難】すべての自然数 n について、n が7の倍数かつ偶数ならば、n は28の倍数である。反例は自然数1つで示してください。
4. 【やや難】すべての整数 x, y について、x + y が奇数ならば x・y は奇数である。反例は整数の順序対1組で示してください。
5. 【難】すべての整数 n について、n が3の倍数ならば、n + 1 は3の倍数でも4の倍数でもない。反例は整数1つで示してください。

答えと考え方

1. 偽です。n = 5 とすると、5 = 5・1 なので仮定を満たし、5 = 10・0 + 5 なので結論を満たしません。よって5は反例です。10の倍数を選ぶと結論も成立するため失敗します。

2. 真です。n が偶数なので整数 k を用いて n = 2k と書けます。これを平方すると、次のようになります。

n² = (2k)²
n² = 4k²
n² = 2・(2k²)

2k² は整数ですから、n² は偶数です。任意の偶数 n で示したため証明になります。個々の偶数で確かめるだけでは、この一般的な結論には届きません。

3. 偽です。n = 14 は自然数で、14 = 7・2 かつ 14 = 2・7 です。一方、14 = 28・0 + 14 より28の倍数ではありません。n = 7 は偶数でないため、結論を破っても反例になりません。

4. 偽です。(x, y) = (1, 2) とすると、x + y = 3 は奇数ですが、x・y = 2 は偶数です。順序対の両成分は整数であり、和の条件を満たして積の結論を破っています。(1, 1) は積が奇数でも和が偶数なので、条件確認の候補として失敗します。

5. 偽です。n = 3 とすると、3 = 3・1 で仮定を満たし、n + 1 = 4 = 4・1 です。結論は「3の倍数でない」かつ「4の倍数でない」という2条件なので、後者が偽なら全体が偽です。4が3の倍数でないことは反例を妨げません。n = 0 では n + 1 = 1 となり結論が成り立つので、反例にはなりません。

探索の結果をどう扱うか

反例の探索は、候補が条件を通過するかどうかを調べる作業です。条件を満たす候補が得られたら、今度は結論の否定を判定します。両方が成立したときは答案を完成できますが、どちらかの検査に失敗したときは、その候補を捨てるだけです。1回失敗した事実から命題全体の真偽は決まりません。

例えば複数の条件のうち、倍数条件だけを満たす数は作れても、正であるという条件を失う場合があります。負の整数を正の整数に変えると割り切れ方が変わる式もあるので、符号だけを直して済ませず、元の条件をもう一度すべて検算します。0を候補にする場合も、整数には含まれますが自然数には含めないという定義を確認します。

範囲が有限なら端点から順に候補を並べ、仮定に合うものだけに結論を調べることもできます。途中で条件を満たし結論を破る値が出れば、残りを調べなくても偽と判定できます。最後まで見つからない場合は、候補の一覧が範囲を尽くした理由を明示すれば真と判定できます。範囲が無限の場合は一覧を途中で打ち切れないため、一般の整数を文字で表すなど別の証明が必要です。

結論が「A または B」なら、その否定は「A でなく、かつ B でない」です。片方だけを破った候補ではもう一方が成立する可能性があります。これに対し「A かつ B」の否定は少なくとも一方が偽です。言葉のまま曖昧にせず、候補が何を満たすべきか書き直してから計算すると、試行の意味を追いやすくなります。

手元に残す確認

反例は定義域の中で選びます。
仮定が複数なら指定された論理に従い確認します。
結論を否定した条件を正確に書きます。
選んだ値を元の命題に代入します。
探索が不成功でも真偽は未決定です。

途中で止まったら何を確かめるか

個別に答案を見るときは、選んだ数の横に「定義域」「仮定」「結論」の3欄を作り、各欄の式を本人の手で埋めてみます。仮定の欄が埋まらないなら候補の作り直しが必要です。結論も成立するなら、その候補は不採用ですが、仮定の作り方は次の探索に使えます。

反例が見つからない場合は、条件を勝手に弱めず、結論の否定を余りや不等式に言い換えます。有限範囲を調べ切ったのか、無限の範囲を途中で止めたのかも分けて確認します。条件を守って結論を破る1例が、全称の主張を崩します。