高校情報I 度数分布とヒストグラム—階級の境界と幅をそろえて分布の形を読み取る｜武蔵野個別指導塾

仕分け時間を異なる幅の階級に分け、境界での二重計上と柱の高さによる読み違いを修正します。

よくあるのは、仕分けにかかった時間を表にするとき、境界の値を両隣の階級に入れてしまう場面です。例えば10秒を「5秒以上10秒以下」と「10秒以上15秒以下」の両方に入れると、記録1件が2件に増えます。階級を以上と未満で区切り、度数の合計を原記録の件数と照らせば重複を見つけられます。出方には、元データから表を作る型、階級幅を変えて形を比べる型、幅が異なる柱の面積を読む型があります。

区切りを決めてから数える

度数分布表は、数値の範囲ごとに記録が何件あるかを並べた表です。範囲の一つを階級、その幅を階級幅、階級に入る件数を度数と呼びます。例えば5秒以上10秒未満の階級は、5秒を含み10秒を含みません。10秒ちょうどは次の10秒以上の階級に入れます。整数で記録した場合も、境界の規則自体は同じです。

図1のように隣り合う階級をすき間なく置き、左端を含み右端を含めないと決めます。最小値から最大値までを覆う階級が必要です。最後の上端と等しい値があれば、その次の階級を設けるなどして集計範囲に含めます。階級に入らない値や二重に入る値があると、合計が原記録の件数に合わなくなります。

相対度数は、階級の度数を対象となる全記録の件数で割った値です。全体のうちどれくらいの割合かを表します。度数の合計は対象件数、丸める前の相対度数の合計は1です。小数に丸めた表示の合計が1から少しずれる場合もあるため、検算は丸める前の値で行います。欠損があるときは、集計対象から除いた件数と分母を明記し、空欄を0秒として数えません。

ヒストグラムは横軸に階級、縦方向に度数などをとり、隣接する柱を接して描いた図です。等しい幅の階級なら、度数を高さにすれば柱の面積も度数に比例します。柱が高い範囲は件数が多い範囲です。ただし、最も高い柱の中のどの値が多いかや、個々の記録の順序まではわかりません。

階級幅を広くすると細かな起伏がまとまり、狭くすると局所的な違いが見えます。幅を変えても原記録が同じなら件数は変わりません。一方、境界の位置が変わると値の入り方が変わるため、見える山の位置も動きます。図の形から読み取った特徴は、幅と境界を添えて述べます。

基本例題：仕分け時間を5秒幅に分ける

学習用に作った10件の仕分け時間は、秒単位で 2、4、5、7、8、10、11、13、14、15 です。0秒以上20秒未満を5秒幅に分け、各階級の度数と相対度数を小数第1位まで求めてください。各階級は下端以上、上端未満とします。欠損はありません。

まず0秒以上5秒未満に入るのは2、4の2件です。5は上端なので入りません。次の5秒以上10秒未満には5、7、8の3件が入ります。10秒以上15秒未満には10、11、13、14の4件が入り、15秒以上20秒未満には15の1件が入ります。

相対度数の分母は10件です。順に2を10で割り0.2、3を10で割り0.3、4を10で割り0.4、1を10で割り0.1とします。度数は2 + 3 + 4 + 1 = 10件で、原記録の10件に戻ります。境界の5、10、15はそれぞれ右側の階級に1回ずつ入っています。

図2のように同じ5秒幅の柱を度数の高さで描くと、10秒以上15秒未満の柱が最も高くなります。これはその範囲に4件あるという意味で、13秒が最も頻繁だったという意味ではありません。実際の原記録ではこの階級の4つの値はいずれも1回ずつ現れています。

表と図を照合するときは、横軸の区切り、柱の高さ、単位の順に確認します。度数が0の階級があれば、その範囲も横軸に残し、高さ0として表します。空いた範囲を詰めて並べると、連続した時間の距離が変わって見えるからです。

標準例題：同じ記録を別の幅にまとめる

学習用の仕分け時間12件は、秒単位で 1、3、4、6、8、9、12、13、14、16、18、19 です。0秒以上20秒未満を、下端以上、上端未満の5秒幅と10秒幅でそれぞれ集計してください。度数を小さい階級から順に件数で答え、山の見え方を比べます。欠損はありません。

5秒幅では0以上5未満に1、3、4が入り3件です。5以上10未満に6、8、9が入り3件です。10以上15未満に12、13、14が入り3件です。15以上20未満に16、18、19が入り3件です。合計は3 + 3 + 3 + 3 = 12件です。

10秒幅では0以上10未満が前半の2階級を合わせた6件、10以上20未満が後半の2階級を合わせた6件です。元の値を直接見ても前半は1、3、4、6、8、9、後半は12、13、14、16、18、19でそれぞれ6件です。したがって6 + 6 = 12件となり、幅の変更前後で件数は保存されています。

5秒幅の表では4階級が同じ高さです。10秒幅でも2階級は同じ高さですが、ひとつの柱が覆う範囲は2倍です。階級の数が異なる図を柱の高さだけで比べて、後者で記録が増えたと判断してはいけません。幅が広い分、複数の小区間の件数が一つに集まっています。

さらに、12と13の間に記録がないことは元データからわかりますが、10秒幅の表だけではわかりません。集計は比較しやすい形にまとめる一方、範囲内の細部を失います。別の区切りで確かめたいときは、作った表を推測で分割せず元データに戻ります。

発展例題：幅の違う柱は面積で読む

学習用の仕分け時間8件は、秒単位で 1、2、4、5、6、7、9、11 です。階級を0秒以上4秒未満、4秒以上8秒未満、8秒以上12秒未満とし、さらに最後の2階級を合わせた場合を考えます。欠損はなく、境界は下端以上、上端未満です。各度数と、縦軸を「1秒あたりの件数」とした柱の高さを求め、小数で答えてください。

0以上4未満には1、2の2件です。4以上8未満には4、5、6、7の4件です。8以上12未満には9、11の2件です。合計は2 + 4 + 2 = 8件です。高さを度数を幅で割った値にすると、順に2 ÷ 4 = 0.5、4 ÷ 4 = 1、2 ÷ 4 = 0.5件毎秒です。

最後の2階級をまとめると4以上12未満は幅8秒、度数6件です。その高さは6 ÷ 8 = 0.75件毎秒です。幅4秒、高さ0.5の最初の柱の面積は2件に対応し、幅8秒、高さ0.75の次の柱の面積は6件に対応します。2件と6件を原記録へ戻すと、前者は1と2、後者は4、5、6、7、9、11です。

この2本では後の柱の高さは前の1.5倍ですが、面積と件数は3倍です。幅が不等なのに度数をそのまま高さにすると、面積は度数に比例しません。面積で件数を表すときは、縦軸に度数を幅で割った密度を使います。相対度数を幅で割って高さにすれば、面積は全体に占める割合に対応します。

まとめた柱の中で4以上8未満の方に記録が集まっていたことは、結合後の高さだけから復元できません。元の幅4秒の表や原記録が必要です。異なる階級の図を比較する際は、横幅、縦軸が度数か密度か、対象件数を先にそろえて読みます。

誤答から境界を直す

仕分け時間が3、5、8、10、12秒の5件だったとします。0以上5以下に3と5の2件、5以上10以下に5、8、10の3件、10以上15以下に10、12の2件と数えると、合計は7件です。図3のように5と10が2回ずつ数えられています。合計が原記録より2件多い理由を、各境界に戻って特定できます。

右端を未満に直すと、0以上5未満は3の1件、5以上10未満は5と8の2件、10以上15未満は10と12の2件です。1 + 2 + 2 = 5件となり、元の各値を1回ずつ数えたことも確認できます。合計が合うだけでは、別の値の数え漏れと重複が相殺される可能性があります。境界付近の各記録を実際の階級へ戻す確認も必要です。

逆に両端を未満のように扱うと、境界の5や10がどこにも入らず件数が減ります。集計範囲より外の値がある場合も同様に合計が減ります。最初の階級の下端と最後の階級の上端を見て、全記録を覆うか確かめます。欠損を除外した場合は、その件数を別に記録して、元の行数との違いを説明します。

練習：まず5問を解く

各問のデータは学習用です。階級は下端以上、上端未満とし、明示した欠損以外はありません。度数は件数、割合は指定した形で答えてください。

1. 梱包時間6件は1、3、4、6、8、9秒です。0以上4未満、4以上8未満、8以上12未満の度数を順に求め、合計を示してください。
2. 伝票確認時間8件は2、5、7、8、10、12、13、15秒です。0以上8未満と8以上16未満の相対度数を小数第3位まで求めてください。
3. 点検時間は1、4、6、9、11、14秒の6件です。0以上5未満、5以上10未満、10以上15未満の度数が順に2、2、3とされた表を直し、誤りと合計を説明してください。
4. 箱詰め時間は1、2、3、5、7、8、10、11秒の8件です。0以上4未満、4以上8未満、8以上12未満の度数と、それを0以上8未満、8以上12未満にまとめた度数を求めてください。件数を照合し、細部がどう変わるか述べてください。
5. 記録が0以上2未満に2件、2以上8未満に6件あります。縦軸を1秒あたりの件数として柱を描くとき、それぞれの高さと面積に対応する件数を求めてください。さらに空欄が2行あり、数値のある8行だけを対象にしたとき、相対度数の分母と空欄の扱いを述べてください。

練習の答えと解き方

1. 0以上4未満は1、3で2件、4以上8未満は4、6で2件、8以上12未満は8、9で2件です。答えは順に2、2、2件、合計6件です。4と8はそれぞれ次の階級に入り、6個の原記録は1回ずつ数えられています。

2. 0以上8未満は2、5、7の3件、8以上16未満は8、10、12、13、15の5件です。分母は8件なので、3 ÷ 8 = 0.375、5 ÷ 8 = 0.625です。割合を件数へ戻すと0.375 × 8 = 3、0.625 × 8 = 5で、合計8件に一致します。

3. 最後の階級に入るのは11と14の2件なので、正しい度数は順に2、2、2件です。元の表の合計は7件で原記録の6件より1件多くなります。1と4、6と9、11と14をそれぞれの階級に戻すと、正しい合計は6件です。合計の差は誤りの手掛かりですが、どの階級が誤りかは原記録との照合で決まります。

4. 幅4秒の度数は順に3、2、3件です。0以上8未満は最初の2階級を合わせて5件、8以上12未満は3件です。合計はどちらも8件で、前者の5件は1、2、3、5、7に戻せます。まとめた表では0以上4未満に3件、4以上8未満に2件という内訳が見えなくなります。

5. 高さは2 ÷ 2 = 1件毎秒、6 ÷ 6 = 1件毎秒です。面積はそれぞれ2 × 1 = 2件、6 × 1 = 6件に対応し、合計8件です。高さが等しくても幅が違うので件数は等しくありません。数値のある記録だけを対象とする割合の分母は8件です。空欄2行は0秒にせず欠損として別に示し、元の10行と対象8件の関係を残します。

覚えておくこと

• 階級は下端以上、上端未満などの規則を明記します。
• 度数の合計と各記録の所属を原データに戻して確認します。
• 相対度数は対象件数を分母にし、欠損の扱いを添えます。
• 階級幅を変えると形は変わっても対象件数は変わりません。
• 幅が不等な柱は、面積が度数に対応する高さで比べます。

境界の値に印を付けると、二重計上か数え漏れかを見分けやすくなります。個別指導では、まず原記録の一つを指して入る階級を説明し、次に全階級の合計と欠損の件数を照合します。幅の異なる図では、縦軸の単位と柱の面積を一緒に確認します。区切りと分母を明示すれば、度数分布の形に根拠を持たせられます。