中学受験の算数 流水算の速さ—上りと下りの差を線分図にして流速を分ける｜武蔵野個別指導塾

上りと下りの差に流速が二つ分含まれる関係を読み取り、静水時の速さも両方向の条件へ戻して確かめます。

よくあるのは、小学生が船の下りの速さから上りの速さを引き、その差をそのまま流れの速さと答える場面です。差を取るところまではよいのですが、その差には流れの速さが2つ分入っています。なぜ2つ分になるのかを、同じ長さの線分を重ねて見てみましょう。

川の流れと船の進む力は一定とします。船が流れのない水で進む速さと、川の水自体が流れる速さを分けて考えます。上りも下りも岸から見た速さがわかっているとき、2つの速さの組から何が読み取れるかを調べます。

何を求める問題なのか

まず、上りと下りの速さがそのまま示され、静水時の船の速さと流れの速さを両方求める問題があります。下りが大きく上りが小さいという順序を確かめてから、それぞれを線分にします。答えも2つの異なる速さなので、単位と名前を添えます。

次に、2つの速さから一方だけを求め、別の時間に進む距離を問う形があります。流れの速さを求めるだけで終わらず、どちら向きに何時間進むのかを読み取ります。速さをかける時間は、同じ向きの移動についてそろえます。

さらに、上りと下りの差に加えて、速さの比が示されることもあります。比を使ってまず岸から見た2つの速さを出し、それから流れの速さを分けます。比の一目盛りが流速そのものとは限りません。何と何の比なのかに印を付けてから図に移します。

ここで扱うのは、同じ船と一定の流れによる上りと下りです。同じ距離を往復したときの時間から考える問題は、速さを直接比べる今回の条件とは分けます。

水を基準にした速さと岸から見た速さ

静水時の速さとは、流れがない水の上で、その船が進む速さです。船が水に対して同じ調子で進むなら、流れのある川でも水に対する船の速さは静水時の速さと同じと考えます。一方、岸から見ると水も動くため、下りでは流れの分だけ速く、上りでは流れの分だけ遅く見えます。

図1のように、静水時の速さを共通の長さで表します。下りの線分はそこへ流速を1つ足し、上りの線分はそこから同じ流速を1つ取り除いた長さです。これは距離の図ではなく、同じ時間あたりに進む距離、つまり速さを比べる線分図です。

図1では、上りの端から静水時の端までと、静水時の端から下りの端までが同じ長さです。したがって上りと下りの端の隔たりは、流速の2つ分です。下りと上りの差を2で割ると流速になります。上りから静水時までの不足分も、静水時から下りまでの追加分も、同じ流速だからです。

静水時の速さは、上りの速さに流速を足しても、下りの速さから流速を引いても求められます。また、上りと下りを合わせると、下りで加えた流速と上りで取り除いた流速が打ち消し合い、静水時の速さの2つ分になります。そのため、上りと下りの和を2で割っても求まります。

同じ単位で比べることも欠かせません。時速は1時間あたり、分速は1分あたりです。たとえば時速6 kmは、6000 mを60分で進むので分速100 mです。時速の数と分速の数をそのまま引いても、同じ長さの線分として比較できません。

上りが正の速さになるには、静水時の船の速さが流速より大きい必要があります。同じなら岸から見た上りの速さは0で、岸に対して上流へ進めません。流速がさらに大きければ、上流向きにこいでも船は下流へ流されます。問題に正の上りの速さがあるか、答えを戻したときに確認します。

線分を描く前にそろえること

線分の長さは速さの大きさに対応させます。上りの線分と下りの線分を別々の基準で描くと、端の間の差を読み取れません。左端をそろえ、同じ時速1 kmを同じ長さで表します。静水時の位置がまだわからない場合は、先に上りと下りの端を描き、その真ん中に印を付けます。

速さの差を距離の差と取り違えることにも注意します。時速の差は1時間あたりの差であって、何時間進んだかが決まらなければ実際の距離の差は決まりません。2時間なら速さの差の2時間分になります。上りと下りで時間が異なるときは、同じ時間の差として扱えないため、それぞれの道のりを別に計算します。

条件が逆に書かれた場合も、数の大小と向きを照らし合わせます。一定の正の流速があり、同じ船が同じ調子で進むなら、岸から見た下りは上りより速いはずです。上りの方が大きいと示されていたら、直ちに差を正の流速として使わず、向きや単位の読み違いがないか確かめます。数値を入れ替える前に問題の条件を読み直すことが先です。

基本例題：差の中にある流速を数える

ある船は川を上ると時速8 km、同じ川を下ると時速14 kmで進みます。船の静水時の速さと川の流速を、それぞれ時速何 kmか整数で求めてください。船の水に対する速さと川の流れは一定です。

図2のように、上りの8から下りの14までの差を見ます。静水時の速さは2つの端のちょうど中間です。上りの端から中間までと、中間から下りの端までが、ともに流速を表します。

まず、下りと上りの速さの差を出します。

14 − 8 = 6（時速 km）

この時速6 kmは流速2つ分です。1つ分は次のようになります。

6 ÷ 2 = 3（時速 km）

よって流速は時速3 kmです。上りの速さには流れの分を引く前の速さが必要なので、上りの速さに流速を戻します。

8 + 3 = 11（時速 km）

静水時の速さは時速11 kmです。下り側からも、14 − 3 = 11と求まります。和を使うなら、8 + 14 = 22、22 ÷ 2 = 11です。

場面に戻して確かめます。静水時に時速11 kmの船が時速3 kmの流れに逆らうと、岸から見た上りは11 − 3 = 8です。流れに乗る下りは11 + 3 = 14です。どちらも問題の速さに戻り、上りは正です。たとえば2時間ずつ進めば、上りは16 km、下りは28 kmとなり、同じ時間の距離の差12 kmは流速による距離3 × 2の2つ分と一致します。

差を出してから2で割る理由を言えれば、式を忘れても線分図から戻れます。「下りに足した分」と「上りから引いた分」を1つずつ指で追ってみてください。

標準例題：求めた速さを移動に使う

別の船は一定の川を上ると時速9 km、下ると時速17 kmです。静水時の船の速さと流速を整数の時速で求め、さらに下りに3時間かかったときの道のりを整数の kmで求めてください。船の水に対する速さと流れは一定です。

まず下りと上りの差は17 − 9 = 8です。これが流速2つ分ですから、流速は8 ÷ 2 = 4で時速4 kmです。上りに流速を戻し、9 + 4 = 13より、静水時は時速13 kmです。

3時間の移動は下りです。静水時の時速13 kmではなく、岸から見た下りの時速17 kmを使います。17 × 3 = 51より、道のりは51 kmです。もし上りの道のりを問われていれば、同じ3時間でも9 × 3 = 27 kmです。向きを変えると使う速さも変わります。

確かめると、13 − 4 = 9、13 + 4 = 17で、上りと下りの条件を再現します。51 ÷ 3 = 17なので、下りの道のりと時間も元の速さに戻ります。静水時の速さを移動距離の計算に使ってしまうと、川の流れが移動に与える分が抜けます。

発展例題：速さの比から端を決める

ある船の上りと下りの速さの比は3 : 5で、下りは上りより時速6 km速いとします。船の水に対する速さと川の流れは一定です。静水時の速さと流速を、それぞれ整数の時速で求めてください。

上りを同じ大きさの3つ分、下りを5つ分として、2本の線分を左端でそろえます。下りが長い部分は5 − 3 = 2つ分で、それが時速6 kmに当たります。1つ分は6 ÷ 2 = 3です。したがって上りは3 × 3 = 9、下りは5 × 3 = 15で、それぞれ時速9 km、時速15 kmです。

ここで比の1つ分が時速3 kmだったので、それが流速でもあると偶然気づくかもしれません。しかし、比が変われば一致するとは限りません。確実に判断するには、上りと下りの差6を流速2つ分と読み、6 ÷ 2 = 3とします。静水時は9 + 3 = 12より時速12 kmです。

別の確かめ方として、上りと下りの線分の端の真ん中に印を置きます。9と15の中間は、和24を2で割って12です。端から中間までの差はどちらも3なので、静水時と流速の答えがそろいます。場面に戻すと12 − 3 = 9、12 + 3 = 15です。さらに9 : 15を3で割れば3 : 5、15 − 9 = 6で、比も差も問題の条件に戻ります。

比の1つ分を出すときは、実際の速さの差6を、比の差である5 − 3の2で割ります。流速を出すときは、同じ速さの差6を、流速が2つ分あることから2で割ります。たまたま同じ数になった例でも、それぞれの割り算が何を表すかを言葉にしておくと、比が変わったときに迷いにくくなります。

差をそのまま流速とした答えを直す

基本例題で「14 − 8 = 6だから流速は時速6 km」と答えたとします。この答えを上りの時速8 kmに足すと静水時は時速14 kmとなり、さらに流速を足した下りは時速20 kmです。問題の時速14 kmには戻りません。

原因は、上りから静水時までにも流速1つ分があるのに、下り側の1つ分しか数えていないことです。図3のように、差の両端の間に静水時の端を置き、同じ長さの2区間に分けます。差6を2で割って流速3と直し、静水時は8 + 3 = 11とします。

図3の2区間を合わせて初めて差6になることを確かめましょう。反対に、和を求めた後に2で割らず、22を静水時の速さとする誤りもあります。和には静水時の速さが2つ分あるためです。差を半分にすれば流速、和を半分にすれば静水時と、半分にする対象を言葉で区別します。

練習：向きと求める量に印を付ける

以下はそれぞれ別の船と川です。船の水に対する速さと川の流れは、それぞれの問題内で一定とします。速さはすべて時速 kmで、答えを整数で求めてください。

1. 上りが6、下りが10の船があります。静水時の船の速さと流速を求めてください。
2. 上りが12、下りが18の船があります。静水時の船の速さと流速を求めてください。
3. 上りが7、下りが13の船があります。流速と、上りに4時間かけたときの道のりを整数の kmで求めてください。
4. 上りが16、下りが26の船があります。静水時の船の速さと、下りに2時間かけたときの道のりを整数の kmで求めてください。
5. 上りと下りの速さの比が2 : 3で、下りは上りより時速8 km速い船があります。静水時の速さと流速を求めてください。

練習の答えと場面への戻し方

1. 差は10 − 6 = 4、流速は4 ÷ 2 = 2です。静水時は6 + 2 = 8なので、答えは静水時が時速8 km、流速が時速2 kmです。8 − 2 = 6、8 + 2 = 10と、両方の向きに戻ります。
2. 差18 − 12 = 6の半分が流速なので時速3 kmです。静水時は12 + 3 = 15で時速15 kmです。15 − 3 = 12、15 + 3 = 18を確かめると、与えられた速さになります。
3. 差13 − 7 = 6より流速は時速3 kmです。上りの道のりは7 × 4 = 28で28 kmです。静水時は7 + 3 = 10となり、10 − 3 = 7、10 + 3 = 13です。また28 ÷ 4 = 7で上りの条件に戻ります。
4. 差26 − 16 = 10、流速は10 ÷ 2 = 5です。静水時は16 + 5 = 21で時速21 km、下りの道のりは26 × 2 = 52で52 kmです。21 − 5 = 16、21 + 5 = 26、52 ÷ 2 = 26と、速さと時間の条件がそろいます。
5. 比の差は3 − 2 = 1つ分で、それが時速8 kmです。上りは8 × 2 = 16、下りは8 × 3 = 24です。差8の半分が流速なので時速4 km、静水時は16 + 4 = 20で時速20 kmです。20 − 4 = 16、20 + 4 = 24となり、16 : 24 = 2 : 3、24 − 16 = 8も満たします。

覚えておきたいこと

上りは静水時の速さから流速を引き、下りは足します。
下りと上りの差は流速の2つ分です。
上りと下りの和は静水時の速さの2つ分です。
答えを両方の向きに戻し、上りが正であることも確かめます。

どこで迷ったかを見つける

お子さまが差を求めたところで止まったら、「上りの端から静水時まで」と「静水時から下りの端まで」を別々に指してもらいます。2つが同じ流速だと説明できれば、差を2で割る理由が見えています。式だけ合っていても、どの量の半分なのかを取り違えていないかを聞いてみます。

個別指導では、まず上りと下りに名前を付けた線分を描けるか、その後に答えを両方の条件へ戻せるかを確かめます。単位が違う場合は変換の前後で1時間あたりと1分あたりを声に出して区別します。流れを2回数える図が、速さの差の意味を支えます。