中学受験の算数 通過算の追いこし—重なり始めから離れるまでの相対距離を測る｜武蔵野個別指導塾

同じ方向に走る列車の重なり始めと通過後を描き、2本分の長さを速さの差で割る理由を探ります。

よくあるのは、同じ向きに走る2本の列車の追いこしでも、小学生が2つの速さを足してしまう場面です。速い列車が後ろから近づくとき、前の列車も同じ向きに進みます。進んだ分がそのまま縮まるわけではありません。

さらに、列車には長さがあります。先頭が並んだ瞬間と、列車全体が離れた瞬間は別です。どの端からどの端までを比べているのかを絵に残すと、速さと距離の組み合わせを選びやすくなります。

要点（結論から）

• 重なり始めと完全な通過で、並ぶ端をそれぞれ描きます。
• 同じ向きでは、後ろの速い列車と前の列車の速さの差を使います。
• 重なり始めからの相対距離は2本の長さの合計です。

何を求める問いか

追いこしの問題には、2本の長さと速さから、重なり始めてから完全に通過するまでの時間を求める型があります。時間の始まりは、後ろの速い列車の先頭が、前の遅い列車の最後尾に並ぶ瞬間です。終わりは、速い列車の最後尾が遅い列車の先頭に並ぶ瞬間です。

逆に、通過時間と2本の速さから、2本の長さの合計や、片方の長さを求める型もあります。この場合は時間に速さの差をかけ、合計からわかっている長さを引きます。求めるものが時間か長さかで最後の計算は変わりますが、同じ2つの端の動きを見ています。

速さを求める問いでは、2本の長さと時間から速さの差を出し、遅い列車の速さを足して速い列車の速さに戻します。差は速い列車の速さそのものではありません。どの量が与えられ、何を答えるのかを先に分けましょう。

どの型でも、2本が同じ向きに一定の速さで走り、後ろの列車の方が速いとします。時間に「出会ってから」など別の始まりが書かれていたら、先頭や最後尾の位置を読み直します。前にいる列車と同じ速さ以下では、後ろから完全に追いこすことはできません。

動く列車を基準にした距離

図1のように、前の列車を基準にして、後ろの列車がどれだけ前へずれるかを考えます。図は位置関係を示す模式図で、列車の長さを数値で比較する図ではありません。右向きを進行方向とし、上段が重なり始め、下段が完全に通過した瞬間です。

図1の上段では、後ろの列車の先頭と前の列車の最後尾が同じ位置です。下段では、後ろから来た列車の最後尾と前の列車の先頭が同じ位置です。後ろの列車の先頭に注目すると、前の列車の最後尾から先頭まで進んだ後、さらに自分の列車の長さだけ進む必要があります。

そのため、前の列車から見た先頭の移動距離は、2本の長さの合計です。後ろの列車の最後尾に注目しても、最初は前の列車の最後尾より自分の長さだけ後ろにあり、最後は前の列車の先頭に並ぶので、同じ合計になります。端を途中で取り違えないことが大切です。

例えば1秒に後ろが25 m、前が15 m進むなら、後ろは前に対して毎秒10 mずつ近づきます。1秒間に両方が進む15 mは、2本の間の位置関係を変えません。後ろが余分に進む10 mが、1秒あたりの相対距離です。逆向きに進む場合とは距離の変化が違うので、向きを先に確かめます。

時間を求めるときは、2本の長さの合計を速さの差で割ります。相対距離を相対速度で割るので、両方の列車が同じ時間にそれぞれ進んだ距離を、別々に足しているわけではありません。長さをm、速さを秒速mでそろえれば、答えは秒になります。

基本例題：2本が離れるまで

長さ180 mの列車Aが秒速25 m、長さ120 mの列車Bが秒速15 mで、同じ向きに一定の速さで走ります。AはBの後ろから来ます。Aの先頭がBの最後尾に並んでから、Aの最後尾がBの先頭に並ぶまで何秒ですか。整数で答えましょう。

図2のように、Bを基準にして始めと終わりを描きます。図では長さを同じ縮尺にし、Aの180 mを360、Bの120 mを240の幅で表しています。上段の接点から下段のAの先頭までのずれは、2本分の合計です。

まず、図2のBを基準にしたAの先頭の移動距離を求めます。

180 + 120 = 300 m

次に、同じ1秒間に進む距離の差を求めます。

25 − 15 = 10 m

Aの先頭はBから見ると1秒に10 m進むので、300 m進む時間は次のとおりです。

300 ÷ 10 = 30秒

答えは30秒です。条件に戻して確かめます。30秒間にAは25 × 30 = 750 m、Bは15 × 30 = 450 m進みます。Aが余分に進む750 − 450 = 300 mは2本の長さの合計と一致します。

始めにBの最後尾を0 mとすると、Bの先頭は120 m、Aの最後尾はマイナス180 mの位置です。30秒後のBの先頭は120 + 450 = 570 m、Aの最後尾は750 − 180 = 570 mです。両端が並び、指定された終わりの瞬間に戻りました。先頭どうしが並ぶまでの時間を求めたのではないことも確かめられます。

標準例題：長さを逆にたどる

長さ140 mの列車Cが秒速22 mで走り、前方を同じ向きに秒速14 mで走る列車Dを追いこします。Cの先頭がDの最後尾に並んでから、Cの最後尾がDの先頭に並ぶまで42秒かかりました。Dの長さを整数のmで求めましょう。両列車の速さは一定です。

1秒にCがDに対して進む距離は22 − 14 = 8 mです。42秒間の相対距離は8 × 42 = 336 mです。これはCとDの長さの合計なので、Dは336 − 140 = 196 mです。

答えは196 mです。Cは42秒で924 m、Dは588 m進み、差は336 mです。始めのDの最後尾を0 mにすると、終わりのDの先頭は196 + 588 = 784 m、Cの最後尾は924 − 140 = 784 mです。時間と両端の位置が問題の条件に戻ります。

ここで336 mをそのままDの長さとすると、C自身の長さを数え忘れます。逆に140 mを足すと、合計の中に含まれているCの分を重複して数えます。相対距離がまず何を表すのか、式の横に「2本の合計」と書いてから引きましょう。

発展例題：時間の始まりを分ける

長さ160 mの列車Eが秒速24 m、長さ200 mの列車Fが秒速18 mで、同じ向きに一定の速さで走ります。ある瞬間、Eの先頭はFの最後尾より90 m後ろにあります。その瞬間からEの最後尾がFの先頭に並ぶまで、何秒かかりますか。整数で答えましょう。

この問いでは、最初に2本が重なっていません。先に90 mのすき間を縮め、その後で2本分の長さを通過します。1秒に縮まる距離は24 − 18 = 6 mなので、重なり始めまでは90 ÷ 6 = 15秒です。

重なってから完全に通過するまでは、(160 + 200) ÷ 6 = 60秒です。したがって、求める時間は15 + 60 = 75秒です。まとめて (90 + 160 + 200) ÷ 6 としても75秒ですが、90 mが通過前のすき間であることを区別しておくと、時間の起点を見失いません。

別の位置の表で確かめます。始めのFの最後尾を0 mとすると、Eの先頭はマイナス90 m、Eの最後尾はマイナス250 m、Fの先頭は200 mです。75秒後にEは1800 m、Fは1350 m進みます。Eの最後尾はマイナス250 + 1800 = 1550 m、Fの先頭は200 + 1350 = 1550 mとなり、終わりの条件に合います。15秒後にはEの先頭がマイナス90 + 360 = 270 m、Fの最後尾が270 mで、重なり始めも再現できます。

分かれ目は、問題が「重なり始めから」と言っているか、それより前のすき間がある時点からと言っているかです。すき間の長さを足すのは後者です。また、EとFの速さが等しければすき間は縮まりません。Eの方が遅ければすき間は広がるので、この条件から完全な追いこしは起こりません。速さの差を機械的に割る前に、どちらが後ろで速いかを確かめます。

速さを足した答えを直す

基本例題で、25 + 15 = 40、300 ÷ 40 = 7.5秒とした答えを考えます。2本の長さを足したところまでは合っていますが、速さを足したため、同じ方向に進むBの動きを反対向きの動きとして扱っています。

図3のように1秒間の進みを比べると、Aは25 m、Bは15 m進みます。2本が共通して進む15 mは位置の差を変えず、Aが余分に進む10 mが差を縮めます。図3の線分は1 mを20の幅で表し、25 mと15 mの差を200の幅にしています。

間違いを見分けるには、7.5秒後を場面に戻すのが確実です。Aは187.5 m、Bは112.5 m進むので、Aが余分に進むのは75 mです。必要な300 mには届かず、最後尾はまだBの先頭に並びません。25 − 15 = 10に直し、300 ÷ 10 = 30秒とします。

もう1つの誤りは120 ÷ 10 = 12秒です。これはAの先頭がBの最後尾からBの先頭へ進む時間であり、先頭どうしが並ぶ瞬間です。その時点でAの最後尾はまだ180 m後ろにあります。さらに180 ÷ 10 = 18秒を加えると、完全に通過する30秒になります。どの端が並んだかを答えの文と照らすと、計算が合っていても問いに合わない場合を見つけられます。

練習：両端と起点を読む

次の5問は、それぞれ列車が同じ向きに一定の速さで走ります。後ろから来る列車は前の列車より速いものとします。完全に通過する瞬間は、後ろから来た列車の最後尾が前の列車の先頭に並ぶ瞬間です。

1. 長さ150 mの列車Gが秒速23 m、長さ210 mの列車Hが秒速17 mです。Gの先頭がHの最後尾に並んでから完全に通過するまでの時間を、整数の秒で求めましょう。
2. 長さ175 mの列車Iが秒速26 m、列車Jが秒速19 mです。重なり始めから完全に通過するまで45秒でした。Jの長さを整数のmで求めましょう。
3. 長さ130 mの列車Kが、長さ190 mで秒速16 mの列車Lを追いこします。重なり始めから完全に通過するまで40秒でした。Kの速さを整数の秒速mで求めましょう。
4. 長さ135 mの列車Mが秒速21 m、長さ165 mの列車Nが秒速13 mです。重なり始めから完全に通過するまでの時間を、既約分数の秒で求めましょう。
5. 長さ110 mの列車Pが秒速20 m、長さ170 mの列車Qが秒速15 mです。ある瞬間、Pの先頭はQの最後尾より70 m後ろです。その瞬間からPが完全に通過するまでの時間を、整数の秒で求めましょう。

練習の答えと戻し方

1. 速さの差は23 − 17 = 6 m、長さの合計は150 + 210 = 360 mです。360 ÷ 6 = 60秒です。60秒でGは1380 m、Hは1020 m進み、差は360 mです。始めのHの最後尾を0 mとすると、終わりのGの最後尾は1380 − 150 = 1230 m、Hの先頭は1020 + 210 = 1230 mで並びます。

2. 速さの差は26 − 19 = 7 m、45秒間の相対距離は7 × 45 = 315 mです。Jは315 − 175 = 140 mです。45秒でIは1170 m、Jは855 m進みます。始めのJの最後尾を0 mとすると、終わりのIの最後尾は1170 − 175 = 995 m、Jの先頭は855 + 140 = 995 mです。

3. 長さの合計は130 + 190 = 320 mです。1秒あたりの相対距離は320 ÷ 40 = 8 mなので、Kの速さは16 + 8 = 秒速24 mです。40秒でKは960 m、Lは640 m進みます。始めのLの最後尾を0 mとすると、Kの最後尾は960 − 130 = 830 m、Lの先頭は640 + 190 = 830 mで並びます。

4. 長さの合計は135 + 165 = 300 m、速さの差は21 − 13 = 8 mです。300 ÷ 8 = 75/2秒です。75/2秒でMは1575/2 m、Nは975/2 m進みます。始めのNの最後尾を0 mとすると、Mの最後尾は1575/2 − 135 = 1305/2 m、Nの先頭は975/2 + 165 = 1305/2 mです。分数のまま両端が一致します。

5. 速さの差は20 − 15 = 5 mです。必要な相対距離は70 + 110 + 170 = 350 mなので、350 ÷ 5 = 70秒です。始めのQの最後尾を0 mとすると、Pの最後尾はマイナス180 mです。70秒でPは1400 m、Qは1050 m進み、Pの最後尾はマイナス180 + 1400 = 1220 m、Qの先頭は1050 + 170 = 1220 mです。最初の70 mも含めて条件に戻りました。

要点を手元に残す

• 重なり始めと完全な通過で、並ぶ端をそれぞれ描きます。
• 同じ向きでは、後ろの速い列車と前の列車の速さの差を使います。
• 重なり始めからの相対距離は2本の長さの合計です。
• 手前にすき間があるときは、その距離と経過時間も含めます。
• 答えを両列車の位置に戻し、終わりの両端を照合します。

どこで止まったかを見つける

お子さまが式を立てられないときは、まず列車を2本描き、進む向きと速い列車を指で示せるかを見ます。速さを足した場合は、同じ1秒に両方が進む距離を並べ、間が何m縮まるかを聞くと原因を分けられます。単位が時速なら秒速にそろえる必要があることも、時間の単位と合わせて確認します。

個別指導で確かめる箇所は、始めと終わりに並ぶ端、2本分の長さ、時間の起点です。答えの数字が合っていても、先頭どうしの一致を終点と説明していれば、図に戻って最後尾の位置を追います。2つの端が並ぶ時刻を言葉で示せると、追いこしの時間は確かな距離に結びつきます。