中学受験の算数 仕事算の全体量—一日あたりの仕事をそろえて共同作業の日数を求める｜武蔵野個別指導塾

一人で終える日数を、同じ全体に対する一日分の仕事量へ直します。公倍数を使う図と分数の計算を比べ、共同作業の日数を求める理由をたどります。

よくあるのは、一人なら6日、もう一人なら12日かかる作業で、二人の日数を足して2で割ってしまう場面です。9日という数は二人の単独の日数の真ん中ですが、二人が同時に手を動かすと、仕事は一人ずつの場合より速く進みます。日数の平均を出す前に、同じ一日の間に進む仕事の量に目を向けましょう。

何をそろえる問題か

仕事算では、同じ仕事を一人で終える日数から、二人が一緒に終えるまでの時間を求めることがあります。また、一人の日数と共同作業の日数から、もう一人が一人で終える日数を逆に求めることもあります。いずれも出発点は、仕事の全体が同じだという条件です。

与えられた6日や12日は、仕事の量ではなく、全体を終えるための時間です。一方、足してよいのは、同じ長さの時間にそれぞれが進める仕事の量です。時間どうしと仕事量どうしを取り違えないよう、式の横に「日」「全体の何分のいくつ」と書くと、途中で意味を追いやすくなります。

ここでは、仕事の途中で作業の速さが変わらず、二人で同時に作業してもそれぞれの一日あたりの仕事量が変わらないとします。一日未満の時間も同じ割合で進みます。途中から人が加わる場合や交代する場合は、人数が変わる時点で期間を分ける必要があります。

全体を共通のものさしにする

仕事の全体を1と決める方法があります。6日で終える人は一日に全体の6分の1、12日で終える人は一日に全体の12分の1を進めます。どちらも同じ全体を基準にした割合なので、通分して足せます。6分の1は12分の2ですから、二人の一日分は12分の3、つまり4分の1です。

図1のように全体を12等分して考えると、一人目は一日に2区画分、二人目は1区画分です。図の各区画は仕事量を示し、日数を並べたものではありません。二人の一日分の3区画が全体の12区画にいくつ入るかを考えると、4日とわかります。

図1では全体の12区画を、同じ大きさの単位として使っています。仕事が実際に12個の品物から成る必要はありません。6日でも12日でも割り切れるように、全体の量を12という数で表しただけです。仕事の実際の大きさが何であっても、一人目と二人目を同じものさしで表せば、共同の時間は変わりません。

全体を1とする方法なら、個数を決めなくても割合のまま計算できます。全体を公倍数にする方法なら、一日分が整数になり、線分図で考えやすくなります。どちらを選んでも、最後は「全体の仕事量 ÷ 二人の一日分」です。全体と一日分の単位がそろっていることが、その割り算を使う理由です。

例えば全体を24と決めても、一人目は一日に4、二人目は2を進めます。二人で一日に6なので、24 ÷ 6 = 4日です。全体を2倍の数で表すと一日分も2倍になるため、日数は同じです。全体を別々の数にして一日分を足すと、ものさしが違うので正しい共同作業量になりません。

基本例題：仕分けを同時に始める

同じ量のカードを仕分けます。Aさん一人では8日、Bさん一人では12日かかります。二人が初めから終わりまで同時に作業すると、何日で終わりますか。答えは既約分数を使った日数で表してください。二人の一日あたりの仕事量はそれぞれ一定で、同時に作業しても変わりません。

図2のように、全体を8と12の公倍数の24単位とします。Aさんは24単位を8日で終えるので、1日には次の量を進めます。

24 ÷ 8 = 3 単位

Bさんは24単位を12日で終えるので、1日分は次のとおりです。

24 ÷ 12 = 2 単位

二人は同じ一日にそれぞれの分を進めます。重ならない仕事を合わせるので、二人の一日分は次の量です。

3 + 2 = 5 単位

全体の24単位を一日5単位ずつ進めるので、かかる日数は次のようになります。

24 ÷ 5 = 24/5 日

したがって、答えは24/5日、帯分数では4と4/5日です。4日では20単位しか終わらず、残り4単位には4/5日かかります。24を5で割った余りの4を、そのまま4日としないようにします。残り4単位を一日5単位で進めるため、4/5日なのです。

図2では、上の線分が全体24単位、下の2本が同じ一日に進む3単位と2単位を表します。線分の長さは仕事量に比例しています。答えを場面に戻すと、Aさんは3 × 24/5 = 72/5単位、Bさんは2 × 24/5 = 48/5単位を進め、合計は120/5 = 24単位です。二人分を合わせてちょうど全体になるので、途中で止まったり全体を超えたりしていません。

割合で解いても同じです。一日分を足すと、1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24です。1 ÷ 5/24 = 24/5日となり、公倍数を使った結果に一致します。分母をそろえるのは、同じ大きさの区画として足すためです。

標準例題：一人分を差し引く

同じ冊子の整理を、Cさん一人なら15日で終えます。CさんとDさんが初めから一緒に行うと6日で終わります。Dさん一人なら何日かかりますか。既約分数または整数の日数で答えてください。それぞれの一日分は一定で、共同作業中も変わりません。

全体を15と6の公倍数である30単位とします。Cさんの一日分は30 ÷ 15 = 2単位、二人の一日分は30 ÷ 6 = 5単位です。二人の一日分からCさんの一日分を引けば、Dさんの一日分が残ります。

5 − 2 = 3 単位

したがって、Dさん一人の日数は30 ÷ 3 = 10日です。答えを戻すと、6日間でCさんは2 × 6 = 12単位、Dさんは3 × 6 = 18単位を進めます。合計30単位で全体に一致し、Dさん一人なら3 × 10 = 30単位です。

ここで6日と15日を引いてもDさんの日数にはなりません。両方とも全体を終える時間で、差は一日分の仕事量ではないからです。先に一日分へ直し、同じ単位の量を引くことが分かれ目です。

発展例題：全体の一部を仕上げる

同じ棚の整理を、Eさん一人なら10日、Fさん一人なら15日で終えます。二人が同時に始め、全体の3/4を終えるまでには何日かかりますか。既約分数の日数で答えてください。一日あたりの仕事量はそれぞれ一定で、一日未満も同じ割合で進みます。

全体を10と15の公倍数である30単位とします。Eさんの一日分は30 ÷ 10 = 3単位、Fさんは30 ÷ 15 = 2単位です。二人で一日5単位を進めます。求めるのは全体30単位を終える時間ではなく、その3/4を終える時間です。

30 × 3/4 = 45/2 単位

45/2 ÷ 5 = 9/2 日

答えは9/2日です。時間を戻して確かめると、Eさんは3 × 9/2 = 27/2単位、Fさんは2 × 9/2 = 18/2単位を進めます。合計45/2単位は30単位の3/4です。残りは30 − 45/2 = 15/2単位で、全体の1/4とも一致します。

別の表し方では、全体を1とすると二人の一日分は1/10 + 1/15 = 1/6です。3/4 ÷ 1/6 = 9/2日となります。一日分が全体の1/6なので、全体を終えるのは6日、仕事の3/4を終えるのは6 × 3/4 = 9/2日と考えても同じです。ただし、これは作業の速さが一定だから使える比例です。進める量と時間の両方が同じ割合で変わることを確認しましょう。

全体を30単位にしたとき、3/4が整数にならず45/2単位になっても差し支えありません。単位は仕事量を表すためのもので、実際に半分の品物ができるという意味ではありません。分数を避けたいときは、10、15、4の公倍数である60を全体としてもかまいません。その場合、二人の一日分は6 + 4 = 10単位、目標は60 × 3/4 = 45単位です。45 ÷ 10 = 9/2日となり、同じ答えです。

このように全体の数を選び直しても、目標の割合と一日分を同じ基準で表せば、求まる時間は変わりません。反対に、全体の3/4だけを30と置いたのに、単独の日数を使って30を10や15で割ると、異なる全体を混ぜてしまいます。単独の日数は元の全体を終える時間ですから、割る前の量を元の全体にそろえます。

平均を出したくなったら

最初の6日と12日の場面で、(6 + 12) ÷ 2 = 9日とする誤答を考えます。図3のように、一人目だけでも6日で全体を終えます。二人が初めから同時に作業し、二人目も仕事を進めるなら、9日という答えは6日より長いので条件に合いません。

図3の線分は日数を表し、仕事量の線分とは意味が違います。平均の9日は単独の日数の間にありますが、共同作業の日数を表してはいません。原因は、終えるまでの時間をそのまま足したことです。修正するときは、全体を12単位にそろえ、一日分を2単位と1単位に直します。二人の一日分は3単位なので、12 ÷ 3 = 4日です。

4日で一人目は2 × 4 = 8単位、二人目は1 × 4 = 4単位を進め、合計12単位になります。答えが速い人の単独日数より短いかという見当は、誤りを見つける助けになります。ただし、それだけで正解とは限りません。最後に二人が実際に進める量を足し、全体に戻ることまで確かめます。

逆に、共同作業の日数が単独の日数と同じ、または長いという条件を見たら、すぐに計算を続けず条件を点検します。もう一人の一日分を引いて0以下になるなら、二人とも正の量を進めるという設定に合いません。例えば単独8日と共同10日なら、全体を40としたとき一日分はそれぞれ5と4です。共同の4から一人の5を引いても、もう一人の正の仕事量にはなりません。数を無理に答えへ変えず、条件の食い違いを見つけることも大切です。

自分で試す5問

いずれも同じ仕事を対象とし、各人の一日あたりの仕事量は一定です。二人は初めから同時に作業し、一日未満も同じ割合で進みます。答えは既約分数または整数の日数で表してください。

1. 用紙を分類します。Gさん一人では9日、Hさん一人では18日かかります。二人では何日ですか。
2. 箱を並べます。Iさん一人では7日、Jさん一人では21日かかります。二人では何日ですか。
3. 資料をまとめます。Kさん一人では20日、KさんとLさんが一緒なら5日かかります。Lさん一人では何日ですか。
4. 部品を整理します。Mさん一人では12日、Nさん一人では16日かかります。二人で全体の7/8を終えるには何日ですか。
5. 色紙を分類します。Pさん一人では6日、PさんとQさんが一緒なら4日かかります。Qさん一人では何日ですか。

5問の答えと戻し方

1. 全体を18単位とすると、一日分はGさんが2単位、Hさんが1単位です。18 ÷ (2 + 1) = 6日。6日で12単位と6単位を進め、合計18単位になります。
2. 全体を21単位とすると、Iさんは一日3単位、Jさんは1単位です。21 ÷ 4 = 21/4日。二人の仕事量は63/4単位と21/4単位で、合計84/4 = 21単位です。
3. 全体を20単位とすると、Kさんは一日1単位、二人では一日4単位です。Lさんは4 − 1 = 3単位なので、20 ÷ 3 = 20/3日。共同の5日ではKさんが5単位、Lさんが15単位を進め、合計20単位です。Lさん一人でも3 × 20/3 = 20単位です。
4. 全体を48単位とすると、Mさんは一日4単位、Nさんは3単位です。目標は48 × 7/8 = 42単位なので、42 ÷ 7 = 6日。6日間の24単位と18単位を足すと42単位で、全体の7/8に当たります。
5. 全体を12単位とすると、Pさんは一日2単位、二人では3単位です。Qさんの一日分は3 − 2 = 1単位なので12 ÷ 1 = 12日。4日間のPさんの8単位とQさんの4単位を合わせると12単位です。Qさん一人でも12日で12単位になります。

覚えておくこと

• 同じ全体を1または公倍数で表します。
• 単独の日数から、それぞれの一日分を求めます。
• 同時に進む一日分を足し、必要な仕事量をその和で割ります。
• 答えの日数で各人の仕事量を出し、条件に戻します。

どこで迷ったかを見分ける

お子さまが日数を足した場合は、まず「その数は時間か、一日分の仕事量か」と尋ねます。答えだけを直す前に、同じ全体を二人に使えているか、図の1区画が何を表すかを確かめます。分数の割り算で止まる場合は、全体を公倍数の単位にして、残りの仕事量を一日分で割る操作に戻ると、式の意味を確認できます。

個別指導では、共同の日数が単独より短いかという見当と、求めた日数で両方の仕事量を再現する検算を別々に見ます。前者だけ合っていても、全体の一部を問われた条件を見落とすことがあります。どの時点までの量を求めるのかを指で示し、全体との対応を言葉にできれば、仕事算の全体量を基準に判断できます。