中学受験の算数 仕事算の交代作業—一緒に働く期間と一人の期間を表で分ける｜武蔵野個別指導塾

途中参加と途中離脱の時点で期間を分け、各期間の働き手と仕事量を表に置きます。残量を次の担当者の一日分で割ると、終了までの日数を計算できます。

よくあるのは、途中で作業する人数が変わったのに、変わる前と同じ1日分の仕事量を使い続ける場面です。たとえば、一緒に進めていた作業を途中から一人で引き受けると、残りは同じ速さでは減りません。作業した人と日数を区切って、終わりまでをたどります。

人が変わる時点を探す

問いの一つは途中参加です。先に一人が作業し、後からもう一人が加わります。最初の人が進めた分を全体から引き、残りを二人の1日分で割れば、参加後に必要な日数が出ます。開始からの日数を聞かれたら、先に一人で働いた日数も足します。

もう一つは途中離脱です。二人で始め、一人が抜けた後は残った人が作業します。一緒に進めた量を引いてから、残りを一人の1日分で割ります。誰が残るかによって後半の進み方が変わるので、名前まで表に書きます。

さらに、参加や離脱が仕事の終了前に起こるかを判断する問いもあります。途中までの計算が全体を超えたら、その時点より前に終わっています。負の残りをそのまま割らず、設定を見直します。同じ人が日ごとに入れ替わる交互作業は扱いません。

全体、1日分、残りをつなぐ

仕事算では、完成する仕事をひとまとまりとして見ます。全体を1とすれば、一人で8日かかる人の1日分は全体の1/8です。1日分が一定なら、3日分は1/8を3回分で3/8です。仕事の単位は、完成する量を基準にした割合です。人数と日数そのものを足して仕事量にするわけではありません。

二人が同時に働き、互いの作業が重ならずに進むときは、同じ1日に進む量を足します。一人の1日分が1/8、もう一人が1/12なら、二人の1日分は1/8 + 1/12 = 5/24です。24にそろえると3/24と2/24ですから、一緒の1日で全体の5/24が進みます。

図1のように、仕事の全体を同じ長さの線分で表します。左から作業済み、残りの順に並べ、境目が人数の変わる時点に対応します。下の表は時の順を示す模式図で、横幅は日数の比を示していません。線分の長さは仕事量の割合を表し、表の区切りは担当者を確かめるために使います。

図1の作業済みと残りを合わせると全体です。人数の変更は新しい仕事の開始ではなく、同じ仕事の途中での切り替えです。変更時の残りを次の期間の出発点にします。表には「期間」「働く人」「1日分」「日数」「進んだ量」を置くと、同じ数を違う意味で使う間違いに気づけます。

計算の単位にも目を向けます。仕事量を1日分の仕事量で割ると日数です。一方、仕事量を日数で割れば1日分の仕事量です。問題が求めるのは作業開始からなのか、参加後や離脱後なのかも先に囲みます。最後の答えに単位をつけると、求めた量と照らし合わせやすくなります。

基本例題：途中から二人で進める

同じ枚数のカードを整理する仕事があります。あきさん一人なら全部で12日、いとさん一人なら全部で18日かかります。あきさんが最初に一人で2日働き、その後いとさんが加わって二人で残りを整理します。二人とも1日あたりの仕事量は一定で、仕事は重複しません。開始から終わるまでの日数を、分数なら既約分数で答えましょう。

まず、一人ずつの1日分を全体に対する割合で表します。

• あきさんの1日分：1 ÷ 12 = 1/12
• いとさんの1日分：1 ÷ 18 = 1/18
• 二人の1日分：1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36

最初の2日間はあきさんだけです。いとさんの1日分をこの期間に足してはいけません。

• 最初の2日で進む量：1/12 × 2 = 1/6 = 6/36
• その後の残り：1 − 6/36 = 30/36
• 二人になってからの日数：30/36 ÷ 5/36 = 6日
• 開始からの日数：2 + 6 = 8日

答えは8日です。図2のように全体を36等分すると、初めの6部分と残り30部分が見えます。残り30部分は二人で1日5部分ずつ進むため、6日かかります。

図2の区切りは日数の比ではなく仕事量の比です。2日と6日の比で線を分けると、後半は二人で働くことが表せません。表にすると、最初の行は「あきさん・2日・6/36」、次の行は「二人・6日・30/36」です。各行で1日分に日数をかけ、合計が36/36になるか見ます。

答えを場面に戻します。あきさんは通算8日働くので8/12 = 2/3、いとさんは後半の6日働くので6/18 = 1/3を担当します。合わせて1となり、終わる前の2日間にいとさんを数えていません。6日という途中からの日数と8日という開始からの日数を区別できているかも確かめます。

標準例題：一人が途中で抜ける

掲示用の紙を仕分けする仕事を、うみさん一人なら15日、えりさん一人なら10日で終えます。二人で3日働いた後、えりさんが抜け、残りはうみさんが一人で仕分けます。仕事量は1日あたり一定で重複しません。開始から終了までの日数を、分数なら既約分数で答えましょう。

うみさんの1日分は1/15、えりさんは1/10です。一緒なら、1/15 + 1/10 = 2/30 + 3/30 = 5/30 = 1/6です。3日で進むのは1/6 × 3 = 1/2、残りは1 − 1/2 = 1/2です。

残りを進めるのはうみさんです。必要な日数は1/2 ÷ 1/15 = 15/2日、開始からは3 + 15/2 = 21/2日です。答えは21/2日です。半日も同じ割合で作業が進むと考えています。

場面に戻すと、うみさんは通算21/2日で7/10、えりさんは3日で3/10を進めます。合計は1です。二人で働いた3日後には半分残っているため、離脱は終了前に起こります。もし残りも二人の1日分で割ると、抜けた人を後半にも数えたことになります。

ここでの分かれ目は、後半の担当者です。えりさんが残るという別の条件なら、残りの1/2を1/10で割るので後半は5日です。元の問題の答えと入れ替えず、問題文の名前を表の後半に書き写してから割ります。

発展例題：予定の変更が間に合うか

資料を分類する仕事を、かいさん一人なら8日、きくさん一人なら12日で終えます。二人で作業を始め、3日後にきくさんが抜ける予定です。残りはかいさんが一人で担当します。1日あたりの仕事量は一定で重複しません。実際に離脱が起きるかを確かめ、開始から終了までの日数を既約分数で答えましょう。

二人の1日分は1/8 + 1/12 = 5/24です。3日間なら5/24 × 3 = 15/24、残りは9/24です。15/24は全体より小さいので、3日後にも仕事は残り、予定どおり離脱が起きます。

かいさんの1日分は1/8 = 3/24です。残り9/24には9/24 ÷ 3/24 = 3日かかります。開始からは3 + 3 = 6日です。かいさんの6日分は6/8 = 3/4、きくさんの3日分は3/12 = 1/4で、合計は1です。

別の確かめ方として、全体を24個の同じ部分に区切って表にします。二人は1日に5個分ずつ進めるので、3日で15個分です。残った9個分をかいさんが1日に3個分ずつ進め、3日でちょうど終えます。分数の式と部分の個数が同じ境目を示します。

では、離脱予定を5日後に変えるとどうでしょう。二人の5日分は25/24で全体を超えます。これは余分に作業するという意味ではなく、5日後を待つ前に完成するという印です。実際には1 ÷ 5/24 = 24/5日で終わるので、離脱は起こりません。予定時点までの量が全体とちょうど等しければ、その時点で完成し、後半の作業日数は0日です。残りを割る前に、この3通りを見分けます。

誤答を直す：後半の働き手を見落とす

基本例題で、最初の残り30/36を正しく求めた後も、あきさん一人の1日分3/36で割り、後半を10日とする誤りがあります。割り算そのものは30 ÷ 3 = 10で合っていますが、後半に加わったいとさんの2/36を落としています。開始から12日という答えは、条件の二人作業を反映していません。

図3のように、後半の1日分をあきさんの3部分といとさんの2部分に分けて見ます。合わせて5部分です。30部分を5部分ずつ進めれば6日となります。上の帯は誤って一人だけを数えた量、下の帯は二人の量で、長さは同じ1部分を基準にしています。

図3に戻って、誤答の10日を条件に入れてみます。後半を二人で10日働くと50/36進み、最初の6/36と合わせて56/36です。全体を超えるので、10日より前に完成します。計算結果が大きいか小さいかだけで判断せず、誰が何日働いたかを戻すと原因を特定できます。

逆に、離脱後も二人分を使う誤りでは、後半の1日分を大きく見積もるため、必要な日数を短く答えます。標準例題で残り1/2を二人の1日分1/6で割ると3日ですが、後半のうみさんは3/15しか進められません。前半の1/2と合わせても7/10で、仕事が残っています。答えの数を元の場面へ入れる検算は、参加と離脱の両方で役立ちます。

自分で試す5問

どの問題も各人の1日あたりの仕事量は一定で、同時に働く場合も仕事は重複しません。分数で答えるときは既約分数にします。日数を求める問題では、半日など1日未満も同じ割合で進むものとします。

1. しおりを並べる仕事を、こはるさん一人なら6日、さとさん一人なら9日で終えます。こはるさんが一人で2日働き、さとさんが加わります。開始から終了まで何日ですか。
2. 箱に札を貼る仕事を、すずさん一人なら20日、せなさん一人なら30日で終えます。二人で6日働いた後、せなさんが抜けます。すずさんが残りを仕上げるまで、離脱後に何日かかりますか。
3. 本を分類する仕事を、たくさん一人なら10日、ちかさん一人なら15日で終えます。たくさんが一人で4日働いた後、ちかさんが加わります。二人になってから完成まで何日ですか。
4. 封筒を仕分ける仕事を、つばささん一人なら12日、てるさん一人なら16日で終えます。二人で4日働き、その後はてるさん一人が担当します。開始から終了まで何日ですか。
5. 用紙をそろえる仕事を、ともさん一人なら6日、なおさん一人なら12日で終えます。二人で始め、5日後になおさんが抜ける予定です。離脱は起きますか。また、開始から完成まで何日ですか。

答えと場面に戻す確かめ

1. 答えは22/5日です。最初に進む量は2/6 = 1/3、残りは2/3です。二人の1日分は1/6 + 1/9 = 5/18なので、参加後は2/3 ÷ 5/18 = 12/5日です。開始から2 + 12/5 = 22/5日です。こはるさんの22/5日分は11/15、さとさんの12/5日分は4/15で、合わせて1です。

2. 答えは10日です。二人の1日分は1/20 + 1/30 = 1/12、6日で1/2進みます。残り1/2をすずさんの1/20で割り、10日です。すずさんは前半と後半の16日で4/5、せなさんは前半の6日で1/5を進め、全体に戻ります。答えるのは離脱後の日数なので、前半の6日を足しません。

3. 答えは18/5日です。初めの4日で4/10 = 2/5進み、残りは3/5です。二人の1日分は1/10 + 1/15 = 1/6なので、3/5 ÷ 1/6 = 18/5日です。たくさんは通算38/5日で19/25、ちかさんは18/5日で6/25を進め、合計は1です。4日後にも3/5残っています。

4. 答えは32/3日です。二人の1日分は1/12 + 1/16 = 7/48、4日で7/12進みます。残り5/12をてるさんの1/16で割ると20/3日、開始から4 + 20/3 = 32/3日です。つばささんの4日分は1/3、てるさんの通算32/3日分は2/3で、合計は1です。

5. 離脱は起きず、答えは4日です。二人の1日分は1/6 + 1/12 = 1/4なので、1 ÷ 1/4 = 4日で完成します。予定の5日後より先に終わります。ともさんの4日分は2/3、なおさんの4日分は1/3で、合わせて1です。5日分を進めたことにして残りを計算する必要はありません。

覚えておくこと

• 人数が変わる時点で期間を分け、その期間の働き手を書く。
• 1日分に日数をかけて進んだ量を求め、全体から引く。
• 残りは、その後に働く人の1日分で割る。
• 切り替え前に完成しないかを調べ、答えを担当量の合計に戻す。

どこで止まったかを見る

お子さまが途中で手を止めたら、まず人数が変わる時点に縦線を引き、各期間で働く人を口にしてもらいます。名前が合っているのに式が違う場合は、1日分と期間全体の量を指さして区別します。答えが合っていても、参加前の日数を含むかどうかの説明を聞くと、偶然の計算と区別できます。

個別指導で確かめるなら、同じ問題の離脱する人を入れ替え、後半の1日分がどう変わるかを尋ねます。予定時点までに完成する場合も並べ、負の残りを計算し続けていないかを見ます。仕事の線分の境目と時間の表の境目を対応させれば、途中で働き手が変わる理由まで追えます。