高校数学B 確率変数の和と独立—同時分布から和の平均と分散を求める｜武蔵野個別指導塾

同時分布の各マスと行・列の確率の積を照合し、独立な場合と連動する場合の和の分散を比べて検証します。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が2つの確率変数の分散を求め、独立を確かめないまま足してしまう場面です。平均を足せたことと、分散も足せることは別々に判断します。2つの値が同時にどう決まるかを表にし、和の分布まで戻って確かめましょう。

ここで扱うのは、有限個の値を取る2つの確率変数の同時分布、独立性、和の期待値と分散です。複雑な分布や標本からの推定は扱いません。

まず何を表から読むか

出方の1つは、同時分布の表から、それぞれの確率分布と和の分布を作る問題です。表の1つのマスは、2つの値が同時に起こる確率を表します。行や列を足せば片方の値に注目した確率が出ますが、和の分布では、同じ和になるマスを選んで足す必要があります。

2つ目は、独立かどうかを判定してから、和の期待値と分散を求める問題です。各マスの確率と、対応する行・列の確率の積を比べます。1か所でも一致しなければ独立ではありません。逆に1か所だけが一致しても、それだけで独立と決めず、可能な組を調べます。

3つ目は、表に文字を含む確率があり、独立という条件から文字を求める問題です。確率の合計が 1 になることと、各確率が 0 以上であることも条件です。式の答えが出た後に表へ戻して、他のマスにも独立の条件が成り立つか確認します。

同時に起こることと独立

確率変数 X と Y の同時分布は、X の値と Y の値の組ごとに確率を並べたものです。図1では、中央の4マスが組の確率、右端が X の各値の確率、下端が Y の各値の確率です。中央のマスを全部足すと 1 になります。右端は同じ行の2マス、下端は同じ列の2マスを足したものです。

たとえば図1で X = 0 かつ Y = 1 となる確率は 1/4 です。X = 0 となる確率は Y の値にかかわらず同じ行を足し、1/4 + 1/4 = 1/2 です。Y = 1 の確率も同じ列を足して 1/2 です。「かつ」は重なった1マス、「X = 0」は行全体と見分けます。

X と Y が独立とは、可能な値 x, y のどの組についても、同時に X = x かつ Y = y となる確率が P(X = x) × P(Y = y) に等しいことです。図1では各行と各列の確率が 1/2 なので、その積はどの組でも 1/4 です。4マスともこの積に等しく、X と Y は独立です。

期待値は確率を重みとして値を足したものです。X + Y の期待値は、独立かどうかにかかわらず E(X + Y) = E(X) + E(Y) です。同時分布の各マスで x + y に確率をかけて足すと、x の部分と y の部分に分けられるからです。分けた x の項を行ごとに集めると E(X)、y の項を列ごとに集めると E(Y) になります。

分散は平均からのずれの平方の期待値です。X と Y が独立なら、和の分散は V(X + Y) = V(X) + V(Y) です。標準偏差はその分散の負でない平方根であり、標準偏差どうしをそのまま足すわけではありません。独立がわからないときには、この分散の加法を使う根拠がありません。同時分布があるなら、和の分布を作り、定義から計算できます。

基本例題：2つのルーレットを合わせる

2つのルーレットをそれぞれ1回回します。1つ目の表示 X は 0 または 2、2つ目の表示 Y は 0 または 3 です。各ルーレットは2つの表示をそれぞれ確率 1/2 で示し、結果は互いに独立とします。S = X + Y の確率分布、期待値、分散を求めてください。確率と答えは整数または正確な分数で表し、数に単位はありません。

独立なので、各組の確率は各表示の確率の積です。たとえば X = 2 かつ Y = 3 の確率は 1/2 × 1/2 = 1/4 です。他の3組もそれぞれ 1/4 です。図2のように、4つの組について先に和を作ると、対応する確率を取り落とさずに済みます。

図2の各組から S は 0, 3, 2, 5 の順に得られ、今回は互いに異なります。したがって S = 0, 2, 3, 5 の確率はそれぞれ 1/4 です。同じ和になる組があるときは、それらの確率を足して1つの値にまとめます。

まず X の期待値と分散を計算します。

E(X) = 0 × 1/2 + 2 × 1/2 = 1

E(X²) = 0² × 1/2 + 2² × 1/2 = 2

V(X) = E(X²) − {E(X)}² = 2 − 1² = 1

同じように Y について計算します。平方の平均から引くのは、平均を求めた後の平方です。

E(Y) = 0 × 1/2 + 3 × 1/2 = 3/2

E(Y²) = 0² × 1/2 + 3² × 1/2 = 9/2

V(Y) = 9/2 − (3/2)² = 18/4 − 9/4 = 9/4

期待値は独立性によらず足せます。分散は問題で独立と与えられているので足せます。

E(S) = 1 + 3/2 = 5/2

V(S) = 1 + 9/4 = 13/4

元の場面に戻して照合します。図2の4組はそれぞれ確率 1/4 で、確率の合計は 1 です。和の値で直接計算すると E(S) = (0 + 2 + 3 + 5)/4 = 5/2、E(S²) = (0² + 2² + 3² + 5²)/4 = 38/4 = 19/2 です。よって V(S) = 19/2 − (5/2)² = 38/4 − 25/4 = 13/4 となり、独立性を使った結果と一致します。

和の4つの値が違うことも大事です。たとえば別の設定で2つの組が同じ和を与えるなら、その和の確率は1マス分ではありません。組を先に全部書き、最後に和でまとめると、場合の抜けや重複を見つけられます。

独立を条件から探す

次は4枚のカードを1枚選び、書かれた組 (X, Y) を読みます。可能な組は (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) で、確率を順に 1/6, 1/3, p, 1/2 − p とします。X と Y が独立となる p と、そのときの X + Y の期待値と分散を求めてください。答えは整数または正確な分数で表し、数に単位はありません。

確率の合計は 1/6 + 1/3 + p + 1/2 − p = 1 です。各確率が 0 以上であるため、0 ≦ p ≦ 1/2 が必要です。X = 0 の確率は 1/6 + 1/3 = 1/2、X = 1 の確率も p + (1/2 − p) = 1/2 です。Y = 0 の確率は 1/6 + p になります。

独立なら (0, 0) のマスについても、同時確率が周辺の確率の積に等しいので、次の式が成り立ちます。

1/6 = (1/2) × (1/6 + p)

両辺を2倍して 1/3 = 1/6 + p、よって p = 1/6 です。この値は 0 ≦ p ≦ 1/2 を満たします。ただし、1マスから得た値は候補です。残るマスも確認して初めて、条件を満たすことが言えます。

p = 1/6 を戻すと4マスは順に 1/6, 1/3, 1/6, 1/3 です。Y = 0 の確率は 1/3、Y = 1 の確率は 2/3 です。X の各値の確率 1/2 と、それぞれの Y の確率の積は、どちらの行でも順に 1/6, 1/3 となります。全4マスが積に等しいので独立です。

E(X) = 1/2、E(X²) = 1/2 から V(X) = 1/2 − (1/2)² = 1/4 です。同様に E(Y) = 2/3、E(Y²) = 2/3、V(Y) = 2/3 − (2/3)² = 2/9 です。したがって、独立性を確かめた後で和の分散を足します。

E(X + Y) = 1/2 + 2/3 = 7/6

V(X + Y) = 1/4 + 2/9 = 17/36

カードの組に戻すと和が 0, 1, 2 となる確率は、順に 1/6, 1/3 + 1/6 = 1/2, 1/3 です。この分布から平均は 0 × 1/6 + 1 × 1/2 + 2 × 1/3 = 7/6、平方の平均は 0 + 1/2 + 4/3 = 11/6 です。分散は 11/6 − (7/6)² = 17/36 で、上の結果に戻ります。

分かれ目は「独立を仮定して候補を出す」と「候補が本当に独立を満たす」の間です。表の確率が条件を外れる候補や、別のマスで積が合わない候補は採用できません。和の分布に戻す確認も、行と列の取り違えを見つける助けになります。

足してよいか迷った答案の直し方

1枚の札の表なら X = 0, Y = 0、裏なら X = 1, Y = 1 と決め、表と裏はそれぞれ確率 1/2 とします。X と Y はそれぞれ 0, 1 を確率 1/2 で取るので、各分散は 1/4 です。ここで「和の分散は 1/4 + 1/4 = 1/2」とするのが誤答です。

原因は、片方ずつ見た分布が同じことを、独立であることと取り違えた点です。X = 0 かつ Y = 1 の組は起こらないので、その確率は 0 です。一方、P(X = 0) × P(Y = 1) = 1/2 × 1/2 = 1/4 です。図3のように、同時確率と積が一致しないため独立ではありません。

図3の比較で加法の根拠が消えたら、実際の和に戻ります。表なら X + Y = 0、裏なら X + Y = 2 で、それぞれ確率 1/2 です。平均は 0 × 1/2 + 2 × 1/2 = 1、平方の平均は 0² × 1/2 + 2² × 1/2 = 2 なので、正しい分散は 2 − 1² = 1 です。2つの値は一緒に動くため、独立な場合と同じ計算にはなりません。

独立でなくても期待値は E(X + Y) = 1/2 + 1/2 = 1 と足せます。分散が足せない例を、期待値まで足せないと読み替えないことも必要です。分散の式を書く直前に、独立という条件か表での確認を指さしてみましょう。

4つの組を自分で調べる

次の4問は先にまとめて解き、後の解答と比べてください。確率、期待値、分散は整数または正確な分数で答えます。数に単位はありません。

1. 2枚の札の一方に (A, B) = (0, 2)、もう一方に (A, B) = (2, 0) が書かれています。各札を確率1/2で選び、書かれた組を読むとき、A と B の独立性と A + B の期待値・分散を求めてください。
2. 2つの独立な装置がそれぞれ 0 または 1 を示します。前者の 1 の確率は 1/3、後者の 1 の確率は 1/4 です。和 T の確率分布、期待値、分散を求めてください。
3. 数の組 (U, V) = (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2) が順に確率 1/8, 3/8, 1/8, 3/8 で出ます。U と V の独立性、U + V の期待値と分散を求めてください。
4. 組 (C, D) = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) の確率が順に q, 1/4, 1/3, 5/12 − q です。C と D が独立となる q を求め、そのときの C + D の期待値と分散を求めてください。

答えを組の表へ戻す

1. A = 0 かつ B = 0 の確率は 0 ですが、P(A = 0) × P(B = 0) = 1/2 × 1/2 = 1/4 です。したがって独立ではありません。どちらの札でも A + B = 2 なので、期待値は 2、分散は (2 − 2)² = 0 です。元の2枚の組の和が両方 2 であることに戻ると、値が変わらないため分散が 0 という結果を確認できます。個々の分散はともに 1 ですが、その和 2 を答えにはできません。

2. 前者が 0 の確率は 2/3、後者が 0 の確率は 3/4 です。独立なので、T = 0 の確率は (2/3) × (3/4) = 1/2、T = 2 の確率は (1/3) × (1/4) = 1/12 です。T = 1 は2通りあり、(1/3) × (3/4) + (2/3) × (1/4) = 1/4 + 1/6 = 5/12 です。合計は 1 です。

和の分布から E(T) = 0 × 1/2 + 1 × 5/12 + 2 × 1/12 = 7/12、E(T²) = 0 + 5/12 + 4/12 = 3/4 です。V(T) = 3/4 − (7/12)² = 108/144 − 49/144 = 59/144 です。元の装置ごとに計算しても、平均は 1/3 + 1/4 = 7/12、分散は (1/3 − 1/9) + (1/4 − 1/16) = 2/9 + 3/16 = 59/144 となり、独立性を使った値と一致します。

3. U = 0, 1 の確率はともに 1/2、V = 0 の確率は 1/4、V = 2 の確率は 3/4 です。各行の確率 1/2 と各列の確率 1/4, 3/4 の積は、順に 1/8, 3/8 です。どちらの行も与えられた2マスに一致するので独立です。

E(U) = 1/2、V(U) = 1/2 − 1/4 = 1/4、E(V) = 2 × 3/4 = 3/2、V(V) = 4 × 3/4 − (3/2)² = 3/4 です。よって和の期待値は 2、分散は 1 です。元の4組の和は 0, 2, 1, 3 です。それぞれ与えられた確率をかけて足すと平均は 0 + 6/8 + 1/8 + 9/8 = 2、平方の平均は 0 + 12/8 + 1/8 + 27/8 = 5 なので、分散は 5 − 2² = 1 です。

4. 確率が 0 以上となる範囲は 0 ≦ q ≦ 5/12 です。P(C = 0) = q + 1/4、P(D = 0) = q + 1/3 なので、独立なら q = (q + 1/4)(q + 1/3) です。整理すると q² − (5/12)q + 1/12 = 0、12q² − 5q + 1 = 0 です。しかし、この式は実数解を持ちません。実際、12(q − 5/24)² + 23/48 = 0 となり、左辺は正です。したがって、条件を満たす q はなく、和の期待値と分散を求める場合もありません。

この結論も元の表に戻して確かめます。4マスの和は q + 1/4 + 1/3 + 5/12 − q = 1 ですが、独立の条件はどの実数 q でも成立しません。確率の合計が 1 になるだけでは、独立まで保証されないことが見えます。

手元に残す4行

同時分布の行・列を足して各変数の確率を出します。
独立は各マスの同時確率と行・列の確率の積で判定します。
和の期待値は独立でなくても足せます。
和の分散は独立を確かめてから足します。

どの行で止まったかを見る

表から確率を拾えないときは、1つのマスが表す組を声に出し、行と列のどちらを足すのか確認します。独立性で止まった場合は、同時確率と2つの周辺確率の積を別々に書き、比較する数が何を表すかを確かめます。

個別指導で見るなら、和の期待値と分散の式の横に、独立をどこで判断したかを書いてもらいます。誤答が出た場合は、各組の和とその確率をもう一度並べ、求めた平均と分散が元の表に戻るかを確認します。条件と計算のつながりが見えれば、和の分散を足せる場面を自分で選べます。