中学受験の算数 過不足算の余りと不足—配り方を変えた二本の線分図で総量をそろえる｜武蔵野個別指導塾

余りと不足を総量の両側に置き、1人分の配布数の差から人数を求める方法が過不足算です。

よくあるのは、同じ品物を同じ人数に配る問題で、余りと不足の数を見て小さい方を大きい方から引いてしまう場面です。どちらも配り終えるための調整に見えますが、余りは実際の総数から配った分を引いた残り、不足は配る予定の分から実際の総数を引いた足りない分です。二つは同じ総数をはさんで反対側にあります。

線分を二本描いて左端をそろえると、その違いが見えます。配る予定の総数どうしがどれだけ離れているかをつかみ、1人分の配布数の差を集めたものとして人数につなげます。

要点（結論から）

• 二本の線分は左端と実際の総数の位置をそろえます。
• 余りと不足は総数の両側にあるので、足して必要数の隔たりを出します。
• 隔たりを1人分の配布数の差で割ると人数が出ます。

二つの配り方から何を求めるか

問題では、品物の総数も人数も隠されることがあります。少ない配布数では余り、多い配布数では不足するという二つの条件から、まず人数を求め、その人数をどちらかの条件に戻して総数を求めます。余りと不足は品物の個数であり、人数ではありません。

別の問い方として、人数を求めた後に「あと何個あれば多い配り方ができるか」と、配布に必要な個数をたずねることもあります。その場合、実際の総数と必要な総数を区別して答えます。必要な総数は多い配布数に人数をかけた量で、実際の総数はそこから不足分を引いた量です。

また、一部の人にすでに渡した品物を考慮して、配布前の総数をたずねることもできます。まず残った品物を同じ人たちに配る二条件から、残りの総数を出します。その後で先に渡した分を加えます。どの時点の総数を図に表すのかが分かれ目です。

総数をはさんだ隔たりを描く

「余り」は、少ない数ずつ全員に配った後に残る量です。「不足」は、多い数ずつ全員に配るのに実際の品物に加える必要がある量です。同じ品物を同じ人数に配る二通りの想定なので、二本の線分の左端をそろえ、実際の総数の位置もそろえます。実際に一度配った品物を回収する手順を意味するのではなく、二通りを比べる図です。

図1のように、少ない配布数で必要な量は総数より余りの分だけ短く、多い配布数で必要な量は総数より不足の分だけ長くなります。したがって二つの必要量の差は、余りと不足をつないだ長さです。間にある総数の位置を通るので、余りと不足を足します。図1は関係を示す模式図で、数が与えられていない部分の長さを測って答えるものではありません。

一方、配布数を1人あたり何個増やしたかに注目すると、全員について同じ増加が起こります。たとえば1人あたり2個増やすなら、人数が3人なら6個、4人なら8個増えます。人数が何人であっても、増加分は「1人分の差」が人数分集まった量です。これが先ほどの余りと不足を足した隔たりと同じになります。

そこで、人数は「余りと不足の和 ÷ 1人分の配布数の差」で求めます。ただし、この式を先に暗記するより、どの長さが何を表すかを確認してください。人数を出した後は、少ない配り方なら配った数に余りを足し、多い配り方なら必要数から不足を引きます。両方が同じ総数になることが、条件を読み違えていないかの確かめになります。

余りどうしや不足どうしの比較では、二つの端が総数の同じ側にあります。その場合は位置関係を描いて差を考える必要があり、ここで扱う余りと不足の組とは区別します。

基本例題：しおりを配る

同じしおりを何人かに配ります。1人に3枚ずつ配ると8枚余り、1人に5枚ずつ配るには6枚足りません。人数としおりの総数を、それぞれ整数と単位で答えましょう。

まず、3枚ずつ配る予定の総数を下の段、5枚ずつ配る予定の総数を上の段に置きます。図2のように左端と実際の総数の位置をそろえると、二つの必要数の隔たりは8枚と6枚を合わせた部分です。図の長さは1枚あたり10ピクセルにそろえています。

3枚ずつでは実際の総数より8枚少ない数を配ります。5枚ずつでは実際の総数より6枚多い数が必要です。そのため、二つの配布予定数の差は次の通りです。

8 + 6 = 14（枚）

1人について、5枚と3枚の差は次のように2枚です。

5 − 3 = 2（枚）

全員に2枚ずつ増やした結果が14枚ですから、人数は次のように求まります。

14 ÷ 2 = 7（人）

3枚ずつ7人に配ると、配った数は次の通りです。

3 × 7 = 21（枚）

配った後に8枚残るので、もとの総数は次の通りです。

21 + 8 = 29（枚）

答えは7人、29枚です。元の場面に戻すと、29 − 3 × 7 = 8で8枚余ります。5 × 7 = 35枚が必要で、35 − 29 = 6枚不足します。人数は整数で、どちらの条件も満たします。5枚ずつ必要な35枚を29枚と取り違えないよう、求めた数に「必要数」か「実際の総数」かを書き添えると整理できます。

標準例題：必要な数も分ける

同じカードを何人かに配ります。1人に4枚ずつ配ると11枚余り、1人に7枚ずつ配るには13枚足りません。人数、実際のカードの総数、7枚ずつ配るのに必要な総数を、それぞれ整数と単位で求めましょう。

二つの必要数の間には、余りの11枚と不足の13枚があります。左端をそろえた線分に総数の位置を入れると、隔たりは11 + 13 = 24枚です。1人分の差は7 − 4 = 3枚ですから、人数は24 ÷ 3 = 8人です。

4枚ずつ8人に配った後に11枚残るので、実際の総数は4 × 8 + 11 = 43枚です。7枚ずつ配るためには7 × 8 = 56枚必要です。56 − 43 = 13枚で不足の条件に戻り、43 − 4 × 8 = 11枚で余りの条件にも戻ります。答えは8人、43枚、56枚です。

ここでは余り11枚が人数8人より大きくても問題ありません。余りはカードの枚数であり、配り方は「1人に4枚ずつ」です。配った後の残りからさらに全員へ配り直すという条件はないので、余りが人数より小さいと勝手に決める必要はありません。

発展例題：配る前の移動を戻す

同じ鉛筆を何人かに配る前に、別の箱へ12本移しました。残った鉛筆を同じ人数に配ると、1人に4本ずつでは5本余り、1人に7本ずつでは16本足りません。人数と、移す前の鉛筆の総数を整数と単位で求めましょう。

二通りの配り方が比べているのは、12本を移した後の鉛筆です。図の総数の位置にも、この残りの総数を置きます。余りと不足の和は5 + 16 = 21本、1人分の配布数の差は7 − 4 = 3本です。よって人数は21 ÷ 3 = 7人です。

残りの総数は4 × 7 + 5 = 33本です。問題が求めるのは移す前なので、33 + 12 = 45本です。答えは7人、45本です。45本から12本を移すと33本になり、4 × 7 = 28本を配れば5本残ります。7 × 7 = 49本には16本足りず、両方の条件が再現されます。

表にして確かめると、配布前の移動と二つの配り方の関係が整理できます。

分かれ目は、移動した12本を余りや不足に混ぜるかどうかです。どちらの配布条件も移動後を基準にしているので、人数を求める隔たりには12本を入れません。もし移す前と後で別々の配布条件が与えられたなら、まず共通の時点にそろえる必要があります。問題の中の「残った」「その後」という言葉に線を引くと、図に置く総数を選びやすくなります。

誤答から図を直す

基本例題で「8 − 6 = 2、2 ÷ 2 = 1人」としたとします。この答えを元の条件に戻すと、1人に3枚渡して8枚残る総数は11枚です。しかし1人に5枚を渡すのに11枚あれば、6枚足りないのではなく6枚余ります。計算の途中だけでなく、配る場面へ戻すと違いが見えます。

図3のように、8枚は3枚ずつの必要数から実際の総数まで、不足の6枚は実際の総数から5枚ずつの必要数までです。二つの部分は隣り合っており、一方が他方に重なっているわけではありません。差を取るのではなく8 + 6 = 14枚としてから、1人あたりの増加2枚で割ります。

もう一つの誤りは、14枚をそのまま人数とすることです。14枚は全員に追加する品物の数です。1人あたり2枚必要なので、14枚を2枚ずつのまとまりに分けて初めて7人になります。割る数の単位を「1人あたり何枚」と言葉にしてから計算すると、枚数と人数の混同を防げます。

条件に合う整数が出ないときにも、そのまま小数の人数を答えず、線分の端、足し引き、転記を調べます。正しく読み取って計算しても整数にならなければ、提示された条件では人数が整数の配布は成立しません。例えば余り4個、不足3個、1人分の差が2個なら、隔たり7個は2個ずつの整数個の組に分けられません。数を都合よく丸めるのではなく、条件に合う人数がないと判断します。

練習：二つの配り方を比べる

次の5問はそれぞれ独立した問題です。人数と品物の個数は整数とし、求める量に単位を付けて答えましょう。各問で同じ人たちに、同じ総数から配る二通りを考えます。

1. 折り紙を1人に2枚ずつ配ると7枚余り、5枚ずつ配るには8枚足りません。人数と折り紙の総数を求めましょう。
2. 消しゴムを1人に3個ずつ配ると4個余り、7個ずつ配るには20個足りません。人数と消しゴムの総数を求めましょう。
3. 花の種を1人に6粒ずつ配ると9粒余り、8粒ずつ配るには13粒足りません。人数と、8粒ずつ配るのに必要な種の総数を求めましょう。
4. 同じビー玉を配る前に別の袋へ9個移しました。残りを1人に5個ずつ配ると6個余り、8個ずつ配るには18個足りません。人数と移す前の総数を求めましょう。
5. 同じシールを1人に2枚ずつ配ると5枚余り、6枚ずつ配るには6枚足りないとします。この条件を満たす整数の人数があるか答え、理由を示しましょう。

練習の答えと確かめ

1. 隔たりは7 + 8 = 15枚、1人分の差は5 − 2 = 3枚です。15 ÷ 3 = 5人、総数は2 × 5 + 7 = 17枚です。17 − 2 × 5 = 7枚余り、5 × 5 − 17 = 8枚不足します。答えは5人、17枚です。

2. 隔たりは4 + 20 = 24個、1人分の差は7 − 3 = 4個です。24 ÷ 4 = 6人、総数は3 × 6 + 4 = 22個です。22 − 3 × 6 = 4個余り、7 × 6 − 22 = 20個不足します。答えは6人、22個です。

3. 隔たりは9 + 13 = 22粒、1人分の差は8 − 6 = 2粒です。22 ÷ 2 = 11人、必要数は8 × 11 = 88粒です。実際の総数は6 × 11 + 9 = 75粒で、75 − 6 × 11 = 9粒余り、88 − 75 = 13粒不足します。答えは11人、88粒です。

4. 移した後の隔たりは6 + 18 = 24個、1人分の差は8 − 5 = 3個です。24 ÷ 3 = 8人、残りは5 × 8 + 6 = 46個です。移す前は46 + 9 = 55個です。55 − 9 = 46個に戻し、46 − 5 × 8 = 6個余り、8 × 8 − 46 = 18個不足します。答えは8人、55個です。

5. 隔たりは5 + 6 = 11枚、1人分の差は6 − 2 = 4枚です。11枚は4枚ずつの整数個の組に分けられません。2人では追加分が8枚、3人では12枚となり、必要な11枚に一致しません。人数が増えるごとに追加分は4枚ずつ増えるため、その先にも一致する整数の人数はありません。答えは、条件を満たす整数の人数はありません。

要点を手元に残す

• 二本の線分は左端と実際の総数の位置をそろえます。
• 余りと不足は総数の両側にあるので、足して必要数の隔たりを出します。
• 隔たりを1人分の配布数の差で割ると人数が出ます。
• 総数を求めたら、余りと不足の両方を元の配布で確かめます。
• 人数は整数であること、求められた時点と単位も確かめます。

どこで止まったかを見る

お子さまが式を覚えていても、線分のどこが総数かを指せなければ、別の場面で足し引きを選びにくくなります。まず少ない配り方で配った量、多い配り方で必要な量、実際にある量をそれぞれ指してもらい、余りと不足がどの二点の間かを尋ねます。個別指導では、正答だけでなく、この指差しと説明の対応を確かめます。

人数までは合うのに総数を間違える場合は、必要数と実際の数の名前を式に添えて見直します。途中で品物を移す問題なら、どの時点を共通の総数にしたかも確認します。二つの配布を再現できれば、答えの数字と場面が結びつきます。