中3数学 三平方の定理の空間利用—立体の中の直角三角形を二段階で取り出す｜武蔵野個別指導塾

底面の対角線を次の直角三角形へ引き継ぎ、直方体の対角線や正四角錐の高さを求めます。

よくあるのは、斜めに描かれた見取図を見て、紙の上で直角に見える角をそのまま直角として計算する場面です。立体の辺や面は紙の上では傾いて見えます。反対に、紙の上で直角らしく見える線が、立体でも直角とは限りません。点の位置と面の関係を言葉で確かめてから、必要な三角形を平面に取り出します。

立体のどこから長さをつなぐか

直方体では、向かい合う頂点を結ぶ空間の対角線を求める型があります。底面の対角線を先に出し、それと高さを使ってもう一度三平方の定理を使います。底面の辺、底面の対角線、立体の対角線が、どの順につながるかを追う問題です。

正四角錐では、頂点から底面へ下ろした垂線の長さを求める型があります。底面は正方形で、垂線の足はその中心です。底面の中心から頂点までの長さを出してから、側面の辺と高さを含む三角形を取り出します。側面の高さが与えられる場合は、底面の中心から辺の中点までを使います。与えられた線が底面の頂点へ向かうのか、辺の中点へ向かうのかで、最初に求める長さが変わります。

到達点は、式を覚えることだけではありません。直角の根拠を示し、途中で求めた長さが次の三角形のどの辺になるかを説明することです。長さは正であること、答えを元の立体の条件へ戻せることも点検します。三平方の定理は中学校第3学年の学習範囲に含まれます。

底面から立体へ橋をかける

直方体の底面を長方形ABCD、真上の頂点をそれぞれE、F、G、Hとします。辺AEは底面に垂直です。底面の対角線ACを引くと、三角形ABCはBで直角です。次に三角形AECを考えると、AEは底面内でAを通るACに垂直なので、Aで直角です。図1のように、共通のACが2つの三角形をつなぎます。

図1では左に底面、右に立体内の三角形を分けています。右の三角形は立体から取り出したものなので、紙面での向きは元の見取図と異なってもかまいません。各頂点の名前を保てば、同じ線分ACを使っていることを追えます。直角の印は、図の見た目ではなく、長方形の性質と底面への垂直という条件に基づきます。

直角三角形では、直角をはさむ2辺の長さをa、b、直角の向かいの斜辺をcとすると、a² + b² = c²です。斜辺はその三角形で最も長い辺です。どの三角形を扱っているかによって、同じ線分でも役割が変わります。ACは底面の三角形では斜辺ですが、次の三角形では直角をはさむ辺になります。1回目の式を作ったら、その結果を2回目でどちら側に置くか、改めて直角を見ます。

正四角錐の底面の中心をO、頂点をP、底面の頂点の1つをAとします。POは底面への垂線ですから、底面内のOAと直角です。PAが側面の辺なら、三角形POAでPAが斜辺です。底面が正方形であることから、Oは対角線の交点であり、対角線を半分に分けます。底面の対角線は、正方形の隣り合う2辺を使って求められます。

箱の中を横切る線

基本例題

直方体ABCD-EFGHで、底面の長方形の辺AB = 3 cm、BC = 4 cm、高さAE = 12 cmです。EはAの真上にあります。対角線ECの長さを根号を使わず、cmで求めます。

図2のように、まず底面の三角形ABCを取り出します。ABとBCは長方形の隣り合う辺なので直角です。ACをx cmとすると、斜辺はACです。

x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x² = 25
x = 5

長さなので正の値を採用します。図2の次の三角形AECでは、AEが底面に垂直で、ACは底面にあるため、角EACは直角です。ECをy cmとすると、ECが斜辺です。

y² = 5² + 12²
y² = 25 + 144
y² = 169
y = 13

答えは13 cmです。底面へ戻すと、3² + 4² = 5²です。さらに5² + 12² = 13²ですから、求めた2本の線はそれぞれ元の底面と高さに合います。最初から3本の辺の二乗を足しても同じ数になりますが、その式は2つの直角三角形をつなげた結果です。途中を描けば、どの直角を使ったかが残ります。

標準例題

底面の1辺が6 cm、側面の辺が5 cmの正四角錐があります。頂点Pから底面への垂線の足をO、底面の頂点をAとします。高さPOをcmで求め、答えは根号を簡単にして表します。

底面の対角線をd cmとすると、正方形の隣り合う辺は直角です。

d² = 6² + 6²
d² = 72
d = 6√2

正方形の対角線は互いに中点で交わるので、OA = 3√2 cmです。POは底面に垂直で、OAは底面内にあるため、三角形POAはOで直角です。高さをh cmとし、斜辺PAが5 cmであることに注意します。

h² + (3√2)² = 5²
h² + 18 = 25
h² = 7
h = √7

答えは√7 cmです。高さは正なので負の平方根は採りません。底面の対角線は(6√2)² = 72で、6² + 6²に戻ります。また、(√7)² + (3√2)² = 7 + 18 = 25です。側面の辺の二乗に戻るので、元の5 cmという条件にも合います。

側面のどの線が与えられたか

発展示題

底面の1辺が8 cm、高さが3 cmの正四角錐があります。頂点をP、底面の中心をO、底面の頂点をA、Aを端とする底面の辺の中点をMとします。側面の辺PAと、側面の三角形の高さPMをそれぞれcmで求め、根号を簡単にします。

まずPAについて考えます。底面の対角線をd cmとすると、d² = 8² + 8² = 128ですから、d = 8√2です。Oはその中点なのでOA = 4√2 cmです。POは底面に垂直で、OAと直角です。PAをa cmとすると、次のようになります。

a² = 3² + (4√2)²
a² = 9 + 32
a² = 41
a = √41

次にPMを考えます。正方形の中心から辺の中点までの長さOMは、底面の1辺の半分で4 cmです。POは底面に垂直なのでOMとも直角です。PMをb cmとします。

b² = 3² + 4²
b² = 9 + 16
b² = 25
b = 5

したがってPAは√41 cm、PMは5 cmです。どちらもPから底面へ向かう線ですが、終点が異なります。Mは辺の中点なのでAM = 4 cmで、正四角錐の側面は二等辺三角形です。その頂点Pから底辺の中点Mへの線は底辺に垂直です。よって三角形PMAからもPM² + AM² = PA²となり、5² + 4² = 41で一致します。これは同じ立体を別の三角形から見た検査です。

分かれ目は、与えられた5 cmのような線が側面の辺なのか、側面の高さなのかという点です。前者は底面の頂点Aへ、後者は辺の中点Mへつながります。中心からAまでを使う式に、中心からMまでを使うべき数を混ぜると、別の三角形の辺を組み合わせてしまいます。名前と終点を図に書くと区別できます。

直角の場所を取り違えた答案

底面の1辺が10 cm、側面の辺が9 cmの正四角錐を考えます。頂点をP、底面の中心をO、底面の頂点をAとします。ある答案では、見取図で角PAOが直角に見えるとして、PO² = 9² + OA²としました。しかし、与えられた条件から直角といえるのは角POAです。図3のように、底面への垂線POと底面内のOAが直角であり、斜辺はPAです。

底面の対角線の半分は5√2 cmなので、正しくはPO² + (5√2)² = 9²です。したがってPO² = 31、高さは√31 cmです。元に戻すと31 + 50 = 81で、側面の辺9 cmに合います。誤った式では高さの二乗が81 + 50となり、高さが斜辺として与えた9 cmを超えます。直角の位置と長さの大小の両方から誤りに気づけます。

直角の条件が欠けたときの反例も考えます。底面上のOを通り、長さが同じでも底面に垂直でない線を立てることはできます。その先端とAを結ぶ三角形は、一般にはOで直角ではありません。「Oを通る」だけでは三平方の定理の式を作れません。底面に垂直という条件があるかを先に確かめます。

計算が途中で合わなくなったときも、根号の整理からやり直す前に三角形へ戻ります。斜辺に引き算をしていないか、底面の対角線全体と半分を混同していないかを調べます。途中の二乗が負になった場合は、正の長さの二乗にはならないので、辺の対応や与えられた条件を点検します。条件自体が矛盾していれば、その立体は作れません。

条件が合わない場合も、式は判断の手がかりになります。例えば底面の1辺が10 cmで側面の辺が7 cmだとすると、底面の中心から頂点までの長さの二乗は50、側面の辺の二乗は49です。高さの二乗は49 − 50 = -1となり、長さとして取れません。斜辺が直角をはさむ辺より短いという矛盾もあります。根号の中を無理に正に直さず、与えられた長さでは正四角錐が作れないと判断します。側面の辺が5√2 cmと等しい場合は高さが0となり、頂点が底面に重なるため、高さが正の立体にはなりません。

手を動かす5問

いずれも長さはcmで答え、根号を含む場合は簡単にしてください。直方体の高さは底面に垂直で、正四角錐の高さの足は正方形の中心です。

1. 直方体の底面の辺が5、12、高さが8です。底面の対角線と空間の対角線を求めます。
2. 直方体の底面の辺が2、3、高さが6です。空間の対角線を求めます。
3. 正四角錐の底面の1辺が4、側面の辺が6です。高さを求めます。
4. 正四角錐の底面の1辺が12、高さが8です。側面の辺を求めます。
5. 正四角錐の底面の1辺が6、側面の高さが5です。立体の高さを求めます。側面の高さは頂点と底面の辺の中点を結ぶ線です。

5問の答えと戻し方

1. 底面の対角線をx、空間の対角線をyとします。x² = 5² + 12² = 169よりx = 13、y² = 13² + 8² = 233よりy = √233です。答えは13 cm、√233 cmです。13²が底面の辺の二乗の和169に等しく、(√233)²が169 + 64に等しいので、両段階の条件に戻ります。

2. 底面の対角線をxとすると、x² = 2² + 3² = 13です。空間の対角線をyとすると、y² = 13 + 6² = 49、y = 7です。答えは7 cmです。底面の対角線は√13 cmで、13 + 36 = 49となり、高さ6 cmと対角線7 cmに戻ります。

3. 底面の対角線は√(4² + 4²) = 4√2 cm、その半分は2√2 cmです。高さをhとすると、h² + (2√2)² = 6²、h² = 28、h = 2√7です。答えは2√7 cmです。高さは正で、(2√7)² + (2√2)² = 28 + 8 = 36ですから、側面の辺6 cmに戻ります。

4. 底面の対角線の半分は6√2 cmです。側面の辺をaとすると、a² = 8² + (6√2)² = 64 + 72 = 136です。正の値をとり、答えは2√34 cmです。(2√34)² = 136で、底面の中心から頂点までの二乗72と高さの二乗64の和に一致します。

5. 底面の中心から辺の中点までは3 cmです。高さをhとすると、h² + 3² = 5²、h² = 16、h = 4です。答えは4 cmです。4² + 3² = 25なので、側面の高さ5 cmが復元できます。底面の頂点までの長さではなく、辺の中点までの長さを使う点に注意します。

残しておきたい3点

• 直角は見取図の印象でなく、面や辺の条件から決めます。
• 底面の三角形で得た線分を、立体内の次の三角形へ引き継ぎます。
• 斜辺と正の長さを確かめ、答えを元の辺や高さに戻します。

答案のどこに戻るか

お子さまが式を立てられないときは、最初に立体を描き直すより、求めたい線を含む三角形の3頂点を指でたどってみます。3辺のうち2辺が不明なら、その1辺を含む底面の直角三角形へ戻ります。式が立つものの答えが合わないときは、各行の斜辺と直角の位置を照らし合わせます。個別指導で確認するなら、図に印を付けた理由を言葉にしてもらい、底面の対角線を半分にする行や、二乗から正の長さを選ぶ行まで追います。線の終点と直角の根拠がそろえば、立体の中の道筋が見えてきます。