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中3数学相似比と面積比と体積比—拡大で長さが変わる回数から比を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学を単元ごとに掘り下げる中3

容器の形による違いから、面積と体積の変化を導く鍵は相似比です。

よくあるのは、形の異なる容器の高さを比べ、その比を3回かければ容量の比も出ると考える場面です。高さが2倍でも、底面の縦と横まで2倍とは限りません。どの長さが同じ割合で変わったのか、そもそも2つの容器は相似なのかを確かめると、使える比が見えてきます。面積と体積を求める前に、図形の形と、比べる順番を整理しましょう。

長さから面積へ、面積から長さへ

問われ方には大きく3つあります。1つ目は、相似な平面図形の対応する辺の比から面積の比を求める型です。2つ目は、相似な立体の長さの比から体積の比を求める型です。3つ目は、面積や体積の比から長さの比へ戻る型です。どの場合も、同じ順番で小さい図形と大きい図形を比べているかが出発点になります。

面積の単位はcm²、体積の単位はcm³です。辺が何cmかを問うときにはcmを付け、比を答えるときには単位を付けません。面積比を辺の比と取り違えると、数が簡単でも違う量を計算してしまいます。答えの大きさだけでなく、求める量を先に書くと、その違いを見分けられます。

相似は中3で学ぶ図形の内容です。ここでは拡大と縮小に伴う長さ、面積、体積の関係を扱います。立体についても、同じ形であることが与えられているか、または条件から示せるかを最初に確認します。

拡大の倍率は何回現れるか

相似な2つの図形では、対応する長さの比が一定です。この比を相似比と呼びます。例えば小さい図形から大きい図形へ、どの対応する長さも3/2倍になるなら、相似比は小さい方から2:3です。逆順なら3:2で、どちらも正しい表し方ですが、後に続く面積や体積の比の順序を変えてはいけません。

図1のように、小さい長方形の縦を2、横を3とし、縦横とも2倍にします。大きい長方形は縦4、横6です。小さい方の面積は2・3=6、大きい方は4・6=24なので、面積比は1:4です。長さが2倍になる操作が縦と横の2方向に現れるため、面積は2・2=4倍になります。

図1では縦と横を別々に2倍にしています。相似な三角形でも、対応する底辺とその高さがともに同じ倍率で変わるので、面積はその倍率を2回かけた大きさになります。三角形の面積に含まれる1/2は大小の両方に共通し、比を作るときに打ち消されます。一般の相似な平面図形についても、面積の比は相似比をそれぞれ2乗した比になります。

同じ考え方を直方体で見ると、縦、横、高さの3方向が同じ倍率で変わります。各方向が2倍なら体積は2・2・2=8倍です。相似な立体全般でも、体積比は相似比をそれぞれ3乗した比になります。相似比がa:bなら、面積比はa²:b²、体積比はa³:b³です。aとbは長さを表す正の数として考えます。

ここで「2乗」「3乗」は、面積と体積の単位の見た目に合わせるための暗記ではありません。拡大が面積では2方向、体積では3方向に効くことが理由です。ただし1辺だけの倍率から他の方向の倍率を決めるには、相似という条件が必要です。2つの立体に同じ長さの辺があることは、相似である証拠にはなりません。

基本例題：対応する面の広さ

相似な2つの三角形があります。小さい三角形と大きい三角形の対応する辺の長さはそれぞれ4 cm、6 cmです。小さい三角形の面積が20 cm²のとき、大きい三角形の面積を分数または整数で求めてください。

図2のように対応する辺を同じ順に並べると、相似比は4:6、つまり2:3です。面積比は、その順番を保ったまま2乗します。大きい三角形の面積をx cm²として、次のように計算します。

小さい辺:大きい辺 = 4:6 = 2:3
小さい面積:大きい面積 = 2²:3² = 4:9
20:x = 4:9
4x = 20・9
x = 180/4
x = 45

答えは45 cm²です。図2の面積の4に当たる量が20 cm²なので、比の1に当たる量は5 cm²です。大きい方の9に5をかけても45 cm²となります。45を元の条件に戻すと、20:45=4:9であり、与えられた辺の比2:3の2乗と一致します。

20に3/2をかけて30とすると、長さの倍率を1回しか使っていません。大きい図形では底辺だけでなく高さも3/2倍です。20・(3/2)・(3/2)=45と倍率を2回かければ、比を使った答えと一致します。どちらの計算でも、最初に相似であるという条件を使っています。

標準例題：立体の容量と残りの部分

相似な大小2つの直方体の箱があります。小さい箱の内側の縦、横、高さはそれぞれ2 cm、3 cm、4 cmで、大きい箱の対応する高さは6 cmです。大きい箱の内側の体積と、2つの内側の体積の差を、それぞれ分数または整数でcm³を単位として求めてください。

高さを小さい方から並べると4:6=2:3です。箱が相似なので、縦と横の対応する長さにも同じ比を使えます。小さい方の体積と体積比から、大きい方を求めます。

小さい箱の体積 = 2・3・4 = 24 cm³
相似比 = 2:3
体積比 = 2³:3³ = 8:27
大きい箱の体積 = 24・27/8 = 81 cm³
体積の差 = 81 - 24 = 57 cm³

答えは81 cm³と57 cm³です。確かめるため、大きい箱の内側の縦と横も求めます。対応する長さは3/2倍なので、縦は3 cm、横は9/2 cmです。高さ6 cmと合わせて3・(9/2)・6=81 cm³となり、箱の寸法に戻しても一致します。81から小さい箱の24を引けば、差も57 cm³です。

差を求めるとき、相似比の差3-2=1を3乗する方法は使えません。差は2つの体積をそれぞれ求めてから引きます。比の数で見ても、体積の差に対応するのは27-8=19であり、1³ではありません。この区別は容器が入れ子かどうかに関係なく、2つの体積の数値の差を求める際に必要です。

発展例題：面積比から相似比を逆算する

相似な大小2つの立体があります。対応する表面の全体の面積は、小さい方が54 cm²、大きい方が150 cm²です。小さい立体の体積が81 cm³のとき、大きい立体の体積を分数または整数でcm³を単位として求めてください。

まず面積比を小さい方から簡単にします。相似な立体では対応する各面が同じ倍率で拡大されるため、表面全体の面積もその倍率の2乗で変わります。面積比の各項を正の数の2乗として表せば、相似比が得られます。

表面積の比 = 54:150 = 9:25
9:25 = 3²:5²
相似比 = 3:5
体積比 = 3³:5³ = 27:125
大きい立体の体積 = 81・125/27
大きい立体の体積 = 375 cm³

答えは375 cm³です。長さは正なので、2乗して9と25になる正の数3と5を取ります。比の向きを逆にせず、面積比から長さの比へ戻してから3乗することが分かれ目です。面積比9:25をそのまま3乗すると、長さの変化を6回分使うことになります。

元の条件にも戻しましょう。相似比3:5なら表面積比は9:25で、54・25/9=150 cm²です。また375・27/125=81 cm³なので、小さい体積にも戻ります。別の見方では、小さい立体から大きい立体への長さの倍率は5/3です。81・(5/3)・(5/3)・(5/3)=375 cm³となり、同じ答えに着きます。

面積比が、例えば1:2のように整数の平方同士で表せない場合も、相似比は1:√2という正確な比で表せます。近似してから3乗すると誤差が生じるので、正確な値が必要なときは根号を保ちます。逆に体積比が8:27とわかるときは、8=2³、27=3³から相似比は2:3です。面積から戻るときと体積から戻るときでは、探す積の回数が違います。

容器の高さだけで体積を決めた答案を直す

図3のように、容器Aの内側を縦2 cm、横3 cm、高さ4 cm、容器Bを縦2 cm、横3 cm、高さ8 cmとします。両方とも直方体の容器です。「高さが1:2だから体積比は1:8」という答えは、計算の形が相似な立体の公式に似ていますが、この条件では成立しません。

図3で対応する縦と横の比は1:1、高さの比は1:2です。対応する長さの倍率がそろわないため、この2つの容器は相似ではありません。実際の容量を内側の寸法から求めると、Aは2・3・4=24 cm³、Bは2・3・8=48 cm³です。体積比は24:48=1:2であり、1:8ではありません。

誤答の原因は、高さに見つけた倍率を、示されていない縦と横にも当てはめたことです。修正するときは、まず対応する3方向の比を書き出します。そろわなければ相似比による3乗は使わず、与えられた寸法から各容器の体積を求めます。もし縦も横も高さも2倍にした相似な容器なら、3方向の変化によって初めて体積が8倍になります。

同じ失敗は面積にも現れます。縦が3倍で横が変わらない長方形の面積は3倍で、9倍ではありません。一方、縦と横の両方が3倍なら面積は9倍です。「何倍」という数字の前に、「何の長さが」「どの方向で」変わったのかを言葉にすると、条件不足を発見しやすくなります。

また、対応を逆に並べる誤りもあります。辺を小:大=2:5とした後で、面積を大:小=4:25と書くことはできません。4:25は小:大の順です。大:小で答えるなら25:4にし、問題文の順序へ戻して読んでみましょう。面積比の各項を辺の比と混ぜて比例式を立てる誤りも、量の名前を添えると見つけられます。

5つの確かめ問題

次の問題は、すべて与えられた条件のもとで考えます。比は指定された順に、長さ・面積・体積は分数または整数と単位を付けて答えてください。

相似な大小2つの五角形の相似比は小:大=3:4です。面積比を小:大の順に求めてください。
相似な2枚の三角形の面積は小さい方が14 cm²、大きい方が56 cm²です。小さい方の対応する辺が5 cmのとき、大きい方の辺の長さを求めてください。
相似な大小2つの模型の相似比は小:大=1:3です。大きい模型の体積が270 cm³のとき、小さい模型の体積を求めてください。
相似な2つの立体の体積比は小:大=64:125です。小さい立体の対応する長さが12 cmのとき、大きい立体の長さを求めてください。
直方体の容器Pの内側の縦、横、高さはそれぞれ3 cm、4 cm、5 cm、容器Qはそれぞれ6 cm、4 cm、10 cmです。PとQは相似か答え、内側の体積比をP:Qの順に求めてください。

考え方と答え

面積比は相似比の各項を2乗します。小:大=3²:4²=9:16です。小さい五角形の面積を9に当たる量と見れば、大きい方は同じ単位量の16個分です。辺の倍率4/3を面積に2回使うと16/9倍となり、9:16に戻ります。
面積比は14:56=1:4です。1=1²、4=2²より相似比は小:大=1:2です。大きい辺は5・2=10 cmです。戻して確かめると辺の比は5:10=1:2、その2乗は1:4です。小さい面積14 cm²を4倍すると、与えられた56 cm²になります。
体積比は小:大=1³:3³=1:27です。大きい模型の270 cm³が27に当たるので、小さい体積は270/27=10 cm³です。10・27=270 cm³と、与えられた大きい模型の体積へ戻せます。長さが3倍の模型を面積の倍率9倍で割ると、体積に必要な3方向目を落とします。
64=4³、125=5³なので相似比は小:大=4:5です。小さい長さ12 cmが比の4に当たり、比の1に当たる長さは12/4=3 cmです。大きい長さは3・5=15 cmです。12:15=4:5で、これを3乗した比は64:125です。与えられた体積比にも戻ります。
縦、横、高さをそれぞれP:Qで比べると、1:2、1:1、1:2です。Pの辺の長さは3、4、5で、Qは4、6、10です。相似ならそれぞれの最短辺と最長辺も同じ倍率で対応しますが、最短辺の比3:4と最長辺の比5:10が異なるため、辺の対応を入れ替えても相似ではありません。体積はPが3・4・5=60 cm³、Qが6・4・10=240 cm³です。したがって体積比は60:240=1:4です。Pの底面積は12 cm²、Qの底面積は24 cm²で、高さも2倍なので、体積が2・2=4倍になることを元の寸法から確認できます。