中3数学 相似と平行線の線分比—部分と全体の対応をそろえて長さを求める｜武蔵野個別指導塾

三角形を横切る平行線で、部分と全体の比を表に整理し、中点連結の逆までたどる線分比の道筋です。

よくあるのは、三角形の辺を平行線が横切る図で、上の部分と下の部分を比べていたはずなのに、途中から一方だけ辺全体の長さを使ってしまう場面です。数字を比例式に入れる前に、どの端点からどの端点までを測っているかを確かめると、式の意味が見えてきます。線分の和を使って、部分の比と全体を含む比を行き来しましょう。

要点（結論から）

• 平行なら、頂点側と残りの比、頂点側と全体の比をそれぞれ対応させます。
• 全体は頂点側と残りの和です。
• 2辺の分割比が等しければ、その2点を結ぶ線は残る辺に平行です。

どの長さを対応させるか

三角形の2辺を横切る線が残る1辺と平行なとき、上にできる小さな三角形と元の三角形は相似です。この関係から辺の長さを求める型があります。また、2辺が同じ割合に分けられていることから、逆に横切る線の平行を示す型もあります。もう1つは、2辺の中点を結び、平行と長さの両方を使う型です。

いずれも、図に書かれた数を順に並べるだけでは足りません。頂点から測った部分、残りの部分、辺全体のどれを使っているかを言葉にし、左右の辺で同じ種類をそろえることが到達点です。平行を仮定して比を求める場合と、比を仮定して平行を示す場合では、出発点が逆になります。

分割表で部分と全体を見渡す

三角形ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、DEとBCが平行であるとします。図1のように、頂点Aからの部分を上段、残りを中段、辺全体を下段に置きます。辺の長さは正なので、各比の分母が0になる心配はありません。

図1では、ADとAEがそれぞれ頂点側の部分、DBとECが残りの部分です。AB = AD + DB、AC = AE + ECという和が、部分と全体の橋渡しになります。比を書くときは、左の辺どうし、右の辺どうしという順序もそろえます。

DEとBCが平行なので、同位角より∠ADE = ∠ABC、∠AED = ∠ACBです。したがって、2組の角がそれぞれ等しいので、△ADEと△ABCは相似です。対応する頂点はAとA、DとB、EとCです。この順に並べると、AD : AB = AE : AC = DE : BCとなります。平行という条件が、対応する辺の比を等しくする根拠です。

さらにAD : AB = AE : ACから、ADとAEの比をそれぞれの全体から引いた残りにも適用できます。たとえばAD/AB = AE/AC = tと置けば、DB/AB = 1 − t、EC/AC = 1 − tです。よってAD : DB = AE : ECです。ここでは頂点側と残りを比べています。AD : DB = AE : ACとは書けません。右側の後項が残りから全体へ変わっているからです。

逆に、DとEがそれぞれ辺の内部にあり、AD : DB = AE : ECなら、AD : AB = AE : ACが得られます。Dを通ってBCに平行な直線とACの交点をE′とすると、平行線の性質からAD : AB = AE′ : ACです。仮定と合わせるとAE′ = AEなので、同じ辺上でAからの距離が等しいE′とEは一致します。したがってDEはBCに平行です。図の見た目から平行と判断せず、分けられた2辺の比を確認することが必要です。

DとEがそれぞれABとACの中点なら、AD : AB = AE : AC = 1 : 2です。上の逆の関係からDEはBCに平行になり、相似比からDE = BC/2です。これが中点連結定理です。反対に、1辺の中点を通り別の1辺に平行な直線が残る辺と交わるなら、その交点も中点になります。相似比が1 : 2になるためです。1つの中点と平行という両方の条件を確かめてから使います。

例題をまとめて考える

次の3題では、各点は指定された辺の内部にあります。長さの答えはcmを単位として、整数または分数で表してください。

基本

△ABCでDはAB上、EはAC上にあり、DEはBCに平行です。AD = 4 cm、DB = 6 cm、AE = 6 cmのとき、ECとACを求めてください。

標準

△PQRでSはPQ上、TはPR上にあり、STはQRに平行です。PS = 6 cm、PQ = 15 cm、TR = 9 cm、QR = 20 cmです。PTとSTを求めてください。

発展

△XYZでMはXY上、NはXZ上にあります。XM = 8 cm、MY = 12 cm、XN = 6 cm、NZ = 9 cm、YZ = 25 cmです。MNとYZが平行であることを示し、MNの長さを求めてください。続いて、NZが12 cmだった場合にも同じ結論が得られるか、理由を述べてください。

基本の表と比例式

図2のように、左の辺は頂点側が4、残りが6です。右の辺も頂点側の6に対応する残りを求めます。図2には全体の長さを直接書いていません。部分の和から求めることで、何を比べたかを追えるようにしています。

平行線による部分どうしの比を使うと、次のようになります。

4 : 6 = 6 : EC
4 × EC = 6 × 6
4 × EC = 36
EC = 9
AC = 6 + 9
AC = 15

答えはEC = 9 cm、AC = 15 cmです。元の条件へ戻すと、左の頂点側と全体の比は4 : 10 = 2 : 5、右は6 : 15 = 2 : 5です。残りも15 − 6 = 9 cmで、分割表と一致します。比が合うことと、求めた部分を足して全体になることの両方を見ます。

別の方法では、まずAB = 4 + 6 = 10 cmとし、相似な三角形の対応から4 : 10 = 6 : ACとします。これもAC = 15 cmを与えます。後からAEの6 cmを引けばECは9 cmです。どちらの式でも、頂点側と全体、または頂点側と残りを左右でそろえています。

標準は残りから全体へ戻す

STとQRが平行なので、△PSTと△PQRは相似です。対応順はP、S、TとP、Q、Rで、相似比はPS : PQ = 6 : 15 = 2 : 5です。したがって、PR全体を5等分したと見たとき、PTはその2つ分、残りのTRは3つ分に当たります。TR = 9 cmから、1つ分は3 cmです。

TR = 9
3つ分 = 9
1つ分 = 9 ÷ 3
1つ分 = 3
PT = 2 × 3
PT = 6
ST = 20 × 2/5
ST = 8

答えはPT = 6 cm、ST = 8 cmです。PR = 6 + 9 = 15 cmで、PT : PR = 6 : 15 = 2 : 5です。ST : QR = 8 : 20も2 : 5なので、与えられた残りと底辺の両方に戻して確かめられます。

比例式でも解けます。PTをx cmとすればPRはx + 9 cmです。6 : 15 = x : (x + 9)だから、6(x + 9) = 15x、54 = 9x、x = 6です。9をPRそのものとすると、残りと全体を取り違えます。式に入れる前に、xと9を足したものがどの線分かを図で指してみてください。

発展は平行を結論にする

XM : MY = 8 : 12 = 2 : 3で、XN : NZ = 6 : 9 = 2 : 3です。2辺が同じ比に分けられているので、平行線と線分比の関係の逆からMNはYZに平行です。平行とわかって初めて、△XMNと△XYZを相似として使えます。

XY = 8 + 12
XY = 20
XZ = 6 + 9
XZ = 15
XM : XY = 8 : 20
XM : XY = 2 : 5
MN : 25 = 2 : 5
MN = 25 × 2/5
MN = 10

MN = 10 cmです。XN : XZ = 6 : 15 = 2 : 5でもあり、MN : YZ = 10 : 25も2 : 5です。左右の辺と横切る線の比が、元の長さに戻して一致します。

別解では、まず頂点側と全体の比を直接比較します。8 : (8 + 12)と6 : (6 + 9)はともに2 : 5です。Mを通るYZの平行線がXZと交わる点をN′とすると、XM : XY = XN′ : XZです。XN′は15 × 2/5 = 6 cmなのでN′はNと一致し、MNはYZに平行です。この方法は、逆の関係の根拠を図に戻して説明できます。

NZが12 cmなら、XN : NZ = 6 : 12 = 1 : 2となり、XM : MYの2 : 3と一致しません。もしMNがYZに平行なら、2つの比は等しいはずですから、平行ではありません。この場合、先ほどの相似比を使ってMN = 10 cmと結論してはいけません。数が似ているかではなく、同じ区分の比が等しいかが分かれ目です。

混ざった比を直す

図3のようにAD = 3 cm、DB = 2 cm、AE = 6 cmでDEとBCが平行だとします。ECをx cmとしたとき、「3 : 2 = 6 : (6 + x)」という式は誤りです。左の後項は残りDB、右の後項は全体ACなので、区分が一致しません。

誤った式を解くとx = -2になりますが、辺の内部にあるEからCまでの長さとして負の値は使えません。これは見直しの手がかりです。ただし、誤った式から正の値が出ることもあるため、正負の確認だけで対応の正しさは保証されません。

残りどうしにそろえるなら3 : 2 = 6 : xです。3x = 12よりx = 4です。全体どうしなら3 : 5 = 6 : (6 + x)で、同じ答えに戻ります。3 : 5 = 6 : 10、また3 : 2 = 6 : 4となり、元の図の両方の区分に合います。

平行の条件がないときも注意が必要です。例えば同じ三角形の2辺上に、AD : DB = 1 : 1、AE : EC = 1 : 2となる点を取ると、比が異なるのでDEはBCに平行ではありません。図がほぼ平行に見えても、相似を先に決める理由にはなりません。逆に、1辺の中点を通るだけでは、もう1辺の交点は中点と限りません。平行があるか、2辺の比がそろうかを別々に確認します。

5問で対応を点検する

各点は指定された辺の内部にあります。長さはcmを単位として整数または分数で答え、平行を問う問題は理由も書いてください。

1. △ABCでDはAB上、EはAC上、DEはBCに平行です。AD = 5 cm、DB = 3 cm、AE = 10 cmのとき、ECとACを求めてください。
2. △PQRでSはPQ上、TはPR上、STはQRに平行です。PS = 4 cm、PQ = 10 cm、PR = 15 cm、QR = 12 cmのとき、PTとSTを求めてください。
3. △XYZでMはXY上、NはXZ上です。XM = 9 cm、MY = 6 cm、XN = 12 cm、NZ = 8 cmのとき、MNとYZは平行ですか。
4. △DEFでG、HはそれぞれDE、DFの中点です。EF = 18 cm、DG = 7 cm、DH = 5 cmのとき、GH、DE、DFを求めてください。
5. △JKLでMはJKの中点、NはJL上にあり、MNはKLに平行です。JL = 14 cm、KL = 16 cmのとき、JN、NL、MNを求めてください。

解答と戻し方

1. 5 : 3 = 10 : ECなので、5 × EC = 30、EC = 6 cmです。AC = 10 + 6 = 16 cmです。5 : 8と10 : 16はいずれも5 : 8で、頂点側と全体の対応に戻ります。
2. PS : PQ = 4 : 10 = 2 : 5です。PT = 15 × 2/5 = 6 cm、ST = 12 × 2/5 = 24/5 cmです。6 : 15と(24/5) : 12はともに2 : 5で、与えられた全体と底辺へ戻ります。
3. XM : MY = 9 : 6 = 3 : 2、XN : NZ = 12 : 8 = 3 : 2です。2辺の分割比が等しいため、逆の関係からMNはYZに平行です。全体を使っても9 : 15 = 12 : 20 = 3 : 5となり、条件と整合します。
4. 中点連結定理からGH = 18 ÷ 2 = 9 cmです。またDE = 7 × 2 = 14 cm、DF = 5 × 2 = 10 cmです。半分に戻すとDG = 7 cm、DH = 5 cm、GH = 9 cmとなり、与えられた中点とEFの長さに合います。
5. 中点を通る平行線なのでNもJLの中点です。JN = 14 ÷ 2 = 7 cm、NL = 7 cm、MN = 16 ÷ 2 = 8 cmです。7 + 7 = 14、8 × 2 = 16で、辺の全体と平行な辺の長さに戻ります。

要点を手元に

• 平行なら、頂点側と残りの比、頂点側と全体の比をそれぞれ対応させます。
• 全体は頂点側と残りの和です。
• 2辺の分割比が等しければ、その2点を結ぶ線は残る辺に平行です。
• 2辺の中点を結ぶ線は残る辺に平行で、長さはその半分です。
• 1辺の中点を通り残る1辺に平行な線は、もう1辺も中点で分けます。

答案のどこに戻るか

式の値が合わないときは、まず比例式の各項に線分名を書き添えます。AD : DBに対してAE : ACと置いていたら、表の「残り」と「全体」の行へ戻ると、混ざった場所を見つけられます。計算だけを繰り返すより、各線分の両端を図でたどるほうが原因を特定しやすくなります。

お子さまが比を作れても平行を示す理由を書けない場合、個別指導では仮定と結論を分け、平行を使うのか、比から平行を導くのかを答案の最初の行で確かめます。中点の問題なら、辺の半分という情報と平行という情報をそれぞれ指で示してもらいます。対応がそろった比例式は、図の線分を説明する言葉になります。