中3数学 円周角と中心角の関係—中心の位置で図を分け補助線の理由をたどる｜武蔵野個別指導塾

中心が円周角の外にあるとき、補助線でできる角を引く理由を図の配置から考えます。

よくあるのは、円の中心が円周角の外にあるのに、内部にある図と同じように小さな角を足してしまう場面です。補助線を引くことはできても、どの角が元の角を作るのかを見失うと、正しい定理を覚えていても証明がつながりません。円周角が見込む弧に印を付け、中心の位置に応じて和と差を選ぶところから始めます。

角の問題で先に見るもの

円周角の問題には、円周上の点から弧を見込む角を求める型と、中心から同じ弧を見込む角との関係を証明する型があります。さらに、中心が円周角の外にある図では、補助線でできた大きな角から小さな角を引く型が現れます。どの型でも、数を代入する前に角の両端と弧を指定することが出発点です。

目標は「中心角は円周角の2倍」という言葉を使うだけでなく、その2つが同じ弧を見込むと説明し、位置によって角の和または差を選べることです。証明では、円の半径が等しいことから二等辺三角形を作り、三角形の外角を使います。面積や長さを求める話へは広げません。

同じ弧を見込むとは

円周上に異なる3点A、B、Pをとります。Pを含まない方の弧ABを、角APBが見込む弧と呼びます。円周角の頂点は円周上のPで、2つの辺はそれぞれA、Bを通ります。中心OからA、Bへ引いた半径が作る角のうち、その弧に対応する方が中心角です。

図1のように、弧ABの選び方は中心角の大きさにも関わります。小さい方の中心角だけをいつも選ぶとは限りません。Pを含まない弧が半円より長ければ、対応する中心角は180°より大きく360°より小さい凹角です。半円なら中心角は180°です。弧の両端だけでなく、Pを含まない側を指定すると混同を防げます。

図1の円周角は∠APBで、色を付けた弧ABに対応します。OAとOBは半径なので等しく、OPも半径です。この等しさが、補助線を使って角を比べる根拠になります。中心角が凹角のときも、360°から小さい方の∠AOBを引いた角として考えれば、弧に対応する角を表せます。

中心が円周角の辺上にある場合をまず証明します。PとOを通る直線が円と再び交わる点をDとし、AはDと異なる円周上の点とします。OAとOPは等しいので、△OAPは二等辺三角形です。∠APOをaとすると∠OAPもaです。三角形の外角は、それに隣り合わない2つの内角の和ですから、∠AODはa + aで2aです。PDは直径であり、Dへ向かう半直線はPOと同じ向きなので、∠APDはaです。こうして弧ADについて中心角∠AODが円周角∠APDの2倍と示せました。

次に、中心が∠APBの内部にある場合です。直線POと円のもう一つの交点をDとします。半直線PDは角APBの内部を通り、弧ABを点Dで2つに分けます。辺上の場合を弧ADと弧DBにそれぞれ適用すると、∠AODは∠APDの2倍、∠DOBは∠DPBの2倍です。角APBも中心角AOBも、それぞれの小さい角の和です。よって和をとれば、中心角は円周角の2倍です。DがAやBと一致する境界は、すでに扱った辺上の場合です。

中心が外部にある場合も同じ直径PDを使います。たとえば半直線PAが、半直線PBとPDの間にある配置では、∠APBは∠BPDから∠APDを引いた角です。対応する弧ABの中心角も、弧BDの中心角から弧ADの中心角を引きます。2つの中心角はそれぞれ対応する円周角の2倍なので、差をとっても2倍の関係が残ります。左右が逆の配置ならAとBを入れ替え、やはり大きな角から小さな角を引きます。

円周角が直角のときはABが直径となり、対応する中心角は180°です。また円周角が直角より大きい場合、中心はその角の内部にあり、対応する弧は半円より長くなります。内部の場合の和は180°を超えることがあり、その和を凹角として読む点が要です。いずれも図の見た目で小さい角を選ばず、弧と角の対応を保ちます。

辺上の図から数を求める

基本例題。円の中心をOとし、P、A、Dは円周上の異なる点です。PDは直径、∠APDは37°です。∠AODを度数で求め、半径を使って理由も示してください。

標準例題。同じ円ではなく別の円で、中心をO、円周上の異なる点をP、A、B、Dとします。PDは直径で、半直線PDは∠APBの内部にあります。∠APDは24°、∠DPBは31°です。Pを含まない弧ABに対応する中心角を度数で求め、和になる理由を示してください。

図2のように、基本例題ではOAとOPを結ぶと二等辺三角形が現れます。図中の37°は円周角であり、中心に同じ37°を書き込むのではなく、底角を経て中心の外角を求めます。

基本例題の解答。OA = OPなので、△OAPの底角は等しく、∠OAP = ∠APO = 37°です。ODはOPの延長上にあるため、∠AODは△OAPの外角です。したがって、

∠AOD = ∠OAP + ∠APO
       = 37° + 37°
       = 74°

答えは74°です。元の図へ戻すと、∠AOPは180° − 74° = 106°で、三角形の3角は37°、37°、106°です。その和は180°となり、直径上の隣り合う角の和も180°です。

標準例題の解答。PDが角の内部にあるので、∠APB = 24° + 31° = 55°です。弧ADと弧DBについて辺上の場合を使うと、中心側の角はそれぞれ48°、62°です。DはPを含まない弧AB上にあるので、求める中心角は48° + 62° = 110°です。円周角55°の2倍も110°で、2つの部分を合わせた元の角と一致します。

ここで「内部だから何でも足す」と覚えると危険です。足す相手は、補助線で分けた元の角の2部分です。たとえば中心角の一方に外側の角を選んでしまうと、弧ABに対応しません。まずDがどの弧にあるかを言葉にしてから、角の和を作ります。

外側に中心があるときの差

発展例題。中心Oの円に、異なる円周上の点P、A、B、Dがあります。PDは直径で、半直線PAは∠BPDの内部にあります。Pを含まない弧BD上にAがあり、∠BPD = 63°、∠APD = 28°です。∠APBと、Pを含まない弧ABに対応する中心角を度数で求め、2つの求め方を比べてください。

解答。PAが角BPDの内部にあるため、元の円周角は差です。

∠APB = ∠BPD - ∠APD
       = 63° - 28°
       = 35°

弧BDに対応する中心角は63°の2倍で126°、弧ADに対応する中心角は28°の2倍で56°です。弧ABは弧BDから弧ADを除いた部分ですから、中心角は126° − 56° = 70°です。別の見方では、円周角35°に定理を直接使って35°の2倍の70°です。定理を使う方法は短く、2つの中心角を引く方法は外部配置で差になる理由を示します。答えを元の条件へ戻すと、35° + 28° = 63°、70° + 56° = 126°で、円周側と中心側の分割がそれぞれ一致します。

この配置では、中心Oは半直線PD上にあり、PAがPBとPDの間にあるため∠APBの外にあります。中心が外という言葉だけで差の順序を決めず、どちらの角が他方を含むかを見ます。図を左右反転しても、大きい方から小さい方を引くという関係は変わりません。

足してしまった答案を直す

図3のように外部配置で、∠BPD = 63°、∠APD = 28°のとき、誤って∠APB = 63° + 28° = 91°とする答案を考えます。図の2つの角は互いに独立して並んでいるのではなく、小さい角が大きい角に含まれています。91°は元の大きな角63°を超えるので、部分としての∠APBにはなれません。

修正には、∠BPDを∠BPAと∠APDに分ける一行を先に書きます。そこから∠BPA = 63° − 28° = 35°と戻せます。中心角についても126°を56°と70°に分ければ、同じ弧の分割を表せます。図3の色のついた2つの部分は、和の対象ではなく、全体とその一部です。

もう1つの誤りは、弧の指定をせず常に小さい中心角を2倍の相手とすることです。たとえば円周角が110°なら、同じ弧に対応する中心角は220°です。小さい方は140°で、110°の2倍ではありません。220° + 140° = 360°と一周へ戻すと、別の弧に対応する角を取り違えたことがわかります。

「同じ弦ABの端を使えば、円周角は常に等しい」という主張も条件不足です。弦の反対側に頂点があれば、見込むのは互いに異なる弧です。たとえば一方の円周角が40°なら、反対側の円周角は140°になり、等しくありません。弦の名前に加えて、頂点を含まない弧を指定してください。

5つの図を頭の中で描く練習

次の問題の点は、それぞれ同じ円の円周上にあり、Oはその中心です。角の大きさは度数で答え、弧は指定された頂点を含まない方を選びます。問題を一通り読んでから解答を見てください。

1. PDを直径とし、∠APD = 19°です。弧ADに対応する中心角を求め、二等辺三角形を使う理由を書いてください。
2. PDを直径とし、半直線PDは∠APBの内部にあります。∠APD = 17°、∠DPB = 26°です。∠APBと弧ABに対応する中心角を求めてください。
3. PDを直径とし、半直線PAは∠BPDの内部にあり、AはPを含まない弧BD上にあります。∠BPD = 72°、∠APD = 23°です。∠APBと弧ABに対応する中心角を求めてください。
4. ∠APB = 125°です。Pを含まない弧ABに対応する中心角と、残る方の中心角をそれぞれ求めてください。
5. Pを含まない弧ABに対応する中心角が156°です。∠APBを求め、半径が等しいことからこの関係を証明する際の補助線と、中心が角の外にあるときの操作を書いてください。

解答と確かめ

1. OA = OPより△OAPの底角は等しく、∠OAPも19°です。∠AODはその外角なので19° + 19° = 38°です。残る∠AOPは142°で、19° + 19° + 142° = 180°となります。

2. 内部の半直線で分けるので∠APB = 17° + 26° = 43°です。部分の中心角は34°と52°で、和は86°です。元の2部分に戻すと34° + 52° = 86°、円周角43°の2倍とも一致します。

3. 含まれる角を引いて∠APB = 72° − 23° = 49°です。中心角は144° − 46° = 98°です。49° + 23° = 72°、98° + 46° = 144°と戻り、与えられた全体を復元します。

4. 対応する中心角は125°の2倍で250°、残る方は360° − 250° = 110°です。250°は凹角で、残る角と合わせて一周になります。小さい方の110°を対応する角として使うと、125°の2倍という条件に戻りません。

5. ∠APB = 156° ÷ 2 = 78°です。78°の2倍は156°で、指定の中心角に戻ります。PとOを結び、その直線を円まで延ばして直径を引きます。半径が等しい二等辺三角形から辺上の場合を示し、外部配置では大きい円周角から小さい円周角を引き、対応する中心角も同じ順に引きます。

覚えておく4行

• 円周角は頂点を含まない弧を見込み、中心角も同じ弧に対応させます。
• 半径が等しい二等辺三角形と外角から、辺上の配置を証明します。
• 中心が内部なら補助線で分けた角を足し、外部なら含まれる角を引きます。
• 対応する中心角は凹角になることもあり、円周角の2倍です。

答案のどこから戻るか

お子さまが定理を覚えているのに角度が合わないときは、まず答案に書いた弧が円周角の頂点を含んでいないかを見ます。弧が正しければ、補助線を引いた行へ戻り、元の角が和なのか差なのかを指でたどります。計算結果だけを直しても、次の配置で同じ誤りが残ることがあります。

個別指導で確かめるなら、中心が辺上の図で「どの2辺が半径か」を説明してもらい、次に外部の図で大きな角とその一部に印を付けます。保護者が家庭で答案を見る場合も、数値より先に弧と補助線の位置を尋ねると、根拠の抜けた行を見つけやすくなります。見込む弧が決まれば、角の和と差も図に沿って選べます。