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中3数学相似を使う証明—必要な三角形を選び角の根拠から結論までつなぐ｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学を単元ごとに掘り下げる中3

砂時計型の図から対頂角と錯角を取り出し、相似の証明を辺の比へつなげます。

よくあるのは、上下に向かい合う三角形を見て、見た目の向きが同じ頂点を対応させてしまう場面です。砂時計のように交わる線を含む図では、上の左端と下の右端が対応することもあります。図を回して眺めるだけで決めず、等しい角の理由を言葉にして順序を決めます。相似の証明から対応する辺の比へ進み、長さを求めた後に元の条件へ戻すところまで追います。

結論から三角形を選ぶ

相似の問題には、2つの三角形が相似であることを示す型、指定された線分の比を証明する型、その比を使って長さを求める型があります。どの型でも、まず結論にある線分を見ます。たとえば AO と OC の比を使いたいなら、それぞれを辺に持つ三角形を探します。次に別の比に出る辺も同じ2つの三角形に入るかを調べます。

選んだ後は、相似を結論にするのに使える等しい角を探します。交点には対頂角、平行な2直線を横切る線には錯角や同位角が現れます。ただし、平行が仮定にないのに線が平行に見えるという理由だけで錯角を等しいとはできません。図は情報を探す助けですが、根拠は仮定や既に証明した事実に置きます。

長さを求める問題でも、最初から数字を比に並べると、対応を間違えた理由が見えなくなります。相似な三角形の順序を先に書き、その順に辺を取り出します。証明の段階と計算の段階を分ければ、どこで誤ったかをたどれます。

交点を軸に対応を決める

図1では、線分 AC と BD が O で交わり、AB と CD は平行です。A、O、C はこの順に一直線上にあり、B、O、D もこの順に一直線上にあります。考える三角形は上側の AOB と下側の COD です。O を挟んで向きが逆になるため、左側に描かれた A と右側に描かれた C が対応します。

図1のように、∠AOB と ∠COD は対頂角なので等しくなります。また AB と CD が平行で、AC がそれらを横切るので、錯角 ∠BAO と ∠DCO は等しくなります。2組の角がそれぞれ等しいことから、2つの三角形は相似です。残った B と D も対応し、相似を表す順序は △AOB ∽ △COD となります。

この表記は、A と C、O と O、B と D が順番に対応するという約束です。したがって AO と CO、OB と OD、AB と CD が対応する辺です。角が等しいことを確認せずに、同じ位置に見える A と D を対応させると、比は別の辺を結び付けてしまいます。

辺の比を書くときは、たとえば AO:CO = OB:OD = AB:CD です。どの比も前半が上側、後半が下側です。逆向きの CO:AO に直すことはできますが、その場合は他も OD:OB、CD:AB と逆向きにそろえます。1組だけを逆にする操作はできません。

∠BAO と ∠DCO を等しいと述べるとき、平行線だけでなく、AC がそれを横切るという位置関係が必要です。線分の端点の並びが変わった図では、選ぶ角が錯角になるかを改めて調べます。対頂角も、2本の直線が交わっていることから説明します。交点の角を見つけても、隣り合う角を対頂角と呼んではいけません。

基本例題：比までつなぐ

線分 AC と BD が点 O で交わり、A、O、C と B、O、D はそれぞれこの順に一直線上にあります。AB と CD は平行です。AO = 6 cm、CO = 9 cm、BO = 4 cm とします。△AOB と △COD が相似であることを証明し、DO の長さを分数または整数で求めてください。

図2のように、まず求めたい DO を辺に持つ △COD を見ます。BO を含む △AOB と組にすると、共通の交点と平行線を利用できます。相似を先に証明し、角の対応を辺の対応へ引き継ぎます。

図2の2つの三角形について、証明を文章で書くと次のようになります。

△AOB と △COD において、対頂角は等しいので、∠AOB = ∠COD。 AB と CD は平行なので、錯角が等しく、∠BAO = ∠DCO。 2組の角がそれぞれ等しいので、△AOB ∽ △COD。

最後の行は、相似条件と対応する頂点の順序をまとめています。相似条件の前に2組の等しい角を置いたので、なぜ相似といえるかを読み手が追えます。対応順から AO と CO、BO と DO が対応します。DO = x cm とおくと、次の式です。

AO:CO = BO:DO
6:9 = 4:x
6x = 9・4
6x = 36
x = 6

答えは 6 cm です。元の図に戻すと、AO:CO = 6:9 = 2:3、BO:DO = 4:6 = 2:3 です。上下の対応する辺の比が一致し、正の長さという条件にも合います。比が一致することは計算の点検であり、平行線と角を用いた相似の証明の代わりではありません。

標準例題：結論の比を先に見る

線分 PR と QS が点 T で交わり、P、T、R と Q、T、S はそれぞれこの順に一直線上にあります。PQ と RS は平行です。PT = 8 cm、TR = 12 cm、RS = 15 cm とします。PQ:RS = PT:TR を証明し、PQ の長さを分数または整数で求めてください。

結論の PQ と PT は △PTQ の辺、RS と TR は △RTS の辺です。そこで △PTQ と △RTS を比べます。頂点の名前は基本例題と違っても、交点を挟んだ角と平行線に着目する方針は同じです。

△PTQ と △RTS において、対頂角より ∠PTQ = ∠RTS です。また PQ と RS が平行なので、錯角より ∠TPQ = ∠TRS です。2組の角がそれぞれ等しいので、△PTQ ∽ △RTS です。対応する辺の比は等しいため、PQ:RS = PT:TR です。これで指定された比まで示せました。

PQ = y cm とすると、y:15 = 8:12 です。内項と外項の積を等しくして、12y = 15・8、12y = 120、y = 10 です。したがって PQ は 10 cm です。もとの条件で PQ:RS = 10:15 = 2:3、PT:TR = 8:12 = 2:3 と照合できます。平行な辺同士が対応することも、三角形の順序から確かめます。

この例では、長さの計算に使う辺の比が結論に書かれています。それでも、その比が成り立つ根拠は相似です。最初に相似の証明を置くことで、比の等式が図の印象から出てきたものではないと示せます。逆に、結論に現れない辺を含む三角形を選ぶと、そこから目的の比を取り出せるかをさらに説明しなければなりません。

発展例題：平行がある場合とない場合

線分 EG と FH が点 O で交わり、E、O、G と F、O、H はそれぞれこの順に一直線上にあります。EF と GH は平行、EO = 5 cm、OG = 10 cm、FH = 21 cm です。△EOF と △GOH が相似であることを証明し、FO と OH の長さをそれぞれ分数または整数で求めてください。

求めたい2つの長さは線分 FH を分ける部分です。まず、対頂角より ∠EOF = ∠GOH、平行線の錯角より ∠FEO = ∠HGO です。2組の角がそれぞれ等しいので、△EOF ∽ △GOH です。対応順により EO:OG = FO:OH となり、FO:OH = 5:10 = 1:2 です。

FO = z cm とおくと、O は F と H の間にあるので OH = 21 − z cm です。ここで全体の 21 cm を OH と取り違えないことが分かれ目です。

z:(21 - z) = 1:2
2z = 21 - z
3z = 21
z = 7
21 - z = 14

FO = 7 cm、OH = 14 cm です。元の線分に戻すと 7 + 14 = 21 cm であり、FO:OH = 7:14 = 1:2 です。どちらも正で、O が F と H の間にある条件にも合います。

別の見方では、比の 1 と 2 を合わせた 3 を等しい部分の数と考えます。全体 21 cm を 3 等分した1つ分は 7 cm ですから、FO は 7 cm、OH はその2つ分の 14 cm です。文字を使う方法は和と比の関係を式で示し、等分する方法は全体を分ける構造を見せます。どちらも、相似を証明して比を得た後に使います。

一方、EF と GH が平行という条件を取り除くと、対頂角が等しいことは残りますが、上記の錯角の等しさは保証されません。EO:OG が 1:2 という情報だけでは FO:OH を 1:2 と結論できません。全体の長さが与えられていても、交点がどこにあるかを自由に変えられるからです。使えない条件を自分で補わないことが、場合の分かれ目です。

誤答を角の行まで戻す

図3は、平行の仮定を外した砂時計型です。上の底辺と下の底辺は平行ではありません。それでも交点にある対頂角は等しいため、1組の角の等しさは残っています。そこで「対頂角が等しいから △AOB ∽ △COD」と書く誤答を考えます。

図3のように、対頂角の1組だけでは三角形の形は決まりません。たとえば交点を原点とし、A、C を横線上、B、D を縦線上の反対側に取ります。AO = CO = BO = 1、DO = 2 とすると、交点の角はどちらも直角です。しかし交点を対応させるなら、AO:CO = 1:1 に対して BO:DO = 1:2 で、対応する2辺の比が一致しません。この例は、1組の角だけでは相似を保証できないことを示します。

原因は、必要な2組目の角の根拠を飛ばしたことです。修正するときは、仮定に平行があるか、または別に等しい角が与えられているかを探します。平行があれば、どの直線を横切る線と見るかを明示して錯角を挙げます。どちらの情報もなければ、相似だと証明できるとは限らず、条件不足として止めます。

もう1つの誤りは、相似そのものは正しいのに △AOB ∽ △DOC と順序を書くことです。図1で根拠からわかる対応は A と C、B と D です。順序を修正せずに AO:DO = BO:CO と計算すれば、異なる辺を対応させます。等角の組に印を付け、相似の式の同じ位置に書き直してから、辺の比へ進みます。特殊な長さで偶然比が合っても、誤った対応を一般の証明として使うことはできません。

練習：証明と長さを分けて考える

次の各問で、交点はそれぞれ指定された線分の内部にあります。長さは分数または整数で、単位を付けて答えてください。必要な証明は角の根拠から書きます。

AC と BD が O で交わり、A、O、C と B、O、D はそれぞれこの順です。AB と CD は平行です。△AOB と △COD が相似であることを証明してください。
同じ配置で AB と CD は平行、AO = 10 cm、CO = 15 cm、BO = 8 cm です。DO を求めてください。
PR と QS が T で交わり、P、T、R と Q、T、S はそれぞれこの順です。PQ と RS は平行、PT = 9 cm、TR = 6 cm、PQ = 12 cm です。RS を求めてください。
EG と FH が O で交わり、E、O、G と F、O、H はそれぞれこの順です。EF と GH は平行、EO = 4 cm、OG = 7 cm、FH = 33 cm です。FO と OH を求めてください。
AC と BD が O で交わり、A、O、C と B、O、D はそれぞれこの順です。AO = 3 cm、CO = 6 cm、BO = 5 cm、DO = 7 cm です。AB と CD が平行である可能性を、相似を使って判断してください。

練習の解答と見直し

△AOB と △COD において、対頂角より ∠AOB = ∠COD です。AB と CD は平行なので、錯角より ∠BAO = ∠DCO です。2組の角がそれぞれ等しいので、△AOB ∽ △COD です。A と C、O と O、B と D がこの順で対応します。
問1と同じ角の根拠で △AOB ∽ △COD です。DO = x cm とおくと、対応する辺より 10:15 = 8:x です。10x = 15・8 = 120 なので、x = 12 です。答えは 12 cm です。10:15 と 8:12 はともに 2:3 であり、図の上下の辺に戻しても一致します。
対頂角と平行線の錯角から △PTQ ∽ △RTS です。対応する辺より PT:TR = PQ:RS です。RS = x cm とすると、9:6 = 12:x、9x = 72、x = 8 です。答えは 8 cm です。9:6 = 12:8 = 3:2 と、与えられた2つの辺と求めた辺を照合できます。
対頂角と錯角により △EOF ∽ △GOH です。FO:OH = EO:OG = 4:7 です。全体の比の和は 11、33 cm を 11 等分した1つ分は 3 cm です。したがって FO = 12 cm、OH = 21 cm です。和は 12 + 21 = 33 cm、比は 12:21 = 4:7 となり、両方の条件に戻ります。
仮に AB と CD が平行なら、問1と同様に △AOB ∽ △COD となり、AO:CO = BO:DO のはずです。しかし与えられた長さでは 3:6 = 1:2、5:7 は 1:2 ではありません。したがって平行である可能性はありません。これは平行を仮定したときに必要な比と、実際の比が矛盾することを用いた判断です。平行でない図でも対頂角は等しいので、それ自体は矛盾しません。