中3数学 二次方程式の解法の選択—整理後の形から計算量と検算方法を比べる｜武蔵野個別指導塾

平方を残す解法と展開後の因数分解を比べ、分数や小数を整数化する理由も含めて、式に応じた方法を選びます。

よくあるのは、(x − 2)² = 9を見て、まず左辺を展開する場面です。展開しても解けますが、括弧の中を一まとまりと見れば、その二乗が9であることからすぐに次の行へ進めます。どちらが正しいかではなく、どの形にすると条件を見落とさず、計算を短く追えるかが選択の焦点です。

二次方程式は、中学校学習指導要領解説数学編の第3学年の範囲に含まれます。ここでは式の解法と検算に絞り、長さなどの条件を式にする文章題には立ち入りません。

最初の形と整理した後の形

出方の1つは、平方の形がすでに見えている式です。(x − 2)² = 9なら、括弧の値は3または-3です。先に展開する必要があるか、式を動かす前に考えます。平方が1つで、右辺が正か0かも確認します。

2つ目は、右辺を0にして積の形へ直せる式です。x² − 5x + 6 = 0では、積が6、和が-5となる数を探すと因数分解できます。積が0になる条件から、それぞれの因数を0と置きます。数の組がすぐに見えるかどうかが選ぶ手がかりです。

3つ目は、分数や小数が混じり、最初の見た目では係数を比べにくい式です。両辺に同じ0でない数をかけて整数係数にすれば、因数分解できる形が見えることがあります。すぐに組が見つからないときは、平方の形へ整える方法や解の公式を選べます。

到達点は、正解を出すことに加え、「この形ならどの操作から始めると見通しがよいか」を1行で説明できることです。計算が短い方法は問題によって変わります。最初に選んだ方法で分数が増えたら、途中で元の式に戻り、別の方法を試してもかまいません。

形を見て候補を分ける

二次方程式は、整理するとax² + bx + c = 0の形になる方程式です。a、b、cは数で、aは0ではありません。方程式の解は、代入すると元の等式が成り立つ数です。変形後の式に合うことを確かめるだけでなく、最後に最初の式の左右へ戻します。

図1のように、まず平方の形が残っているか、次に0を右辺にしたときに積へ分けやすいかを見ます。どちらも選びにくければ解の公式が候補です。これは必ず通る一本道ではなく、見通しを立てるための順番です。

図1で「平方」は、例えば(x + 1)² = 16のように、同じ式の二乗が単独で残った形です。括弧の値を4または-4と置き、そこからxを求めます。右辺が0なら括弧の値は0だけです。右辺が負なら、実数の二乗は0以上なので、実数の解はありません。

「積」は、例えば(x − 1)(x + 4) = 0の形です。2つの数の積が0なら、少なくとも一方が0です。したがってx − 1 = 0またはx + 4 = 0と分けます。逆に、どちらかが0なら元の積も0なので、この分岐は解を漏らさず拾います。

解の公式は、ax² + bx + c = 0に整理し、係数を符号ごと取り出して使います。公式は次の形です。

x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)

根号の中が0以上の場合に、この式から実数の解を求められます。負の場合には、実数の範囲で解がありません。係数が分数でも使えますが、先に整数化すると符号や分母を見分けやすい場合があります。整数化は両辺に同じ0でない数をかける操作です。元へ戻すにはその数で割れるので、解は増減しません。

基本：平方を残す2通りの道

次の方程式を解き、答えを整数で表します。平方の形を使う方法と、展開して因数分解する方法を比べます。

(x - 2)² = 9

図2のように、平方の形を残すと、まず括弧の値を2つに分けます。9の平方根は3と-3なので、次のようになります。

x - 2 = 3 または x - 2 = -3
x = 5 または x = -1

もう一方では左辺を展開し、右辺を0にしてから積を作ります。

x² - 4x + 4 = 9
x² - 4x - 5 = 0
(x - 5)(x + 1) = 0
x - 5 = 0 または x + 1 = 0
x = 5 または x = -1

両方の道で同じ2つの解に着きました。最初の方法は展開と因数分解を省けます。後の方法にも、積の形から解の候補を整理しやすい利点があります。ただし、平方がすでに単独であるこの式では、括弧の値を直接求める方が短いと説明できます。

元の式へ戻して確かめます。x = 5のとき左辺は(5 − 2)² = 9、x = -1のとき左辺は(-1 − 2)² = 9で、どちらも右辺と等しくなります。2つの候補を別々に代入することで、負の符号の取り違えも見つけられます。

標準：小数を整数に直して選ぶ

次の方程式を解き、答えを整数で表します。

0.5x² - 2.5x + 3 = 0

小数のまま解の公式に入れることもできますが、両辺を2倍すると係数が整数になります。0も2倍して0のままです。

x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0
x - 2 = 0 または x - 3 = 0
x = 2 または x = 3

整数化した後、積が6で和が-5の組は-2と-3だと見えます。この組が見つかるので、ここでは因数分解を選びました。2倍する前の形だけで公式を選ぶ必要はありません。

元の小数の式で確かめます。x = 2では0.5・4 − 2.5・2 + 3 = 2 − 5 + 3 = 0です。x = 3では0.5・9 − 2.5・3 + 3 = 4.5 − 7.5 + 3 = 0です。どちらも元の右辺0に戻ります。両辺を2倍した式で確かめた後も、最初の小数の位置を見直すと、整数化の行自体の誤りを検出できます。

たとえば右辺が0でない場合も、両辺を同じ数だけ倍にします。左辺の小数だけを消して右辺をそのままにすると、別の方程式になります。分母を払うときも同様で、1つの項だけではなく両辺の各項にかけることが必要です。

発展：公式と平方の形を比べる

次の方程式を解き、答えを根号を用いて表します。2つの方法を比べ、元の式へ戻します。

2x² + 4x - 1 = 0

整数の組を探しても因数分解が見えにくいため、まず平方の形に整えます。2で割ってから、xの係数4/2の半分である1の二乗を両辺に加えます。

x² + 2x - 1/2 = 0
x² + 2x = 1/2
x² + 2x + 1 = 3/2
(x + 1)² = 3/2
x + 1 = ±√6/2
x = -1 ± √6/2

√(3/2) = √6/2です。右辺が正なので、括弧の値には正負の2通りがあります。片方だけを選ぶ根拠はありません。

解の公式ではa = 2、b = 4、c = -1です。負の定数項を符号ごと代入します。

x = (-4 ± √(4² - 4・2・(-1)))/4
x = (-4 ± √24)/4
x = (-4 ± 2√6)/4
x = -1 ± √6/2

平方に整える方法は、左右へ同じ数を加える理由を追えます。公式は係数を決めた後の手順が一定ですが、符号と分母の括弧に注意が要ります。この例ではどちらでも同じ厳密な値になり、選択は計算を追いやすいかで決められます。

検算には、最初の式を2(x + 1)² − 3 = 0と見直す方法があります。どちらの解でもx + 1は±√6/2で、その二乗は6/4 = 3/2です。したがって左辺は2・3/2 − 3 = 0となり、元の右辺に等しくなります。二乗と代入で確かめたので、近似値に頼る必要はありません。

解がない形と、途中の落とし穴

平方の形にした右辺が負なら、実数の解はありません。例えば(x + 3)² = -4では、どの実数をxに入れても左辺は0以上です。右辺-4と一致しないためです。これは計算を途中でやめたという意味ではなく、実数の範囲で条件を満たす数が存在しないという結論です。

一方、右辺が0の(x + 3)² = 0ではx + 3 = 0なのでx = -3です。右辺が正なら正負2通り、0なら1つ、負なら実数解なしです。右辺の符号が変わると結論も変わることを、平方の値の範囲から判断します。

図3の誤答は、(x − 2)² = 9からx − 2 = 3だけを取り出す例です。3の二乗も-3の二乗も9になります。図3のように両方へ分ければ、x = -1も残ります。

原因は「√9 = 3」と「二乗して9になる数」を混同することです。√9は正の数3を表しますが、二乗して9になる数は3と-3です。修正したら、それぞれを元の括弧に代入して9になるか調べます。正の候補が合うことだけでは、負の候補を捨ててよい理由にはなりません。

別の誤りは、x² = 4xの両辺をxで割ってx = 4だけとすることです。xが0の場合、0で割る操作はできません。移項してx(x − 4) = 0とすればx = 0または4です。0を元の式に代入すると左右とも0なので、割る前に失われた解だとわかります。文字で割る前には、その文字が0である可能性を別に調べます。

公式の失敗も、元の行からたどれます。例えば2x² + 4x − 1 = 0ではc = -1です。cを1として代入すれば根号の中が別の数になり、別の方程式を解くことになります。係数を書き出した行と元の項を照合し、最後に得た値を元の式に戻します。

5問で選択を試す

次の5問は、まず形を見て解法を選び、理由を短く書いてから解いてください。答えの形は各問に指定します。

1. (x + 4)² = 25を解き、整数で答えてください。
2. x² + 7x + 10 = 0を解き、整数で答えてください。
3. (1/3)x² − (5/3)x + 2 = 0を解き、整数で答えてください。
4. x² − 2x − 2 = 0を解き、根号を用いて答えてください。
5. (x − 5)² + 2 = 0を実数の範囲で解いてください。解がなければその理由を書いてください。

答えと戻し方

1. 平方が残っているので、展開せずに括弧の値を求めます。

x + 4 = 5 または x + 4 = -5
x = 1 または x = -9

元の左辺は、順に(1 + 4)² = 25、(-9 + 4)² = 25です。どちらも右辺に合います。負の方も括弧全体に代入すると符号を確認できます。

2. 積が10、和が7の組を使い、因数分解します。

(x + 2)(x + 5) = 0
x = -2 または x = -5

元の左辺は、x = -2で4 − 14 + 10 = 0、x = -5で25 − 35 + 10 = 0です。積と和の両方を調べると、符号の異なる組を誤って選ぶことを防げます。

3. 分母を払って形を見ます。両辺を3倍するので、解は変わりません。

x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2 または x = 3

元の左辺はx = 2で4/3 − 10/3 + 2 = 0、x = 3で9/3 − 15/3 + 2 = 0です。整数化した行だけでなく分数のある最初の行に戻し、各項に3をかけたか確かめます。

4. 平方に整えると、正負の2つが見えます。

x² - 2x = 2
x² - 2x + 1 = 3
(x - 1)² = 3
x = 1 ± √3

元の左辺は(x − 1)² − 3と同じです。どちらの解でもx − 1は±√3で、二乗は3ですから、左辺は0になります。解の公式でもa = 1、b = -2、c = -2を入れれば同じ答えです。

5. 移項すると(x − 5)² = -2です。実数の二乗は0以上なので、左辺が-2になることはありません。したがって実数の解はありません。平方の形を残すと、候補を無理に計算する前に結論を出せます。

手元に残す要点

• 平方の形が残るなら、括弧全体の値を正負に分けます。
• 右辺を0にして積へ分けやすければ、因数分解を選びます。
• 分数や小数は、両辺を同じ0でない数で倍して見直せます。
• 平方が負に等しいときは実数解がなく、0に等しいときは1つです。
• 解は元の式の左右に戻し、両方の候補を確かめます。

答案のどこを見るか

お子さまが解法を決められないときは、計算の速さより、最初に式のどこを見たかを尋ねます。平方が残っているのに展開した答案なら、その行の前へ戻り、括弧全体を1つの数として扱えるかを確かめます。展開した方法も成立するので、2つの行数と符号の扱いを比べると選択の理由が具体的になります。

候補が1つしかない答案では、平方根を取った行に正負があるか、または文字で割った行に0の可能性が残るかを調べます。個別指導で確かめる箇所も、その生徒の答案の分岐と元の式への代入です。解法を選ぶ目は、元の形と戻した結果を往復すると育ちます。