中3数学 二次方程式の解の公式—係数の符号と分母の範囲を確かめて代入する｜武蔵野個別指導塾

負の係数を括弧に入れる理由から、根号の整理と重解の確かめ方まで、代入の一行から読み解くのが解の公式です。

よくあるのは、負の係数を公式に入れた後、括弧を付けずに二乗して符号を間違える場面です。係数は数字だけでなく符号も含めた数です。式を急いで書き換えると、元の負号と公式にある負号のどちらを扱っているのかが見えにくくなります。代入した行を残し、二乗する範囲と分母に入る範囲を確認すれば、どの行で計算が変わったかを追えます。

どの行を求められているか

解の公式を使う問題には、方程式を解く型、途中の代入行の誤りを直す型、同じ解が重なる場合を説明する型があります。いずれも出発点は、右辺を0にして x²、x、定数の順に並べることです。式が並んでいなければ、文字の係数を見つけたつもりでも別の数を拾うことがあります。

到達点は、公式を暗記して答えの形を出すことだけではありません。係数の符号を読み、括弧を付けた代入行から根号を整理し、得られた値を元の方程式に戻して等式が成り立つかまで確かめます。解が重なるときは、記号として2通り書いたものが同じ数になる理由も言葉にできます。

平方の形から公式まで

二次方程式を ax² + bx + c = 0 とします。a、b、cは数で、aは0ではありません。aが0ならx²の項が消えるため、ここで導く二次方程式の公式の分母には使えません。bやcは0でもかまいません。係数を選ぶときは、xの前に見える符号も一緒に取ります。

図1のように、公式の分子は「-b」と「根号を付けた数」の和または差でできています。分母の2aは、その分子全体を割ります。±は、同じ分母について足す場合と引く場合の両方を表します。

図1の対応を導出で確かめます。aは0ではないので両辺をaで割れます。xの係数の半分を二乗した数を両辺に加え、左辺を平方の形にします。

ax² + bx + c = 0
x² + (b/a)x + c/a = 0
x² + (b/a)x = -c/a
x² + (b/a)x + b²/(4a²) = -c/a + b²/(4a²)
(x + b/(2a))² = (b² - 4ac)/(4a²)
(2ax + b)² = b² - 4ac

最後の行は両辺に4a²を掛けたものです。左辺が数の二乗なので、右辺が正なら平方根は正と負の2通り、0なら平方根は0です。右辺が負の場合、実数の二乗は負にならないので実数の解はありません。右辺が0以上のとき、平方根を使って次のように変形できます。

2ax + b = ±√(b² - 4ac)
2ax = -b ± √(b² - 4ac)
x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)

これが解の公式です。最後に2aで割れるのは、aが0ではないからです。aが負であっても2aは0ではないので使えます。途中で2aを含む式を二乗した後も、正負の両方を戻している点が大切です。右辺が0なら±を付けても同じ数になり、重解と呼びます。根号の中が負の場合は、実数の範囲では解がないと述べて止めます。

この導出は文字で一般に示したものです。後の数値の代入による確認は、それぞれの答えが元の式を満たすことを確かめる作業です。数例が合ったこと自体を公式全体の証明にはしません。

基本例題：負の係数をそのまま入れる

次の方程式を解き、答えを根号を含む正確な形で表してください。

2x² - 4x - 1 = 0

まず a = 2、b = -4、c = -1 と読みます。図2のように、負の数は括弧ごと公式の場所に入れます。特に-bは-(-4)です。また b² は (-4)² であり、-4² とは異なります。

図2の代入から、分子全体を4で割るまでの計算を追います。

x = (-(-4) ± √((-4)² - 4・2・(-1)))/(2・2)
x = (4 ± √(16 + 8))/4
x = (4 ± √24)/4
x = (4 ± 2√6)/4
x = (2 ± √6)/2

√24 = 2√6 です。最後は分子の両方の項と分母に共通する2で割りました。片方の項だけを割ると、元の分数と等しくなりません。例えば (4 + 2√6)/4 を 4 + √6/2 とすることはできません。

検算では、t = ±√6 と置くと t² = 6 で、どちらの候補も x = (2 + t)/2 と表せます。元の左辺に代入すると次のとおりです。

2((2 + t)/2)² - 4((2 + t)/2) - 1
= (4 + 4t + t²)/2 - 4 - 2t - 1
= (10 + 4t)/2 - 5 - 2t
= 0

tの正負のどちらでも0になるので、2つの候補は元の方程式を満たします。近似値でたまたま小さい数になったかを見るのではなく、t² = 6 を使って正確に0へ戻します。

標準例題：負の分母と重なる解

次の方程式を解き、答えを分数で表してください。

-3x² + 6x - 3 = 0

係数は a = -3、b = 6、c = -3 です。公式へ入れると、根号の中は0になります。

x = (-6 ± √(6² - 4・(-3)・(-3)))/(2・(-3))
x = (-6 ± √(36 - 36))/(-6)
x = (-6 ± 0)/(-6)
x = 1

±0を足しても引いても同じ1ですから、解は1つの数です。重解と呼びます。元の式に戻すと -3・1² + 6・1 − 3 = 0 です。

別の見方として、左辺は -3(x − 1)² です。この積が0になるには (x − 1)² = 0 となり、x = 1 です。公式で根号の中が0になったことと、平方の形が0になることは同じ結果に対応しています。なお、分母が負という理由で答えに機械的に負号を付けることはできません。分子と分母それぞれの符号を計算します。

発展例題：根号の中による分かれ目

次の2つの方程式について、実数の範囲で解を求めてください。解がある場合は根号を含む正確な形で表し、ない場合は理由を述べてください。

A: x² + 2x - 2 = 0
B: x² + 2x + 3 = 0

Aでは a = 1、b = 2、c = -2 です。

x = (-2 ± √(2² - 4・1・(-2)))/(2・1)
x = (-2 ± √12)/2
x = (-2 ± 2√3)/2
x = -1 ± √3

平方の形に直す別解では、x² + 2x = 2 の両辺に1を加えて (x + 1)² = 3 です。よって x + 1 = ±√3 となり、同じ答えに至ります。公式の代入と平方の形を並べると、根号の整理と正負の取り方を別の経路で照合できます。

検算として、s = ±√3、s² = 3 と置き、x = -1 + s をAの左辺に戻します。(1 − 2s + s²) + 2(-1 + s) − 2 = s² − 3 = 0 です。正負の候補のいずれも元の条件に合います。

Bでは同じ操作から (x + 1)² = -2 となります。実数の二乗は0以上なので、これを満たす実数はありません。公式の根号の中も 2² − 4・1・3 = -8 です。負の数に根号を付けたまま実数の答えとして書かず、なぜ止まるかを平方の形で示せます。Aでは根号の中が正、標準例題では0、Bでは負です。この違いは計算の途中に見える条件であり、正負の候補が何個あるかを判断する材料です。

代入前後の判断をつなぐ

公式を使う前の整理にも、解を変えない操作が必要です。たとえば左右に同じ数を加減すれば、等しい数どうしに同じ操作をするので等式は保たれます。両辺を0でない数で割る操作も逆に同じ数を掛ければ戻せます。これに対し、文字を含む式で割ると、その式が0となる場合を取り除くおそれがあります。公式の導出で割っているaは、最初に0ではないと決めた数です。この条件と、答えの候補を代入する検算は別々の役割を持ちます。

根号の中が正の場合は、正負を別々の数として考えます。たとえば発展例題Aの √3 は正なので、-1 + √3 と -1 − √3 は異なります。根号の中が0の場合は、足しても引いても0なので差が消えます。符号を2つ書いたから必ず異なる2つの解がある、とは言えません。根号の中が負の場合には、実数の範囲で平方根を取る段階に進めないことを確認します。

また、係数を読む際に項が欠けている場合は、その係数を0とします。たとえば x² − 9 = 0 では a = 1、b = 0、c = -9 です。xの項がないからといって定数の-9をbに移してはいけません。公式に入れると x = ±√36/2、つまり x = ±3 です。元の式に3と-3をそれぞれ戻すと、どちらも二乗が9なので左辺は0です。この確認は、欠けた項を0として読んだ結果まで確かめています。

誤答を元の行まで戻す

基本例題で b = -4 を使うとき、次のように書く誤りがあります。

b² = -4² = -16

原因は、bの値全体を二乗するという範囲が消えたことです。-4² は4の二乗に負号を付けた数ですが、(-4)² は負の数どうしの積で16です。図3のように、係数を括弧に収めてから二乗します。根号の中の計算をやり直すと、16 + 8 = 24 です。

図3の修正は-bにも役立ちます。b = -4なら-b = -(-4) = 4です。ここで前の負号は公式の一部、括弧の中の負号は係数の一部です。片方を消し忘れると、根号の中が正しくても分子の最初の項がずれます。

もう一つの誤りは、(4 + 2√6)/4 を 4 + 2√6/4 と読むことです。割る範囲は分子全体です。もしその読み方が正しければ、分子の2項をそれぞれ4で割った 1 + √6/2 と一致するはずですが、最初の項が4と1で異なります。分数線の代わりに括弧を使い、全体を囲むと範囲が見えます。

条件を外した反例も見ます。a = 0 の式 bx + c = 0 に公式を当てはめると分母が0になり、割り算が定義できません。例えば 2x − 6 = 0 は x = 3 と解けますが、二次方程式として公式を適用した結果ではありません。最初にaを確認する理由がここにあります。

練習：係数から答えまで

次の5問はそれぞれ独立した方程式です。実数の範囲で解き、解がある場合は整数、分数または根号を用いた正確な形で答えてください。解がない場合は、その理由も書いてください。

1. x² − 6x + 7 = 0
2. 3x² + 2x − 2 = 0
3. 4x² − 12x + 9 = 0
4. -2x² − 4x + 1 = 0
5. 2x² + 4x + 5 = 0

練習の答えと確かめ

1. a = 1、b = -6、c = 7 です。公式から x = (6 ± √8)/2 = 3 ± √2 です。t = ±√2 として x = 3 + t を元の左辺に入れると、9 + 6t + t² − 18 − 6t + 7 = t² − 2 = 0 です。2つの候補はともに元の式を満たします。

2. a = 3、b = 2、c = -2 です。x = (-2 ± √28)/6 = (-1 ± √7)/3 です。t = ±√7 とし、x = (t − 1)/3 を戻すと、左辺は ((t − 1)² + 2(t − 1) − 6)/3 = (t² − 7)/3 = 0 です。分子全体を3で割る形を保ちます。

3. a = 4、b = -12、c = 9 です。根号の中は144 − 144 = 0なので、x = 12/8 = 3/2 です。代入すると 4・(3/2)² − 12・(3/2) + 9 = 9 − 18 + 9 = 0 です。正負の記号を使っても同じ数に重なるため、重解です。

4. a = -2、b = -4、c = 1 です。x = (4 ± √24)/(-4) = (-2 ± √6)/2 です。最後の±は2つの値をまとめて表すため、負の分母を整理する際に足す場合と引く場合の順序が入れ替わっています。t = ±√6 とし x = (-2 + t)/2 を元の左辺に入れると、-(4 − 4t + t²)/2 + 4 − 2t + 1 = 3 − t²/2 = 0 です。

5. 平方の形にすると 2(x + 1)² + 3 = 0、すなわち (x + 1)² = -3/2 です。どの実数xを選んでも(x + 1)²は0以上となり、負の値-3/2には一致しません。このため、この方程式を満たす実数は存在しません。公式でも根号の中は 16 − 40 = -24 となり、同じ分かれ目を示します。候補が出ない場合は無理に代入せず、負の数に等しい平方がないことを確認します。

持ち帰る4行

右辺を0にし、a、b、cを符号ごと読む。
負の係数は括弧で囲み、二乗と-bの範囲を示す。
分母2aは分子全体を割り、根号の中が0なら重解。
答えを元の式に戻し、根号の二乗を正確に使う。

答案のどこを見直すか

お子さまが答えを合わせられないときは、まず係数を書いた行と元の式を見比べます。そこが合っていれば、代入行の括弧、根号の中、分子全体の割り算の順に点検します。答えだけを消して計算し直すより、最初に等しくなくなった行を見つけると、直す操作が具体的になります。

個別指導で確かめるなら、負の係数を指して「この数全体の二乗はどこか」、分数を指して「どこからどこまでを割るか」と尋ねます。重解では±の2つが同じ数になることを本人の言葉で説明し、解がない場合は平方が負にならない理由に戻ります。係数の読み取りと答えの代入を結ぶ一行が、解の公式の意味を支えます。