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中1数学一次式の計算と分配法則—項と係数を分けて括弧を外す手順を説明する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学中1 単元の掘り下げ

引く式の定数項にも負号を配る理由を面積の分割からたどり、例題と練習で注目するのは同類項です。

よくあるのは、引く式の括弧を外すとき、文字の項の符号は変えたのに定数項はそのまま書いてしまう場面です。たとえば 7x + 8 から 2x + 3 を引くのに、7x − 2x + 8 + 3 とすると、3 を引かずに足したことになります。

括弧は、いくつかの項をひとまとまりとして扱う目印です。そのまとまり全体を引くなら、文字の項にも数の項にも引く操作が及びます。項ごとに符号を確認し、同じ種類の項を集めれば、途中の判断を言葉でも説明できます。

どこで判断が分かれるか

一次式の計算には、まず項を見分ける型があります。たとえば 5x − 4 + 2x では、文字を含む 5x と 2x を集められますが、数の -4 は別に残します。数を全部足すのではなく、それぞれが何個分を表すかを見ます。

次に、括弧の外の数を各項にかける型があります。3(x + 2) は x と 2 の和の 3 倍なので、どちらにも 3 をかけます。括弧の前が負の数でも、各項に同じ数をかける点は変わりません。

さらに、式全体を数で割る型があります。割る数が 0 でないことを確認し、各項をその数で割ります。引く括弧と割り算が一緒に出たときは、先に一部分だけを整理したつもりにならず、どこまでが割られるまとまりかを読み取ります。

ここで扱うのは一次式の加減と数による乗除です。文字同士の乗除を一般化する話には進みません。目標は、計算結果を出すことに加え、括弧の内側の各項に何が起きたかを説明できることです。

項と係数を分けて見る

和の形にしたとき、足し合わされるそれぞれの部分を項といいます。たとえば 4x − 3 は 4x + (-3) と見られ、項は 4x と -3 です。引き算の記号の後ろにある数も、符号を含めて一つの項と見ます。

4x のように数と文字をかけた項では、文字にかかる数 4 を係数といいます。-x は (-1)x なので係数は -1、x は 1x なので係数は 1 です。文字を含まない -3 のような項は定数項と呼びます。

図1のように 4x − 3 + 2x を項に分けると、文字の部分が同じ 4x と 2x は同類項です。4個分の x と 2個分の x を合わせて 6個分にするので、4x + 2x = 6x です。一方、-3 は文字を含まないので 6x とまとめず、6x − 3 と表します。

図1で色を分けたのは、文字の項と定数項を区別するためです。x の値が決まっていなくても、同じ x を何個分集めたかは係数の和で表せます。文字と数を足し合わせて 6x − 3 を 3x にすることはできません。

分配法則は、和に数をかけるとき、各項にその数をかけてから足しても同じという性質です。正の長さで考えると、縦 3、横 x + 2 の長方形を横 x と横 2 に分けた面積は、3(x + 2) と 3x + 6 の両方で表せます。この面積の見方では x を正の長さとして考えています。

負の数や 0 を含む計算にも分配法則を使えます。特に、まとまり A + B を引くことはその反対の数を足すことで、-(A + B) = (-1)(A + B) = -A − B です。面積は正の長さで仕組みをつかむ図であり、負号を配ること自体はこの数の性質で説明します。

基本例題：まとまり全体を引く

次の式を、括弧のない形に整理してください。答えは文字の項、定数項の順に表します。

(5x + 7) − (2x + 3)

前の括弧はそのまま足されているので、各項の符号を保って外します。後ろの括弧の前には引き算があり、中の和の反対の数を足します。図2のように、2x と 3 の両方が引かれることを確認します。

(5x + 7) - (2x + 3)
= 5x + 7 - 2x - 3
= 5x - 2x + 7 - 3
= (5 - 2)x + 7 - 3
= 3x + 4

2行目では、後ろの括弧を -1 倍した -2x − 3 を加えています。3行目では、符号を含む項を同類項どうしで並べ直しました。4行目の 5 − 2 は係数の計算であり、文字 x まで引いて消したわけではありません。

図2の矢印が示すように、括弧の前の負号は両方の項に働きます。もし 3 を足してしまうと、もとの式との差は 6 になります。引くはずの 3 を足すと、3 を引いた位置から 6 だけずれるためです。

確かめとして x = 2 をもとの式に代入すると、前のまとまりは 5・2 + 7 = 17、後ろのまとまりは 2・2 + 3 = 7 です。差は 17 − 7 = 10 です。整理後も 3・2 + 4 = 10 となります。一つの値での一致は計算の点検に役立ちますが、いつでも成り立つ理由は上の分配法則です。

面積から括弧の中を追う

基本例題の引くまとまり 2x + 3 を、x が正の数の場合に面積で考えてみます。縦が 1、横が 2x + 3 の長方形は、横が 2x の部分と横が 3 の部分に分かれます。全体の面積を取り除けば、2つの部分の面積をどちらも取り除いたことになります。2x の部分だけ取り除いて 3 の部分を足す操作は、全体を取り除く操作と一致しません。

この分割は、和をひとまとまりで見ることと、項ごとに見ることを結びつけます。ただし、x が負なら横の長さとしては使えないので、面積だけで全ての場合を説明したことにはなりません。符号を含む数でも成り立つ分配法則を使い、括弧全体の -1 倍へ戻すことが必要です。

同じ式でも、引く側の定数項が負の数に変われば、扱いも変わります。たとえば (5x + 7) − (2x − 3) は、後ろの項 2x と -3 のそれぞれを -1 倍するため、5x + 7 − 2x + 3 です。先ほど誤りだった +3 は、こちらの条件では正しい符号になります。括弧を見ずに「最後は必ずマイナス」と決めるのではなく、元の項と外の数の積を確かめます。

標準例題：負の数を配る

次の式を整理し、文字の項、定数項の順に表してください。

-2(3x − 4) + 5(x + 1)

最初の括弧には -2、次の括弧には 5 がかかります。3x と -4 は符号を含めて別の項です。特に、負の数どうしの積は正なので、(-2)・(-4) は +8 になります。

-2(3x - 4) + 5(x + 1)
= -6x + 8 + 5x + 5
= -6x + 5x + 8 + 5
= (-6 + 5)x + 13
= -x + 13

-2 を最初の 3x にかけて終わると、-4 の部分の 8 が欠けます。また、括弧の中の引き算を見て機械的に負にすると、-2・(-4) の符号を取り違えます。各項を「符号つきの数と文字の積」として扱うと区別できます。

x = 1 を戻すと、もとの式は -2・(3 − 4) + 5・(1 + 1) = 2 + 10 = 12 です。整理後も -1 + 13 = 12 です。両方の括弧について、先に内側を計算してから外側の数をかけ、条件へ戻しています。

発展例題：割るまとまりと引くまとまり

次の式を整理し、係数と定数項は分数または整数で表してください。

(6x − 9) ÷ 3 − (x − 4) ÷ 2

最初に、それぞれの括弧全体が後ろの数で割られることを見ます。3 と 2 はどちらも 0 でないので、各項を割ることができます。後半は割った結果をひとまとまりとして引くため、その括弧を残してから負号を配ります。

(6x - 9) ÷ 3 - (x - 4) ÷ 2
= (6x ÷ 3 - 9 ÷ 3) - (x ÷ 2 - 4 ÷ 2)
= (2x - 3) - ((1/2)x - 2)
= 2x - 3 - (1/2)x + 2
= (2 - 1/2)x - 3 + 2
= (3/2)x - 1

割り算は、その数の逆数をかけることと同じです。したがって 0 でない数なら和の各項に配れます。後ろの括弧の定数項は -2 なので、それを引くと +2 になる点が分かれ目です。

x = 4 で確かめると、もとの前半は (24 − 9) ÷ 3 = 5、後半は (4 − 4) ÷ 2 = 0 です。前半から後半を引いて 5 となります。整理後も (3/2)・4 − 1 = 5 で一致します。さらに x = 0 では、もとの式が -3 − (-2) = -1、整理後も -1 となり、定数項の符号も点検できます。

条件を変え、後半を引く代わりに足すと、途中は (2x − 3) + ((1/2)x − 2) です。後ろの各項の符号はそのままなので、整理結果は (5/2)x − 5 です。前の記号が変わると後ろの両項に対する操作が変わるため、前の答えをそのまま流用できません。

誤答を手がかりに直す

図3は、同じ基本例題で起こりやすい誤りです。後ろの 2x には負号を配ったのに、3 を正のまま残しています。誤った行がどこで元の式と違う意味に変わったかを探します。

誤った式 5x + 7 − 2x + 3 は、2x は引き、3 は足しています。原因は「括弧を外す」を記号を消す作業として覚え、括弧全体を引くことを確認していない点です。修正するときは、図3のように後ろの括弧をいったん (-1) 倍と読み、2x と 3 の両方を書き換えます。

別の誤りとして、5x − 2x + 7 − 3 を 3x + 7 − 3x と書く場合もあります。定数項に文字を付け足すと、もとの式にない x の個数を作ることになります。文字の項と定数項を分けて囲み、それぞれの列の中で計算し直します。

また、符号だけ正しく変えても、-6x + 5x を -11x とすれば係数の加減が違います。-6 と +5 の和は -1 です。文字を一度隠して符号つきの数を計算し、結果の -1 に同じ x を戻すと確かめやすくなります。

符号を変える箇所がわからなくなったら、括弧の中の項を指で一つずつ追い、括弧の前の数と組にします。計算の途中で符号が飛んだ行が見つかれば、その直前から書き直せます。答えだけを見比べるより、どの項の操作が抜けたかを特定できます。

割るときの見落とし

(6x − 9) ÷ 3 を 2x − 9 とする誤りは、最初の項しか割っていないことが原因です。もとのまとまりは 6x と -9 の和なので、両方を 3 で割って 2x − 3 とします。x = 2 なら、もとは (12 − 9) ÷ 3 = 1 ですが、誤った式は 4 − 9 = -5 となり、値が合いません。

一方、各項を割る前に括弧を外して式全体の区切りを失うと、後ろの式までまとめて割ったように読めることがあります。割る範囲を括弧で残した行を書き、その後に各項へ操作を配ると、式のどこまでに作用するかを追えます。計算が長くなったときほど、途中の括弧を残すことが助けになります。

練習：項ごとに操作を追う

次の5問は、途中の計算も書きます。1〜4は文字の項、定数項の順で、係数と定数項を整数または分数で表してください。5は理由を言葉と式で答えます。

8a − 5 + 3a + 2 を整理してください。
(9y + 6) − (4y + 1) を整理してください。
-3(2b − 5) + 4b を整理してください。
(10t + 4) ÷ 2 − (t + 6) ÷ 3 を整理してください。
あるまとまりは 2m − 7 です。このまとまりを別の式から引くとき、-2m − 7 としてよいでしょうか。正しい書き換えと、その理由を示してください。

練習の答えと確かめ

1の答え

8a - 5 + 3a + 2
= 8a + 3a - 5 + 2
= (8 + 3)a - 3
= 11a - 3

8a と 3a は同じ a の個数を表します。-5 と +2 は定数項として別に計算します。a = 2 をもとの式に入れると 16 − 5 + 6 + 2 = 19、答えも 22 − 3 = 19 です。

2の答え

(9y + 6) - (4y + 1)
= 9y + 6 - 4y - 1
= 9y - 4y + 6 - 1
= (9 - 4)y + 5
= 5y + 5

後ろの 1 も引くことが要点です。y = 2 のとき、もとの前半は 24、後半は 9 なので差は 15 です。答えに戻しても 5・2 + 5 = 15 です。

3の答え

-3(2b - 5) + 4b
= -6b + 15 + 4b
= -6b + 4b + 15
= (-6 + 4)b + 15
= -2b + 15

-3 と -5 をかけると +15 です。b = 2 をもとの式に入れると -3・(4 − 5) + 8 = 3 + 8 = 11 です。答えも -4 + 15 = 11 で、括弧内を先に計算した結果と一致します。

4の答え

(10t + 4) ÷ 2 - (t + 6) ÷ 3
= (10t ÷ 2 + 4 ÷ 2) - (t ÷ 3 + 6 ÷ 3)
= (5t + 2) - ((1/3)t + 2)
= 5t + 2 - (1/3)t - 2
= (5 - 1/3)t + 2 - 2
= (14/3)t

後ろの商の両項を引くので、定数項は 2 − 2 = 0 です。t = 3 なら、もとの前半は 34 ÷ 2 = 17、後半は 9 ÷ 3 = 3 で、差は 14 です。答えも (14/3)・3 = 14 です。分数のまま計算し、近似には頼りません。

5の答え

よくありません。まとまり全体の反対の数を足すので、次のように書き換えます。

-(2m - 7)
= (-1)・(2m - 7)
= -2m + 7

-7 を引くことは +7 を足すことです。たとえば別の式が 10 で m = 3 のとき、引くまとまりは 6 − 7 = -1、元の場面は 10 − (-1) = 11 です。正しい書き換えを使っても 10 − 6 + 7 = 11 ですが、-2m − 7 とすると 10 − 6 − 7 = -3 になり、元の場面と合いません。