共通テスト情報I 論理条件—かつとまたはと否定の範囲を表から確かめる｜武蔵野個別指導塾

受付条件の表を使い、括弧の位置と条件全体の否定が選ばれる行をどう変えるかを考える、論理条件です。

よくあるのは、高校生が受付の条件全体を否定するつもりで、一部分だけを逆にしてしまう場面です。例えば「予約があり、かつ名札がある」の否定は、予約がない人だけを指すのでしょうか。予約はあるけれど名札がない人も、元の条件を満たしていません。条件を文章の雰囲気で反転せず、満たす場合と満たさない場合を表で分けてみましょう。

どの組を選ぶ問いなのか

論理条件の問いでは、まず個々の条件が成り立つかを判断し、その真偽を組み合わせます。成り立つことを真、成り立たないことを偽と呼びます。真偽の組ごとに結果を書くと、条件の対象になる範囲を目で確認できます。

出方の型は主に3つあります。1つ目は「かつ」「または」を使った条件に合う行を表から選ぶ型です。2つ目は括弧の位置を変えた条件を比較する型です。3つ目は条件全体の否定と同じ範囲を表す式を選ぶ型です。いずれも、先に原子となる条件を短い記号に置き換え、最後に求められた行や式に戻すと整理できます。

このページでは、条件の真偽と選ばれる範囲に焦点を当てます。論理回路を作る方法は扱いません。また、現実の受付規則を決める話ではなく、問題に与えられた条件を読み取る練習です。問題にない例外を勝手に加えず、何が入力として示されているかを確認してください。

真偽の組を表にする

AとBをそれぞれ真か偽かが決まる条件とします。「AかつB」が真になるのは、AとBの両方が真のときです。一方、「AまたはB」は少なくとも一方が真なら真です。両方が真のときも「または」は真です。日常語ではどちらか一方を意味する場合もありますが、ここでは両方を含む論理和として使います。

「Aでない」はAが真なら偽、Aが偽なら真です。否定を読むときは、どこからどこまでをひっくり返すのかを括弧で囲みます。図1のように4通りを並べると、一部だけを否定した結果と、組み合わせ全体を否定した結果の違いを比べられます。

図1では真を「真」、偽を「偽」としています。AかつBは最初の行だけが真です。AまたはBは最後の行だけが偽です。条件全体の否定は、対象の列の真と偽を各行で入れ替えます。2つの条件の真偽が変わるのではなく、組み合わせた結果が反転する点に注意します。

例えば「AかつBでない」という文章は、否定がBだけにかかるのか、AかつBの全体にかかるのかが曖昧です。「Aかつ、Bでない」と「AかつB、ではない」を区別し、式ではそれぞれ「Aかつ（Bでない）」と「（AかつB）でない」と書きます。前者はAが偽の行を含みません。後者はAが偽の行も含みます。

条件を比較するときは、2つの式の結果が全行で一致するかを見ます。ある1行で一致しても、別の行が異なれば同じ条件とはいえません。逆に、各条件が独立に真偽をとりうるなら、2条件では4通りを調べれば漏れを防げます。具体的な場面で成立しない組が問題文から除かれているときは、その前提も併記します。

基本例題：受付できる人を選ぶ

受付では、予約があることをA、名札があることをBとします。受付できる条件は「AかつB」です。次の4人のうち、受付できる人と、受付できない人をそれぞれ記号で答えてください。予約と名札の有無は表に示した通りとし、それ以外の条件は考えません。

図2のように、各行でまずAとBの真偽を決め、次に「かつ」の結果を出します。ありは真、なしは偽です。図の最後の列は、受付できる条件の真偽を示しています。

アは予約があり名札もあるので、Aが真、Bが真です。両方が真なので受付できます。イは予約があっても名札がないため、真と偽の組です。両方が真ではないので受付できません。ウは予約がなく名札があるので偽と真、エはどちらもないので偽と偽です。いずれも両方が真ではありません。

したがって受付できる人はア、受付できない人はイ、ウ、エです。答えを場面に戻すと、イは名札が足りず、ウは予約が足りず、エは両方が足りません。受付できない理由は同一ではありませんが、元の条件が偽という点は共通です。

ここで「受付できない」を「予約がない」と読み替えると、ウとエしか選べません。イも元の条件を満たさないため、条件全体の否定から漏れます。正しくは「予約がない、または名札がない」です。エは両方がないため、この「または」に含まれます。

逆向きにも確認します。予約がない人か名札がない人であれば、両方がそろっている状態ではありません。どちらもないエも含め、受付条件の偽の行に一致します。この往復によって、答えの範囲が元の表と一致することを確かめられます。

括弧を動かすと範囲が変わる

展示室への入室について、Aは「事前登録がある」、Bは「整理券がある」、Cは「案内係が同行する」とします。3つの条件はいずれも真か偽です。条件Xは「Aかつ（BまたはC）」、条件Yは「（AかつB）またはC」です。次の表の各行でXとYの真偽を求め、結果が異なる行を記号で答えてください。

カではBまたはCが真なのでXは真です。AかつBも真なのでYも真です。キではBまたはCが真、Aも真なのでXは真です。YはAかつBが偽でも、Cが真なので真です。クではBまたはCは真ですが、Aが偽のためXは偽です。YはAかつBが偽でもCが真なので真です。ケではBまたはCが偽、Cも偽なのでXとYはどちらも偽です。

結果が異なる行はクです。場面に戻すと、登録はないものの整理券があり、案内係も同行しています。Xは登録を全員に求めるため入室できません。Yは案内係が同行すれば登録の有無にかかわらず条件を満たします。括弧を見ずに「登録、整理券、同行」という単語だけで判断すると、この違いを見落とします。

表に載せた4行の中で比較した結果と、あらゆる組についての関係は区別します。今回、クという1行が反例になるので、XとYが常に同じとはいえません。一方、表の中で結果が同じだった行があることは、式全体が同じだという証明にはなりません。

誤答を表に戻して直す

基本例題で「受付できない条件は、予約がなく、かつ名札がない」と答える誤りを考えます。元の条件のそれぞれを否定するところまではできていますが、それらを「かつ」で結んだため、両方がない人に範囲を狭めています。図3のように、元の条件を満たさない行と誤った条件の行を比べると、イとウが抜けています。

図3では元の条件の否定がイ、ウ、エで真です。誤答はエだけで真です。修正するには「予約がない、または名札がない」とします。イは後半、ウは前半、エは両方が真なので、3行とも拾えます。アはどちらも偽なので拾いません。

一般に「AかつB」の否定は「Aでない、またはBでない」です。また「AまたはB」の否定は「Aでない、かつBでない」です。これはそれぞれの結果の列を反転し、4行と照合して確かめられます。単に「かつとまたはを交換する」と覚えるだけでなく、各条件の否定も必要です。

否定する範囲がさらに内側にある場合も同じ手順です。「Aかつ（Bでない）」全体を否定するなら、まず内側のBでないを1つの条件として扱います。全体の否定は「Aでない、または（Bでない）でない」です。二重の否定を戻すと「Aでない、またはB」です。括弧を先に写してから反転すると、否定し忘れを防げます。

境界と条件の組を見落とさない

数値を条件に使うときも、数値そのものと真偽を分けて扱います。例えば「6以上かつ9未満」なら、6は前半が真で後半も真ですが、9は後半が偽です。6の直前の5は前半が偽です。このように境界の手前、境界、境界の先を元の比較に入れると、以上と未満の違いが明確になります。

ただし、同じ数値から作られた2条件では、真偽の4通りが全て実現するとは限りません。例えば「6以上」と「9未満」では、両方が偽となる数はありません。それでも論理演算の意味自体は変わらず、問題で許される数値を元に各行を判定します。実現しない真偽の組を、実際の入力があるかのように数えないことも大切です。

また、同じ行を2つの条件が拾うことと、同じ人を2回数えることは別です。「または」で選ぶ人を列挙するときは、両方の条件に合う人も1人として答えます。真偽の表は、重複する条件を含んだまま、各行が対象に入るかを判断するために使えます。

練習：表と条件を往復する

次の問題は互いに独立しています。各条件の真偽は問題文に示された情報だけで決まります。問題を解いてから後の答えと照合してください。

問1

貸出の条件は「会員証がある、または申込票がある」です。会員証だけを持つ人をア、申込票だけを持つ人をイ、両方を持つ人をウ、どちらも持たない人をエとします。貸出条件を満たす人を記号で全て答えてください。

問2

整数xについて、Pを「xは4以上」、Qを「xは7以下」とします。「PかつQ」を満たすものを、3、4、7、8の中から全て整数で答えてください。境界を含むかどうかも確かめます。

問3

MとNはそれぞれ真か偽の条件です。「MまたはN」の否定と同じ結果になる式を、次のアからエまでの中から1つ選んでください。

ア Mでない、かつNでない イ Mでない、またはNでない ウ MかつN エ Mでない、かつN

問4

整数yについて、Rを「yは2未満」、Sを「yは5以上」とします。「（RまたはS）でない」を満たすものを、1、2、4、5の中から全て整数で答えてください。各値を元の条件にも戻して確かめます。

練習の答えと理由

問1の答えはア、イ、ウです。アは会員証の条件が真、イは申込票の条件が真です。ウは両方が真なので「または」も真です。エは両方が偽であり、貸出条件を満たしません。両方を持つウを除くと、少なくとも一方という条件を取り違えます。

問2の答えは4、7です。3は4以上ではなく、8は7以下ではありません。4は4以上かつ7以下で、7も4以上かつ7以下です。4と7は等しい場合を含む境界です。元の条件に戻しても、どちらも2つの比較を満たします。

問3の答えはアです。MとNがともに偽の行では、元の「または」は偽なのでその否定は真です。それ以外の3行では元の式が真、否定は偽です。アはともに偽の行でのみ真なので一致します。イは一方だけが偽でも真になるため違います。ウはともに真の行で真になり、エはMが偽でNが真の行で真になるため、どちらも元の否定とは違います。

問4の答えは2、4です。1は2未満なのでRが真、5は5以上なのでSが真です。どちらもRまたはSが真となり、その否定は偽です。2と4は2未満でも5以上でもないため、元の「または」が偽、その否定が真です。2を境界から除かないこと、5を条件外にしないことを、比較の言葉に戻して確かめます。

覚えておきたいこと

「かつ」は両方が真、「または」は少なくとも一方が真です。
否定の対象は括弧で囲み、結果の真偽を反転します。
式の同値は真偽の全組を比べ、異なる1行を反例にします。
境界の値も元の比較条件へ戻して確かめます。

つまずいた場所まで戻る

個別指導で確認するなら、答えの記号だけでなく、どの列から真偽を決めたかを聞きます。両方が真の行で「または」を偽にした場合は、図1の列へ戻り、少なくとも一方という意味を確認します。条件全体の否定で行が抜けた場合は、元の条件の列を先に作り、その列を1行ずつ反転します。

括弧のある式で迷った場合は、内側の結果に一時的な名前を付け、その結果と外側の条件を組み合わせます。表の1行が合った後も残りの行を調べれば、偶然合っただけの式を区別できます。条件の範囲は、表の各行から読み取れます。