数検2級 複素数の計算—虚数単位の扱いと共役を使った分母の実数化を学ぶ｜武蔵野個別指導塾

i²の符号を残して計算し、共役を上下に掛けた商を元の分子へ戻して検算する流れを扱います。

よくあるのは、受検者が積を展開したところで虚数単位の2乗の符号を消してしまう場面です。途中までは丁寧に書けていても、i²を1にしてしまえば、実数部分の答えが変わります。どの行でi²が現れ、何に置き換えたかを残すと、符号を追い直せます。

複素数の計算では、実数部分と虚数部分を整理し、必要なら分母を実数に変えます。ここでは式の計算と相等を扱い、複素数平面は扱いません。最後に元の式へ戻す検算までつなげます。

複素数の式で問われること

出方の型には、2つの複素数の和や積をa + biの形にするものがあります。積では分配法則を使い、i²を -1に置き換えてから同類項を集めます。iのついた項を先にまとめるか、i²を先に処理するかで見た目は変わりますが、各項の符号を保つことが共通の条件です。

別の型は、分母にもiがある商をa + biの形に直すものです。分母と共役な数を分子と分母に掛ければ、分母からiを除けます。さらに、複素数が等しいという条件から実数の文字を決める型もあります。実数部分同士、iの係数同士をそれぞれ比べるため、文字が実数である条件に注意します。

これらは自作の型であり、特定の出題を写したものではありません。計算の目的が積の整理なのか、商の分母の実数化なのか、相等による文字の決定なのかを最初に見分けましょう。

iと共役の役割を分ける

虚数単位iは、i² = -1を満たす数です。したがってi³ = i² × i = -i、i⁴ = i² × i² = 1です。2乗を1とするのではなく、マイナスを付けて実数に戻すところが計算の要です。

aとbが実数のとき、a + biを複素数といいます。aが実数部分、bが虚数部分です。虚数部分はbiではなく係数bを指します。b = 0なら実数、a = 0なら純虚数と呼びます。ただし0を純虚数に含めない扱いをとるので、分類するときは定義を確認します。

a + biとc + diが等しいことは、a = cかつb = dであることと同じです。a、b、c、dが実数であることがこの比較の前提です。たとえば実数x、yについてx + yi = 3 − 2iなら、x = 3、y = -2です。代入すると左右が一致します。

図1のように、a + biの共役はa − biです。実数部分を保ち、虚数部分の符号を反転します。積は (a + bi)(a − bi) = a² − (bi)² = a² + b² となり、実数です。aとbがともに0でない限り、この値は正なので、分母として使えます。

図1の積が実数になる理由は、交差する2項が打ち消し合い、最後の -b²i²が +b²になるためです。共役を掛ける前に分母が0でないことも確かめます。分母が0なら割り算は定義されず、実数化に進めません。

足し算と引き算では実数部分同士、iの係数同士をまとめます。引き算の括弧の前にあるマイナスは、中の両方の項に配ります。掛け算では4項を作ってからi²を処理し、割り算では共役を分子と分母の両方に掛けます。操作の違いを言葉で説明できると、手順の混同を防げます。

基本例題：共役で分母を実数にする

次の商を計算し、実数a、bを用いてa + biの形で表してください。

(3 + 2i) / (1 − i)

まず分母1 − iは0ではありません。共役は1 + iです。分子と分母に同じ0でない数1 + iを掛けるので、商の値は変わりません。図2のように分子と分母の両方を変形します。

(3 + 2i) / (1 − i)

= (3 + 2i)(1 + i) / {(1 − i)(1 + i)}

分母を先に計算します。

(1 − i)(1 + i) = 1 + i − i − i²

= 1 − (-1)

= 2

次に分子を1項ずつ掛けます。

(3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i²

= 3 + 5i − 2

= 1 + 5i

したがって商は (1 + 5i) / 2 = 1/2 + (5/2)i です。答えは実数部分が1/2、虚数部分が5/2です。分母の2は分子の両方の項にかかるため、5iだけに分配しないようにします。

図2では分母が2、分子が1 + 5iになっています。結果を元の割り算に戻すには、答えに元の分母を掛けます。

(1/2 + (5/2)i)(1 − i)

= 1/2 − (1/2)i + (5/2)i − (5/2)i²

= 3 + 2i

元の分子に戻るので、商と分母の対応も確認できました。途中で分母が0でないことを調べたから、この掛け戻しは元の商の確認として使えます。

少し難しい例題：文字の条件と割り算

実数x、yについて、(x + yi) / (2 + i) = 1 − 2i が成り立ちます。x、yを整数で求めてください。

分母2 + iは0ではありません。ここでは左辺を共役で実数化する方法もありますが、右辺がすでに与えられているため、両辺に分母を掛ける方法を選びます。相等を使う前に分母を払うと、比較する式が短くなります。

x + yi = (1 − 2i)(2 + i)

= 2 + i − 4i − 2i²

= 4 − 3i

xとyは実数なので、実数部分と虚数部分を比べてx = 4、y = -3です。実数という条件がなければ、この比較から同じように文字を決めることはできません。

検算では、求めた値を元の左辺に戻します。(4 − 3i) / (2 + i)に共役2 − iを分子と分母に掛けると、分子は5 − 10i、分母は5です。よって左辺は1 − 2iとなり、指定された右辺に一致します。

方法の分かれ目は、商を計算して形を整える問題か、等式から未知の分子を求める問題かです。後者でも分母が0でないことが必要です。もし分母が0なら両辺に掛けて得た式だけで答えを作らず、元の商が定義されないと判断します。

誤答を直す：i²の符号を残す

(2 + 3i)(1 + 2i)を展開して、2 + 4i + 3i + 6i²と書くところまでは正しいとします。ここでi²を1として8 + 7iとするのが誤りです。i² = -1なので、6i²は -6です。

図3のように、誤った置き換えの箇所に戻して直します。正しくは2 + 7i − 6 = -4 + 7iです。展開の行を消さずに残せば、どの項の符号が変わるかを確かめられます。

図3の正しい結果は、分配して得た4項と対応しています。さらに (2 + 3i)(1 + 2i) = 2(1 + 2i) + 3i(1 + 2i) と分けても、2 + 4i + 3i − 6になります。元の積に戻って両方の項を掛けたか確認します。

もう一つの失敗は、商の分母に共役を掛けながら分子には掛けないことです。これは値を変えてしまいます。同じ0でない数を上下に掛けるという操作を、分数全体に対して書いてから展開しましょう。分母が実数になっても、分子の符号が正しいとは限りません。

練習問題

次の問題は、指定の形で答えてください。いずれも文字は実数とします。

1. (4 − 3i) + (2 + 5i) と (4 − 3i) − (2 + 5i) をそれぞれa + biの形で求めてください。
2. (3 − 2i)(2 − 4i)をa + biの形で求めてください。
3. (5 + i) / (2 + 3i)をa + biの形で求めてください。a、bは分数で表してください。
4. x + 2yi = 7 − 6iを満たすx、yを整数で求めてください。

練習問題の答えと確かめ

1. 和は6 + 2i、差は2 − 8iです。和は実数部分4 + 2と虚数部分 -3 + 5を集めます。差は括弧を外して4 − 3i − 2 − 5iとします。和から2 + 5iを引くと4 − 3iに戻り、差に2 + 5iを足しても4 − 3iに戻ります。元の和と差の両方の条件に合います。

2. 展開すると6 − 12i − 4i + 8i²です。i² = -1を代入して -2 − 16iとなります。元の積を3(2 − 4i) − 2i(2 − 4i)に分けて掛けても、6 − 12i − 4i − 8となり同じ結果です。最後の実数項の符号を確認できます。

3. 分母2 + 3iは0でなく、その共役は2 − 3iです。分母の積は4 + 9 = 13、分子の積は10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13iです。したがって13/13 − (13/13)i、つまり1 − iです。分数で表すと実数部分は13/13、虚数部分は -13/13です。答えに元の分母を掛けると (1 − i)(2 + 3i) = 5 + iとなり、元の分子に戻ります。

4. 実数部分からx = 7、iの係数から2y = -6です。よってy = -3です。元の左辺に代入すると7 + 2(-3)i = 7 − 6iとなり、右辺と一致します。虚数部分の係数がyではなく2yである点を見落とさないようにします。

答えが合わなかった場合は、結果だけを直す前に、和なら括弧の符号、積なら4項とi²、商なら上下に掛けた共役、相等なら比較した係数を調べます。分母が0の式は計算結果を作れないという条件も、商の問題では最初に確認します。

計算の途中で迷ったときの確かめ方

複素数の計算は、答えの見た目が似ていても、間違いの位置によって直し方が異なります。たとえば実数部分だけが違う場合、積の中のi²の項を確認します。虚数部分だけが違う場合は、iを含む2つの交差項をそれぞれ書き出します。両方が違う場合は、括弧の前の負号や分母と分子に掛けた式を調べます。いきなり最後の行を計算し直すより、最初に食い違った行を探すほうが原因を見つけやすくなります。

共役による実数化では、共役を作る操作と、式全体の符号を反転する操作を区別します。たとえば分母が -2 + iなら、共役は -2 − iです。実数部分の -2はそのままで、iの係数の符号を変えます。積は4 + 1 = 5です。共役を2 − iにすると元の分母全体に -1を掛けた式になり、共役とは異なります。上下に同じ式を掛ければ結果を正しく整理できる場合もありますが、分母が実数になる理由を確認して選ぶことが大切です。

分母が実数になった後も、分子全体を分母で割ります。分子がu + vi、分母が実数dでdが0でないなら、結果はu/d + (v/d)iです。uやvが負のときも、その符号を係数に残します。分数の形のままで止めるのか、a + biの形まで直すのかは問題文の指定に従います。見かけが異なっても、実数部分と虚数部分をそれぞれ比べれば同じ数か確かめられます。

相等の問題では、文字が実数かどうかを見てから係数を比べます。たとえばx + yiのxとyが実数なら、実数部分はx、虚数部分はyです。一方、文字自体が複素数であれば、その文字に含まれる実数部分と虚数部分も考える必要があります。与えられていない条件を勝手に足さず、問題文に戻りましょう。

検算の方法も計算に合わせて選びます。足し算は片方の項を引き、引き算は引いた項を足します。掛け算は分配を別の順序で行い、各項が元の因数から生まれることを確かめます。割り算は答えに元の分母を掛けて分子に戻します。相等は求めた文字を元の左右に代入します。答えを元の条件へ戻すと、途中式の整理とは別の視点で確認できます。

時間が足りなくなったときも、分母が0でないかとi²の符号を先に確認し、未完成の式を完成した答えとして扱わないことが大切です。計算を続ける順番を確認します。途中で計算を中断した場合は、次に掛ける式と残っている項を残しておけば、続きから再開できます。分母が0になる入力では、共役を掛けても割り算は定義されません。計算を続けず、その条件を示します。

覚えておくこと

• i² = -1を代入してから実数部分を整理します。
• 実数を係数とする複素数の相等は、実数部分と虚数部分をそれぞれ比べます。
• 0でない分母の共役を分子と分母に掛けると、分母を実数にできます。
• 商は答えに元の分母を掛け、元の分子に戻して確かめます。

つまずきを見分ける

計算が合わないとき、まず展開の行に戻り、i²の係数と置換後の符号を指で追います。展開が正しく置換で間違えたのか、分配の時点で項を落としたのかで、次に練習する箇所が変わります。

個別指導では、商の式を見て「分母が0でないか」「どの共役を上下に掛けるか」を先に説明してもらいます。相等の問題では、文字が実数である条件とiの係数を線で対応させ、元の等式への代入まで確認します。お子さまの答えが違ったときも、どの判断からやり直すかを一緒に探せます。

符号を残した途中式と掛け戻しが、複素数の計算を確かな答えにつなげます。