数検2級 解と係数の関係—解を直接求めず対称式の値へ結びつける｜武蔵野個別指導塾

解の和と積を展開から導き、複素数解を含む対称式の計算や二次方程式の復元に役立てられます。

よくあるのは、受検者が二次方程式の解の和と積を書き出すとき、両方の符号を逆にしてしまう場面です。解を求める公式は覚えていても、係数から値へ移る一瞬で迷うことがあります。式を一度因数の積に戻すと、どちらに負号が付くのかを確かめられます。複素数を解に持つ場合も、同じ展開が使えます。

解の組から何を取り出すか

二次方程式の2つの解を α、β と呼びます。解そのものを求めずに、α + β や αβ を係数から読み取り、そこから α² + β² などを求める型があります。また、解の和と積を先に求め、それらを解に持つ別の二次方程式を作る型もあります。2つの文字を入れ替えても変わらない式に注目するのが共通の考え方です。

たとえば α² + β² は入れ替えても同じですが、α − β は入れ替えると符号が変わります。和と積から前者の値は決まっても、後者の符号は解の呼び方によって変わります。何を求めるかを読み、解の順序が必要かを判断しましょう。

ここで扱うのは二次方程式と、その2解に関する式です。解の種類が実数か複素数か、重なっているかにも注意します。高次方程式の因数探しを目的とする話には広げません。

和と積が係数に現れる理由

ax² + bx + c = 0 の係数 a、b、c を実数とし、a は 0 でないとします。2つの解を α、β とすると、重解の場合も同じ解を2回数えて、左辺は a(x − α)(x − β) と表せます。この積を展開すると、

a(x − α)(x − β) = ax² − a(α + β)x + aαβ

です。x の係数を比べると -a(α + β) = b、定数項を比べると aαβ = c です。したがって、

α + β = -b/a、αβ = c/a

となります。和には x の係数の符号を変えたものが、積には定数項が、それぞれ最高次の係数で割られて現れます。a が 1 でないときは割り忘れにも気をつけます。

図1のように、まず因数を展開し、x の係数に付く負号を見てから和に戻ります。解が複素数でも分配法則は成り立つので、この関係は変わりません。

図1の関係を逆に使うと、和が S、積が P の2数を解に持ち、x² の係数が 1 の二次方程式は x² − Sx + P = 0 です。実際に (x − α)(x − β) を展開した式なので、符号を暗記だけに頼らず戻れます。係数が実数の方程式を作ると指定されている場合は、S と P が実数になることも確認します。

対称式を扱うときは、まず和と積で表せないかを考えます。例えば (α + β)² = α² + 2αβ + β² なので、α² + β² = (α + β)² − 2αβ です。引くのは積の2倍です。一方、α と β の逆数の和は、両方が 0 でない場合に限り (α + β)/(αβ) と書けます。分母が 0 の場合に同じ変形をすると、もとの逆数自体が定義されません。

基本例題：2乗の和へ変形する

問題：二次方程式 2x² − 4x + 5 = 0 の2つの解を α、β とします。α² + β² の値を整数で求めてください。

まず x²、x、定数の係数を順に読みます。a = 2、b = -4、c = 5 です。解と係数の関係を使うと、

α + β = -(-4)/2 = 2

αβ = 5/2

です。和は -4 をそのまま割るのではなく、符号を変えてから割ります。積も 2 で割るので 5 ではありません。求める式を和と積に直すため、次の等式を使います。

(α + β)² = α² + 2αβ + β²

両辺から 2αβ を引くと、

α² + β² = (α + β)² − 2αβ

となります。先ほどの値を順に代入して、

α² + β² = 2² − 2 × (5/2)

= 4 − 5

= -1

です。答えは -1 です。2乗の和なのに負になることを不思議に思ったら、解が実数とは限らない点に戻ります。図2のように、係数から和と積を取り出し、2乗の和へ変形します。

実際に解の公式で確かめると、解は 1 + i√6/2 と 1 − i√6/2 です。ここで i² = -1 です。この2数の和は 2、積は 1 + 6/4 = 5/2 となり、もとの方程式の係数と一致します。さらにそれぞれの2乗の和は 2 × (1 − 6/4) = -1 です。図2の値と、複素数として直接計算した値が一致しました。

この確認で使った2解をそれぞれ元の左辺に代入すると、実数部分と虚数部分がともに 0 になります。したがって、係数から得た値だけを再計算する確認よりも、元の条件まで戻れています。解の公式を使うのは確認のためで、対称式を求める本筋では解を個別に書く必要はありません。

少し難しい例題：逆数を使う前に分かれる

問題：実数 t に対し、二次方程式 x² − tx + 2 = 0 の2解を α、β とします。2数 1/α + 1/β と α² + β² が等しいとき、t の値を根号を含む正確な形で求めてください。

まず逆数が存在するかを確かめます。解の積は 2 なので αβ = 2 です。積が 0 でないため、α と β のどちらも 0 ではありません。ここで積が 0 なら少なくとも一方の逆数が定義されず、この条件式をそのまま使うことはできません。この問題では先に非零を確認できるため、通分に進めます。

解の和は α + β = t です。したがって、

1/α + 1/β = (α + β)/(αβ) = t/2

です。また、

α² + β² = (α + β)² − 2αβ = t² − 4

となります。与えられた等しさに代入し、

t/2 = t² − 4

2t² − t − 8 = 0

を得ます。判別式は 1 + 64 = 65 なので、解の公式から t = (1 + √65)/4 または t = (1 − √65)/4 です。これが根号を含む正確な答えです。

どちらの値も実数であり、もとの解の積は 2 のままなので逆数は定義されます。また 2t² − t − 8 = 0 から t² − 4 = t/2 が戻り、問題の2つの式が等しくなります。実数解だけに限る条件は問題にないため、α、β が複素数となる場合も捨てません。実数解を要求する別の問題なら、さらに判別式 t² − 8 が 0 以上かを調べる必要があります。

係数に文字が入る問題では、何を未知数として解いているかを区別します。この例では α、β は x についての方程式の解ですが、最後に求めるのは係数 t です。和と積を t で表してから条件に移せば、複素数の解を根号で書いて整理する必要はありません。最後の二次方程式を解く際には、両辺を2倍する操作が同値であり、新しい候補を増やしたり消したりしないことも確認できます。

また、条件が逆数ではなく、解の差の2乗を指定する場合には、(α − β)² = (α + β)² − 4αβ が使えます。ただし差そのものを求めるときは、2解を入れ替えると符号が変わります。差の2乗から差を取る際には正負の両方を考え、問題が解の順番を定めているかを見ます。複素数について大小を使って順番を決めることはできません。

符号の取り違えを直す

x² − 3x + 2 = 0 の解の和を -3、積を -2 とする答案を考えます。x の係数と定数項を見た後、和では符号を変え忘れ、積では不要な負号を付けた誤りです。図3のように (x − α)(x − β) の展開に戻れば、x の係数は和の反対、定数項は積そのものと区別できます。

正しくは和が 3、積が 2 です。実際に左辺は (x − 1)(x − 2) で、解 1 と 2 の和と積もそれぞれ 3 と 2 です。図3の修正後の数は元の方程式にも戻ります。係数の符号が正の場合でも、和には反対符号が付くという同じ規則で扱います。

もう一つの誤りは、α² + β² を (α + β)² とすることです。積 2αβ を抜かしているので、先に括弧を展開して不足分を引きます。計算途中で間違いに気づいたら、最後の数だけ直さず、和と積を書いた行まで戻って代入をやり直すと原因を切り分けられます。

解が重なる場合も関係は使えます。例えば x² − 6x + 9 = 0 は (x − 3)² = 0 で、解 3 を2回数えます。和は 3 + 3 = 6、積は 3 × 3 = 9 となり、係数から読んだ値と一致します。解が1種類だから和も積も作れない、と考える必要はありません。

一方、最高次の係数が文字で表されるときは、それが 0 にならないという条件が不可欠です。0 になると二次方程式ではなくなり、2解の和と積という前提から確認し直します。係数を割る前に二次の項が残っているかを見ることが、文字を含む問題の最初の分かれ目です。

練習問題

次の問題では、2解が重なる場合も重ねて数えます。解答は問題の後にまとめています。

1. 3x² + 6x − 9 = 0 の2解を α、β とします。α² + β² を整数で求めてください。
2. x² − 5x + 3 = 0 の2解を α、β とします。1/α + 1/β を分数で求めてください。
3. 2数の和が -4、積が 7 です。この2数を解に持ち、x² の係数が 1 の二次方程式を求めてください。解は複素数も認めます。
4. x² − 2x + 4 = 0 の2解を α、β とします。α³ + β³ を整数で求めてください。

練習問題の解答と確認

1. 和は -6/3 = -2、積は -9/3 = -3 です。よって α² + β² = (-2)² − 2 × (-3) = 10 です。元の方程式を 3 で割ると x² + 2x − 3 = 0、つまり (x − 1)(x + 3) = 0 です。解 1 と -3 の2乗の和も 1 + 9 = 10 となり、元の係数に対応します。

2. 和は 5、積は 3 です。積が 0 でないため両方の逆数が存在し、通分して 1/α + 1/β = (α + β)/(αβ) = 5/3 です。解を直接求めると (5 + √13)/2 と (5 − √13)/2 です。この2数の和は 5、積は 3 で、x² − 5x + 3 を復元できます。逆数の和を通分しても 5/3 です。

3. 和を S、積を P とすると、求める式は x² − Sx + P = 0 です。S = -4、P = 7 を代入し、x² + 4x + 7 = 0 となります。この左辺の x の係数は和の反対の 4、定数項は積の 7 です。判別式は 16 − 28 = -12 なので実数解はありませんが、複素数解を認める条件に合います。解は -2 + i√3、-2 − i√3 で、和は -4、積は 4 + 3 = 7 と元の指定に戻ります。

4. 和は 2、積は 4 です。まず (α + β)³ を展開すると α³ + β³ + 3αβ(α + β) です。したがって α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = 8 − 24 = -16 です。解は 1 + i√3、1 − i√3 で、それぞれの3乗の和は 2 × (1 − 9) = -16 です。解の和は 2、積は 4 なので、問題の方程式にも戻ります。

解答を見た後は、各問題で最初に書いた和と積を隠し、元の係数からもう一度読み取ってみてください。式変形が合っていても最初の符号が違えば、後の値は連鎖して変わります。逆数の問題では積が 0 でないという確認も、通分の前に置きます。

練習3では、和と積から作った式の判別式が負になりました。そこで「解がない」とするのは、複素数を認めるという条件の読み落としです。実数の範囲に限るかどうかで結論が変わります。反対に、問題が実数解を指定しているときは、作った式が実数解を持つかを判別式で確認しなければなりません。

練習4の3乗の和は、2乗の和の公式をそのまま使えません。和の3乗を分配法則で展開し、混ざった項を αβ(α + β) にまとめると、和と積へ戻せます。式を覚えていない場合も、展開した4種類の項を順に集めれば導けます。値の計算だけでなく、この変形の出どころも説明できるかを試してください。

覚えておくこと

• ax² + bx + c = 0 の2解の和は -b/a、積は c/a です。
• 2乗の和は和の2乗から積の2倍を引きます。
• 逆数を使うときは、各解が 0 でないことを先に確かめます。
• 和 S、積 P の2数を解に持つ式は x² − Sx + P = 0 です。
• 複素数解や重解も、問題の条件に応じて扱います。

どの行でつまずいたかを見分ける

お子さまが答えを違えたとき、まず和と積の行を見ます。そこが違えば (x − α)(x − β) の展開へ戻り、x の係数に付く負号を確認します。和と積が正しければ、求める対称式への変形を一緒に展開し、2αβ の有無を確かめます。

個別指導では、逆数を含む問題で積が 0 の場合に進めない理由を説明できるかも見ます。方程式を作る問題なら、作った式の係数から和と積を読み直し、指定された2数の条件に戻るかを確認します。係数と解を往復できれば、符号は展開によって確かめられます。解の順序を決めていない式では、この2文字を入れ替えても値が変わらないかも確かめます。