数検2級 剰余定理と因数定理—代入で余りを調べて高次方程式の解を整理する｜武蔵野個別指導塾

代入による余りの確認から因数を取り出し、残った式を解いて高次方程式の解をそろえましょう。

よくあるのは、高次方程式に数を代入して1つの解を見つけ、そこで答えを書き終える場面です。代入して0になったことは、その数が解である証拠です。しかし、それだけでは他の解があるかどうかは決まりません。見つけた解を因数に移し、残った式をさらに解くと、答えの範囲を確かめられます。

余りから解へ進む問題の型

整式を一次式で割った余りを、割り算の筆算をせずに求める問題があります。また、文字を含む整式がある一次式で割り切れるという条件から、文字の値を決める問題もあります。どちらも、割る式を0にする数を代入するところから始めます。

もう一つの型は、三次や四次の方程式を解く問題です。代入で因数を見つけた後、次数を下げて二次方程式などにします。実数解を求める指定なら実数に限り、複素数の範囲ですべての解を求める指定なら虚数も含めます。解の候補を試すことと、解を残らず求めたことは別の段階です。

以下の問題は自作です。数の代入、割り切れる条件、残った因数の処理を順につなぎます。複雑な式でも、どの式に何を代入するのかを行ごとに書けば、符号の誤りを見つけやすくなります。

剰余定理と因数定理のつながり

整式 P(x) を x − a で割った商を Q(x)、余りを r とすると、割り算の関係は次のように書けます。

P(x) = (x − a)Q(x) + r

一次式で割った余りは、割る式より次数が低いので定数です。この等式に x = a を代入すると、右辺の積は0になり、P(a) = r が残ります。これが剰余定理です。余りを求めるために代入するのは、割る式 x − a を0にする a です。

例えば割る式が x + 3 なら、x + 3 = 0 を解いて x = -3 を代入します。見えている数の3をそのまま代入するのではありません。2x − 1 のように x の係数が1でない場合も、0にする数は 1/2 です。P(x) = (2x − 1)Q(x) + r に代入すれば余りが P(1/2) とわかります。

余りが0なら P(x) = (x − a)Q(x) となり、x − a は P(x) の因数です。逆に x − a が因数なら x = a の代入で P(a) = 0 です。この両方向の関係が因数定理です。図1のように、余りが0かどうかで、代入の結果を因数の判断へつなげます。

図1の P(a) は数であり、x − a は式です。P(a) = 0 と x − a が因数であることは対応しますが、数 a と因数 x − a を同じものとして書かないようにします。方程式 P(x) = 0 では、a は解、x − a は左辺の因数です。

因数を見つける際には、整数係数の整式なら定数項の約数などを候補にして代入すると探しやすくなります。ただし、候補が0にならなかったことは、その候補が解でないと示すだけです。試した候補がすべて失敗しても、分数や無理数の解がないとはいえません。共通因数や置き換えなど、式の形も調べます。

代入しても0にならないとき

候補を代入して0にならなければ、その候補に対応する一次式では割り切れません。その結果は失敗として捨てるのではなく、候補を1つ除く情報として使えます。例えば整数をいくつか試しても0が得られない場合は、定数項が0か、係数に共通因数があるか、偶数次の項にまとめられるかを見直します。割る式の係数が1でない場合には、対応する分数も候補になります。

商を求めた後、展開して元に戻らなかったときは、因数が間違っているとは限りません。代入による余りが0なら因数の判断は正しく、商の計算に誤りがある可能性があります。最高次の項から順に係数を比べると、どの段階でずれたかを探せます。余りも含めた割り算の等式に戻ることが確認の出発点です。途中式の係数を縦にそろえると、抜けた項も見落としにくくなります。

実数係数の二次式が残ったとき、因数分解できない場合は解の公式を使えます。判別式が負なら実数解はありませんが、複素数の範囲では虚数解を求めます。残った二次式に実数解がないことと、方程式に解がまったくないことを混同しないようにします。先に取り出した因数から得た解は、そのまま残っています。

基本例題：三次方程式を最後まで解く

問題：P(x) = x³ − 2x² − x + 2 とします。P(x) を x − 2 で割った余りを求め、方程式 P(x) = 0 の実数解をすべて求めてください。答えは整数で表します。

まず x − 2 = 0 となる x = 2 を P(x) に代入します。各項を順番に計算します。

P(2) = 2³ − 2・2² − 2 + 2

P(2) = 8 − 8 − 2 + 2

P(2) = 0

剰余定理より、余りは0です。同時に因数定理より、x − 2 は P(x) の因数です。ここで x = 2 は解だとわかりますが、残りの解を探すために商を求めます。

P(x) を x − 2 で割るとき、先頭の x³ を作るには x² を掛けます。引き算の後に残るのは -x + 2 です。商の定数項は -1 となり、余りは0です。したがって次の式が得られます。

P(x) = (x − 2)(x² − 1)

実際に右辺を展開すると x³ − 2x² − x + 2 となり、元の式に戻ります。商の符号や抜けた次数をここで確かめられます。さらに平方の差の公式を使うと、次のように分けられます。

x² − 1 = (x − 1)(x + 1)

よって方程式は (x − 2)(x − 1)(x + 1) = 0 です。積が0になるのは、少なくとも1つの因数が0になるときです。それぞれを0とおくと、実数解は x = 2、1、-1 です。

図2のように、余り0から因数を得た後も、商の二次式を解く段階が残ります。3つの値を因数分解した式に戻すと、いずれも少なくとも1つの因数を0にします。逆に、どの因数も0でない数では積も0にならないため、他の解はありません。

図2では商が x² − 1 と表されています。余りが0でも、商を求める割り算が自動的に終わるわけではありません。筆算で項を引くときは、引く式全体の符号を変え、存在しない次数の係数は0としてそろえます。

少し難しい例題：条件を使い四次を解く

問題：実数 a について、P(x) = x⁴ + a x² − 4 が x − 2 で割り切れるとします。a の値を整数で求め、その値に対する P(x) = 0 の解を複素数の範囲ですべて求めてください。虚数単位を i とし、i² = -1 とします。

割り切れる条件は余りが0ということです。x − 2 を0にする2を代入し、P(2) = 0 とおきます。

16 + 4a − 4 = 0

4a + 12 = 0

a = -3

元の条件に戻して、P(2) = 16 − 12 − 4 = 0 です。よって確かに x − 2 で割り切れます。ここまでで求まったのは係数 a であり、方程式の解はまだ整理していません。

a = -3 を戻すと、方程式は x⁴ − 3x² − 4 = 0 です。ここが方法の分かれ目です。見つけた x − 2 で割って次数を下げても進めますが、この式には x の奇数次の項がありません。x² をひとまとまりと見れば、二次式として因数分解できます。

x⁴ − 3x² − 4 = (x² − 4)(x² + 1)

展開すると中間項は x² − 4x² = -3x² となり、元の式に戻ります。各因数を0とおくと、x² − 4 = 0 から x = 2、-2、x² + 1 = 0 から x = i、-i です。したがって複素数の範囲の解は 2、-2、i、-i です。

元の条件の式に戻せば、2と-2の2乗は4、iと-iの2乗は-1です。それぞれ 16 − 12 − 4、1 + 3 − 4 となって0になります。もし実数解だけを問われていたら、後者の2つは実数でないため答えに含めません。指定された数の範囲を、計算の前と答えを書く前に読み直します。

誤答を直す：1つの解で止めない

基本例題で「P(2) = 0 なので答えは x = 2」と書いたとします。この答えに含まれる2自体は正しい解です。誤りは、残った因数を調べずに、求める実数解をすべて書いたと判断した点にあります。

図3のように x − 2 を取り出すと、残りは x² − 1 です。この因数も0になり得ます。x² − 1 = 0 を解けば、1と-1が加わります。元の三次式にそれぞれを代入すると、P(1) = 1 − 2 − 1 + 2 = 0、P(-1) = -1 − 2 + 1 + 2 = 0 です。

図3の右側を調べずに終えると、正しい解を持っていても答えが不足します。逆に、割り算で余りが0にならないときは、その一次式を因数として次へ進めません。代入値と割る式の符号を確認し、筆算したなら展開して元の式へ戻します。

もう一つの誤りは、x + 1 が因数だとわかったときに x = 1 と書くことです。因数を0とおく式は x + 1 = 0 ですから、対応する解は -1 です。解から因数へ戻るときも、a なら x − a と書いて符号を確認します。

重なった因数にも注意します。例えば (x − 3)² = 0 の解は x = 3 で、同じ値を2種類の解として並べません。このとき3は重解と呼ばれます。次数と異なる解の個数が常に一致するわけではないので、因数を最後まで調べたかどうかで過不足を判断します。

練習問題

次の問題を先に解き、余り、因数、求める解の範囲を区別して書いてください。答えの分数は約分し、解は指定された範囲で重複なく表します。

1. P(x) = 2x³ − x² + 3x − 5 を x + 2 で割った余りを整数で求めてください。
2. P(x) = x³ + b x² − 5x + 6 が x − 1 で割り切れるとき、実数 b を整数で求めてください。
3. 方程式 x³ + 2x² − 5x − 6 = 0 の実数解をすべて整数で求めてください。
4. 方程式 x⁴ − 5x² + 4 = 0 の複素数の範囲での解をすべて整数で求めてください。

練習問題の答えと考え方

1. x + 2 を0にするのは -2 です。P(-2) = 2・(-8) − 4 − 6 − 5 = -31 なので、余りは -31 です。割る式は x + 2 ですから、2を代入して得た値を余りにしてはいけません。割り算の関係を確認するには、P(x) = (x + 2)(2x² − 5x + 13) − 31 と展開し直します。積の定数項26から31を引くと元の定数項 -5 に戻ります。

2. 割り切れるので P(1) = 0 です。1 + b − 5 + 6 = 0、すなわち b + 2 = 0 から b = -2 です。元の条件へ戻すと P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 となり、指定された x − 1 で割り切れます。実際に P(x) = (x − 1)(x² − x − 6) と展開でも確かめられます。ここで求めるのは b なので、因数分解した後の方程式を解く必要はありません。

3. 左辺を F(x) とすると、F(2) = 8 + 8 − 10 − 6 = 0 です。そこで x − 2 を因数として取り出すと、F(x) = (x − 2)(x² + 4x + 3) です。商は (x + 1)(x + 3) と分解できるので、解は x = 2、-1、-3 です。積を展開すると元の左辺に戻り、各値ではいずれかの因数が0になります。3つの因数がいずれも0でないとき積は0でないため、他に実数解はありません。

4. x² をひとまとまりと見ると、左辺は (x² − 1)(x² − 4) です。さらに (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2) となります。求める解は x = 1、-1、2、-2 です。複素数まで範囲を広げても、この4つの一次因数の積が0になるには、少なくとも1つが0でなければなりません。各値の2乗は1または4で、元の式に入れるとそれぞれ 1 − 5 + 4、16 − 20 + 4 と0になります。

覚えておくこと

• x − a で割った余りは P(a) です。
• P(a) = 0 と x − a が因数であることは同値です。
• 解を1つ見つけたら商を求め、残りの因数も調べます。
• 解の範囲を読み、元の式と因数分解の両方に戻して確かめます。

つまずきを見分けるには

余りの計算で誤る場合は、まず割る式を0にする方程式を書いてもらいます。そこで正しい値が出るのに代入結果が違うなら、負の数の累乗や各項の符号まで戻ります。割り切れる条件の問題では、余りを0とおく行と、求めたい文字を解く行を分けて見ます。

個別指導では、見つけた解を答えに書いた後に、残る商が0になる場合を説明できるか確かめます。商の計算が合わなければ、割る式と商を掛けて元の多項式と係数を照合します。お子さまが実数解と複素数解を取り違える場合は、最後の二次式に戻り、それぞれの解が指定された範囲に入るか一緒に判断します。因数を最後までたどることで、解の抜けを自分で見つけられます。