数検準2級 独立試行と反復試行—一回の結果と並び方を分けて確率を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

球を戻して引く3回の操作から、赤が2回出る位置を数えます。一つの順番の確率に、条件を満たす並びの数を掛ける理由を確かめます。

よくあるのは、受験者が指定した一つの順番の確率だけを答える場面です。例えば、3回のうち2回当たりが出る問題で、当たり、当たり、はずれの順に掛け算をして、そこで筆を止めてしまいます。回数の条件は同じでも、はずれが最初や真ん中に来る並びがあります。順番が指定されているのか、回数だけが指定されているのかを読み分けるところから始めましょう。

どんな条件を読むか

独立試行の問題では、前の結果が次の結果の起こりやすさを変えないことを使います。袋から球を引いて戻す操作は、その典型です。戻して混ぜるたびに袋の中身が元に戻るので、同じ色を引く確率も元の値になります。反対に、戻さずに引く場合は中身が変わるため、同じ掛け算をそのまま使えません。

出方の型は大きく3つあります。1つ目は「赤、白、赤の順」のように順番を決めて、各回の確率を掛ける型です。2つ目は「3回中2回赤」のように回数を決め、該当する順番を数える型です。3つ目は「少なくとも1回」のように、起こらない場合を先に考える型です。どの型でも、1回の確率と、求める結果の集まりを分けて書くと見通しが立ちます。

ここでは戻す抽出と、同じ条件の試行を繰り返す場合を扱います。前の結果で次の条件が変わる問題は、各段階で残ったものを数える必要があります。言葉に似たところがあっても、操作の違いを先に確かめます。

1回の確率と並びの役割

試行とは、結果が偶然に決まる操作です。ある試行の結果が、別の試行で起こる結果の確率に影響しないとき、それらの試行は独立です。独立な試行で、ある結果と別の結果が続けて起こる確率は、それぞれの確率の積で求められます。

たとえば、赤球2個、白球1個を入れた袋から1個を取り出し、色を記録して戻します。十分に混ぜて同じ操作を繰り返すなら、毎回、赤の確率は2/3、白の確率は1/3です。赤の後に白を引く確率は、2/3 × 1/3 = 2/9です。先に赤が出ても戻すため、次に白を引く確率は1/3のままです。

図1のように、戻す操作で各回の条件が同じになります。図の左右の数字は1回ごとの確率です。赤と白の1回の確率を足すと1になり、各回に取り得る結果を覆っていることも確認できます。

同じ条件の独立な試行を何回も行うことを反復試行といいます。各回について、注目する結果が起こる確率をp、起こらない確率をqとすると、p + q = 1です。例えば4回のうち最初の2回が起こり、残りの2回が起こらないという特定の並びの確率は、p × p × q × qです。

一方、4回中ちょうど2回という条件では、起こる位置を4つから2つ選びます。位置の選び方は6通りあり、各並びは互いに重ならず、しかも積の値は同じです。したがって、その積を6倍します。順番ごとの確率を掛ける作業と、対象の順番を足す作業は別々です。

一般にn回のうちちょうどk回起こるときは、起こる位置の選び方nCkに、pをk個、qをn-k個掛けたものを掛けます。ただし公式の文字だけを覚えるより、何を位置として選んでいるかを言えることが大切です。kが0のときも位置の選び方は1通りで、起こらない結果がn回続きます。

同じ確率が各回に現れることと、独立であることは区別します。前の結果を見て次の操作を変える仕組みなら、各回の見かけの確率が同じでも積を使えるとは限りません。問題文の操作が毎回同じで、前の結果に左右されないかを読み取ります。球を戻す例では、引いた球を袋に返して混ぜることで、その条件を説明できます。

並びの数え方には、起こる位置を選ぶ方法のほか、起こらない位置を選ぶ方法もあります。3回中2回起こるなら、起こらない位置を1つ選んでも同じ3通りです。両方で数えて一致するかを確かめれば、組合せの計算を使う前にも漏れに気づけます。

基本例題：指定された回数を数える

袋に赤球2個と白球1個があります。1個を引いて色を記録し、袋に戻して十分に混ぜます。この操作を3回行うとき、赤球がちょうど2回出る確率を既約分数で求めてください。球はどれも同じように取り出されるものとします。

まず、各回で赤が出る確率と白が出る確率を求めます。

赤の確率 = 2/3

白の確率 = 1/3

次に、赤が2回出る並びを、左から1回目、2回目、3回目として書き出します。

赤赤白、赤白赤、白赤赤

図2のように、白が出る位置を決めると3通りです。各並びは3回の結果が異なるので重なりません。また、赤がちょうど2回なら白は1回ですから、この3通りで漏れもありません。

例えば赤赤白の確率は、各回が独立なので次のようになります。

2/3 × 2/3 × 1/3 = 4/27

赤白赤と白赤赤も、同じ2つの2/3と1つの1/3を掛けるため、それぞれ4/27です。3つは同時には起こらないので足します。

4/27 + 4/27 + 4/27 = 12/27

12/27 = 4/9

答えは4/9です。式を短く書くなら、3 × 2/3 × 2/3 × 1/3 = 4/9です。最初の3は3回を表すだけの数ではなく、条件に合う並びの個数です。

場面に戻って検算します。赤球に赤1、赤2、白球に白1という目印を付けると、3回の結果は順序を区別して3 × 3 × 3 = 27通りです。赤が出る2か所にはそれぞれ2通り、白が出る1か所には1通りあり、白の位置は3通りです。条件に合うものは3 × 2 × 2 × 1 = 12通りなので、12/27 = 4/9と一致します。色の並び3通りを同じ確率とみなせる理由も、この数え方で見えます。

少し難しい例題：少なくとも1回

公平な6面のさいころを4回投げます。各回は独立とし、1または2の目が少なくとも1回出る確率を既約分数で求めてください。

「少なくとも1回」は1回、2回、3回、4回のいずれかです。これらを別々に足す方法もありますが、反対の「1も2も1回も出ない」を数えると短くなります。求める出来事とその反対の出来事は重ならず、合わせると全結果です。

1回で1または2が出ない確率は、残りの3、4、5、6の4つを使って4/6 = 2/3です。4回とも出ない確率は、独立なので次の積です。

2/3 × 2/3 × 2/3 × 2/3 = 16/81

全体の確率1から引きます。

1 − 16/81 = 65/81

答えは65/81です。確認として、4回の出目を順番付きで考えると全体は6 × 6 × 6 × 6 = 1296通りです。1も2も出ない並びは4 × 4 × 4 × 4 = 256通りなので、条件に合うのは1296 − 256 = 1040通りです。1040/1296を約分すると65/81となります。

「少なくとも1回」を「ちょうど1回」と取り違えると、2回以上出る並びを捨ててしまいます。反対側の言葉を「1回も出ない」と書いてから引くと、境界の読み違いを防げます。各回の条件が同じであることと、各回が独立であることも、掛け算の前に確認します。

誤答から直す：一つの並びで止めない

基本例題で、赤赤白の確率4/27をそのまま答える誤りを考えます。この数は計算自体が誤りなのではなく、求めた範囲が狭すぎます。赤赤白という順番に限れば正しい値ですが、問題は赤が2回出ることしか指定していません。

図3のように、赤白赤と白赤赤も同じ条件に入ります。白の場所を左から順に移せば、3つの並びを重複なく拾えます。赤という結果の個数と、その位置の選び方を混ぜないよう、まず1本の並びの確率を出し、その後に並びの個数を掛けます。

もう一つの誤りは、3通りの並びがあるという理由だけで3/8とすることです。赤と白の2種類を3回並べると8通りですが、赤と白は同じ確率ではありません。色の並びを8つ書けても、それらが同様に確からしいとは限りません。各並びの確率を掛け算で求めるか、球に目印を付けた27通りを数えてください。

また、戻さない抽出で毎回2/3と掛けるのも誤りです。最初に赤を引いて戻さなければ、次の赤の確率は1/2に変わります。反復試行の式を使う前に、操作の「戻す」と「混ぜる」を線で囲み、前の結果が次の袋の中身を変えないことを確かめましょう。

練習問題

次の4問は、指定があるものを除き、各回の試行は独立とします。確率は既約分数で答えてください。まず4問とも立式してから、後の解答を見て確かめましょう。

1. 公平な硬貨を3回投げます。表、裏、表の順に出る確率を求めてください。
2. 青球1個と黄球3個の入った袋から1個を引いて戻し、十分に混ぜる操作を4回行います。球は同じように取り出されます。青球がちょうど1回出る確率を求めてください。
3. 公平な6面のさいころを3回投げます。6の目が少なくとも1回出る確率を求めてください。
4. 黒球2個と緑球3個の入った袋から、戻さずに続けて2個を引きます。球は同じように取り出されます。2回とも黒球である確率を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. 順番が指定される場合

表も裏も1回の確率は1/2です。指定の並びは表裏表の1通りなので、1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8です。表が2回出る並び全体を求めているわけではないため、並びの個数を掛けません。

硬貨の3回の結果を表と裏で書くと、表表表、表表裏、表裏表、表裏裏、裏表表、裏表裏、裏裏表、裏裏裏の8通りです。それぞれ同じ確率で、指定に合うものは表裏表の1通りです。場面から数えても1/8です。

2. 起こる位置を選ぶ場合

1回に青球を引く確率は1/4、黄球を引く確率は3/4です。青が1回出る位置は4通りです。例えば青、黄、黄、黄の確率は1/4 × 3/4 × 3/4 × 3/4 = 27/256です。

青が別の位置にある並びも同じ確率です。重ならない4通りを足すと、4 × 27/256 = 27/64です。したがって答えは27/64です。

球にそれぞれ目印を付けると、4回の全結果は4 × 4 × 4 × 4 = 256通りです。青の位置は4通り、他の3か所には各3通りの黄球が入るので、条件に合う結果は4 × 3 × 3 × 3 = 108通りです。108/256 = 27/64となり、袋の条件に戻しても一致します。

3. 起こらない場合を引く

1回に6が出ない確率は5/6です。3回とも6が出ない確率は5/6 × 5/6 × 5/6 = 125/216です。求める確率は1 − 125/216 = 91/216です。

3回の出目は順番付きで216通りあり、6以外の5種類だけで作る並びは125通りです。残りの91通りは6が1回以上出る結果なので、91/216と確認できます。3回のうち何回6が出ても、1回以上なら残りの中に入っています。

4. 条件が変わる場合

最初に黒球を引く確率は2/5です。その後は黒球1個、緑球3個の計4個が残るため、次に黒球を引く確率は1/4です。求める確率は2/5 × 1/4 = 1/10です。戻さないため、2回目にも2/5を使うことはできません。

5個の球に目印を付け、順番付きで2個を選ぶと、全体は5 × 4 = 20通りです。2回とも黒となるのは、異なる2個の黒球の順序を変えた2通りです。2/20 = 1/10となり、残った球を使った式と一致します。

覚えておくこと

• 戻す操作では、各回の袋の中身と1回の確率を確認します。
• 独立な試行の特定の並びは、各回の確率を掛けます。
• 回数だけを指定されたら、条件に合う並びを重複なく数えます。
• 少なくとも1回は、1回も起こらない確率を1から引く方法があります。
• 戻さない場合は、前の結果で次の確率が変わるか調べます。

つまずきの見分け方

個別指導で答案を見るときは、まず掛け算の各因子がどの回のどの結果を表すかを尋ねます。因子は正しいのに答えが小さい場合、指定された1つの順番で止まっていないかを見ます。結果の位置を書き出し、他にも条件に合う並びがあるかを調べます。

途中から同じ分母を使っている行があれば、球を戻したかどうかに戻ります。戻さない場合は、1回目の後に残る個数を図にして次の分母を作ります。お子さまが公式を言えても、この操作を説明できるか確かめると、式の意味が見えます。順番の指定と回数の指定を読み分ければ、答えに含める結果の範囲が定まります。