共通テスト物理基礎の力のつり合い｜物体ごとの矢印から式を選び直す｜武蔵野個別指導塾

重ねた箱に働く力を物体ごとに分け、床からの垂直抗力を計算し、静止摩擦力の必要量を限界値と比べます。

よくあるのは、机と物体に働く力を一緒に描いたノートで、上向きと下向きの矢印を見つけて式にしようとする場面です。同じ大きさで反対向きの矢印でも、働く相手が異なれば、1つの物体のつり合いには使えません。まず調べる物体を囲み、その物体が周囲から受ける力を集めます。静止の条件を使うのは、その後です。

問われる矢印の選び方

1つ目の型は、水平な机の上で静止した物体について、重力と机からの垂直抗力を対応させる問題です。物体が机を押す力も同じ場面にありますが、これは机に働く力です。矢印の向きだけで選ぶと、別々の物体に働く力を足してしまいます。

2つ目は、積み重ねた物体を上と下に分け、それぞれの接触面が及ぼす力を求める問題です。下の物体には、自分の重力だけでなく、上の物体から押される力も働きます。床が支える対象を取り違えないことが、計算の出発点です。

3つ目は、水平に押されて静止している物体について、摩擦力の向きと大きさを判断する問題です。摩擦力は常に一定の大きさとは限りません。静止できる範囲では、他の水平な力とつり合う大きさをとり、最大値を超える力が必要なら、静止という条件を満たせません。

どの物体が受けた力か

力の図を作るときは、対象を1つ決め、周囲から対象に働く力を矢印で描きます。矢印には「誰から誰へ」を添えます。地球から物体への重力、机から物体への垂直抗力、手から物体への押す力は、同じ物体に働くので、静止していれば合力を0とする式に入れられます。

図1のように、机上の箱を対象にすると、箱には地球からの重力と机からの垂直抗力が働きます。机を対象にすると、箱が机を押す力が現れます。図は接触に注目しており、机自身の重力や床から机への力は省略しています。机全体のつり合いを調べるときは、それらも描き加えます。

図1で、机から箱への力と箱から机への力は作用・反作用の組です。接触を通して互いに及ぼす力で、大きさが等しく向きが反対です。働く物体が異なるため、この2つを箱のつり合いの式に入れることはできません。一方、箱への重力と机から箱への力は、同じ箱に働いてつり合う組です。この2力は異なる相手から箱に働くので、作用・反作用の組ではありません。

垂直抗力は接触面に垂直な向きの押す力です。水平面なら鉛直上向きですが、面が変われば向きも変わります。重力の大きさは、質量を m kg、重力加速度の大きさを g m/s² とすると mg N です。質量と力は別の量なので、kg の数をそのまま N と書かず、問題で与えられた g を掛けます。

静止している物体の合力は0です。鉛直上向きを正に選ぶと、上向きの力は正、下向きの力は負にして足します。水平方向も同じように正の向きを選びます。向きの選び方は自由ですが、途中で変えず、最後に負の値が出たら、仮定した正の向きと反対に力が働くと読みます。

接触しているからといって、接触面に沿う力の向きまで図だけで決められるとは限りません。摩擦力は、接触面に沿って相対的に滑ろうとする向きを妨げます。例えば右向きの押す力以外に水平の力がない箱なら、静止するには左向きの摩擦力が必要です。反対向きの別の力が加われば、その差に応じて必要な摩擦力も変わります。力の名前を見た瞬間に向きを決めず、他の力と静止条件を照らし合わせます。

力の図に矢印を描いたら、矢印の長さを見た目で測って値にする必要はありません。大きさを問題文から計算し、同じ対象について成分を足します。数値が示されない図では、接触の有無や向きは判断できても、各力の大きさまで決まらない場合があります。静止や等速直線運動など、加速度が0とわかる条件を確かめてから、合力を0と置きます。問題文の状態を先に確かめると、条件にない等式を作らずに済みます。

基本例題：重ねた箱を支える床

水平な床に箱 A を置き、その上に箱 B を重ねると、両方とも静止しました。A の質量は 2 kg、B の質量は 3 kg、重力加速度の大きさは 10 m/s² とします。箱と床は水平に接し、他の物体は触れていません。B が A を押す力の大きさと、床が A を押す力の大きさを、それぞれ N 単位の整数で求めてください。

図2のように、まず B だけを取り出します。B に働く鉛直方向の力は、地球からの重力と A からの垂直抗力です。A だけを取り出した図には、A 自身の重力、B から押される力、床からの垂直抗力が入ります。

B の重力は、質量に重力加速度を掛けて

3 kg × 10 m/s² = 30 N

です。A から B への垂直抗力を N₁ N とし、上向きを正にします。B は静止しているので、鉛直方向の合力について

N₁ − 30 = 0

N₁ = 30

となります。作用・反作用により、B が A を押す力は、その反対向きの下向きで、大きさは 30 N です。これは A に働く力なので、次に A の式に入れます。

A の重力は 2 kg × 10 m/s² = 20 N です。床から A への垂直抗力を N₂ N とし、上向きを正にして A の力を足すと

N₂ − 20 − 30 = 0

N₂ = 50

です。したがって答えは、B が A を押す力が 30 N、床が A を押す力が 50 N です。床からの力が A の重力の 20 N と等しいとする誤答では、B からの下向きの力が抜けています。

結果を場面へ戻します。B では上向き 30 N と下向き 30 N が打ち消し合い、A では上向き 50 N と下向きの 20 N、30 N が打ち消し合います。また A と B を合わせて対象にすると、互いに押し合う力は内部の力になり、外からの上向き 50 N と2箱の重力の合計 50 N がつり合います。対象を変えても結果が一致します。

静止の条件が成立するかを先に判定する

粗い水平面上に質量 4 kg の箱があります。箱に水平右向きの力 P を加えます。重力加速度の大きさは 10 m/s²、最大静止摩擦力の大きさは 12 N とします。箱が静止できるかを P = 7 N と P = 15 N の各場合について判断し、静止できる場合は摩擦力の向きと大きさを N 単位の整数で答えてください。鉛直方向には重力と面からの垂直抗力以外は働かないものとします。

鉛直方向では重力が 4 × 10 = 40 N で、静止中の垂直抗力も上向きに 40 N です。水平右向きを正とし、摩擦力の大きさを f N とすると、静止に必要な式は

P − f = 0、つまり f = P

です。P = 7 N では、必要な摩擦力は左向き 7 N です。最大静止摩擦力 12 N 以下なので、静止できます。右向き 7 N と左向き 7 N を元の箱に戻せば、水平の合力は0です。

P = 15 N では、静止するために左向き 15 N が必要です。しかし、静止摩擦力の最大値 12 N を超えます。この条件では静止できません。15 N とつり合う摩擦力を答案に書いて静止を結論することも、最大値 12 N を常に実際の摩擦力として使うことも誤りです。動き始めた後の摩擦力は与えられていないため、ここからその大きさを決めることはできません。

押す力が0なら、この条件で水平方向の他の力もないので、静止摩擦力は0です。力があるから必ず摩擦力が最大値になるのではなく、静止のために必要な値を先に求めて限界と比べます。必要な値がちょうど最大値の場合は、与えられたモデルでは静止の限界でつり合います。

間違った式をどこから直すか

図3のように、箱の重力と箱が机を押す力を並べて「作用・反作用」とする答案を考えます。どちらも下向きで、相手も地球と机で異なります。作用・反作用の組なら、箱が受けた重力に対しては、箱が地球を引く力を探します。

図3の矢印の始点と終点を言葉で読み直すと、机から箱への力と箱から机への力が接触による組だとわかります。箱のつり合いの式を作るときは、そのうち箱が受ける前者と、地球から箱への重力を使います。作用・反作用とつり合いは、どちらも大きさと向きを比べますが、働く対象の数が違います。

別の誤りは、接触面が2つある下の箱で、上の箱からの力と床からの力を同じ記号のまま扱うことです。それぞれ別の面から働くので、まず別の記号を付けます。上の箱のつり合いから接触力を求め、作用・反作用で下の箱に移してから、下の箱の式へ代入すると混同を防げます。

手を動かす4問

次の問題は、それぞれ独立した自作の場面です。重力加速度の大きさは各問題で示します。力の大きさは N 単位の整数で答え、向きを求める場合は向きも書いてください。

1. 水平な棚に質量 6 kg の箱が静止しています。重力加速度の大きさは 10 m/s² です。棚から箱に働く垂直抗力の大きさと、箱から棚に働く力の大きさを求め、これらが作用・反作用の組か答えてください。
2. 水平な床に質量 5 kg の台があり、その上に質量 2 kg の荷物が静止しています。重力加速度の大きさは 10 m/s² です。荷物が台を押す力と、床が台を押す力の大きさを求めてください。他の接触はありません。
3. 粗い水平面上の物体に水平左向き 9 N の力を加えたところ、物体は静止しています。最大静止摩擦力は 14 N です。摩擦力の向きと大きさを求め、最大値と比べて静止の条件を確かめてください。
4. 粗い水平面上の物体を水平右向き 18 N で押します。最大静止摩擦力は 11 N です。静止できるか判断し、「摩擦力が左向き 18 N なので静止する」という答案の誤りを説明してください。

答えと戻して確かめる手順

1. 箱の重力は 6 × 10 = 60 N です。箱は鉛直方向に静止しているので、棚から箱への垂直抗力は上向き 60 N です。作用・反作用から、箱から棚への力は下向き 60 N で、この2力は組になります。箱へ戻すと上向き 60 N と重力の下向き 60 N がつり合います。棚に働く力は箱の式には入れません。

2. 荷物に働く重力は 2 × 10 = 20 N です。荷物のつり合いから台が荷物を押す力は上向き 20 N、作用・反作用から荷物が台を押す力は下向き 20 N です。台自身の重力は 5 × 10 = 50 N なので、床から台への力を R N とすると、上向きを正にして R − 50 − 20 = 0、R = 70 です。答えは 20 N と 70 N です。台へ戻すと 70 − 50 − 20 = 0 で、荷物にも上向き 20 N と下向き 20 N が働きます。

3. 左向き 9 N を打ち消すため、摩擦力は右向き 9 N です。必要な 9 N は最大値 14 N 以下なので、与えられた静止の条件と矛盾しません。物体に戻すと左向きと右向きがそれぞれ 9 N で、水平の合力は0です。14 N は限界であり、この場面で実際に働く値ではありません。

4. 静止に必要なのは左向き 18 N ですが、最大静止摩擦力 11 N を超えるため静止できません。誤答は必要な摩擦力を求めた後、実現できる限界との比較を省いています。最大の左向き 11 N を戻しても右向きの力との差は 18 − 11 = 7 N あり、つり合いません。動いた後の摩擦力は条件からは決まりません。

確認する4行

対象の物体を決め、周囲から受ける力を描きます。
同じ物体に働く力の合計を、方向ごとに0とします。
作用・反作用は異なる物体に働く組です。
静止摩擦力は必要な値を求め、最大値と比べます。

同じ大きさの力を見つけても、それがつり合いによる等しさなのか、作用・反作用による等しさなのかを区別します。前者は静止した対象の合力を調べ、後者は互いに力を及ぼす2物体の関係を調べます。図に相手の名前を書き、どちらの根拠で等号を置いたかを式の横に記すと、別の接触面が増えた問題にも対応できます。

ノートのどこを見直すか

式の符号が合わないときは、正の向きを矢印で書き、その向きと各力の向きを照合します。数が合わないときは、対象を囲む線を描き直し、その外にある何が対象を押すか、引くかを1つずつ言葉にします。接触面ごとに相手を記すと、上の物体からの力の抜けや、床への力の混入を見つけやすくなります。

個別指導で確かめるなら、答えを先に直す前に、受ける物体と力を及ぼす相手を声に出して対応させます。摩擦の問題では、必要な大きさと最大値のどちらを書いたのか、静止できない場合にも式の前提を点検できるかを見ます。力の図を物体ごとに描き直せば、式の各項の出どころを追えます。