中2定期テスト 式の計算—ワークの途中式を残して符号と同類項の誤りを直す｜武蔵野個別指導塾

減法で変わる各項の符号を訂正欄に残し、同類項の整理から文字について解く操作まで確かめます。

よくあるのは、提出前のワークを見返すと、式の減法の行にだけ赤が続いているという場面です。答えを見て書き直しても、次の問題でまた符号が変わってしまうことがあります。消しゴムを使う前に、どの行から元の式と違う意味になったかを残してみましょう。計算欄をたどれば、符号の処理と同類項のまとめ方を別々に点検できます。

赤が付いた行を提出欄に残す

まず学校の範囲表で、式の計算のうち授業で扱った部分に印を付けます。授業ノート、配られたプリント、ワーク、小テストを並べ、提出物の指定も確認します。まだ習っていない部分は今回の準備から外します。ここで扱うのは整式の加減、単項式の乗除、簡単な等式の変形です。展開や因数分解には広げません。

自分用の記録欄を「元の問題」「初めて違った行」「原因」「直した行」「別の日の確認」に分けます。例えば、かっこの前のマイナスを見落とした問題なら、誤った行を消さずに残し、その横に引く式の各項の符号を書き直します。同類項をまとめた行で間違えたなら、かっこを外した行までは正しかったと記録できます。最初に違う行がわからないときは、元の式から1行ずつ計算し、答えと比べる前に行同士の関係を調べます。

問題の型は、かっこを含む加減、単項式の乗除、文字について解く等式の変形に分けられます。赤の数を数えるより、どの操作で止まったかを書くことが次の練習につながります。提出欄が埋まったことと、何も見ずに途中式を再現できることは別です。提出用の訂正を終えたら、元の問題を隠さずに見て、答えと直した行を隠してもう一度解きます。

符号と文字の組を見分ける

項は、式を加法の形で見たときのそれぞれの部分です。例えば 5a − 2b + 3a の項は 5a、-2b、3a です。文字の部分が同じ項を同類項といい、5a と 3a はまとめられます。係数を足して 8a です。文字が異なる -2b はそこへ混ぜません。a と a² も文字の部分が異なります。係数と文字の部分を分けて見ると、数だけを足してよい場所が見えてきます。

図1のように、引くかっこの前のマイナスは、その中の各項にかかります。符号を変えた行を書いてから同類項を集めると、2種類の操作を分けて確認できます。かっこの前がプラスなら中の符号はそのままです。かっこ内の最初の項に書かれていない符号はプラスだと考えます。

図1では 4a − (a − 2b) を 4a − a + 2b と直し、a の項をまとめます。引く式の先頭だけでなく、-2b の符号も変わる点に注目します。結果の 3a + 2b は、a と b が違うのでこれ以上まとめません。例えば a = 2、b = 1 を元の式と結果に入れると、どちらも 8 です。代入は符号の取り違えを見つける助けになりますが、1組で値が合うことだけでは、いつも等しいと示したことにはなりません。

覚えておくのは、同類項は文字の部分が同じ項であることと、引くかっこの中の符号を各項で反対にすることです。理由も言葉にするなら、式全体を引くとは各項を引くことだと説明します。単項式の乗法では数の部分と文字の部分をそれぞれかけ、除法では割る数や文字を分母にした分数として考えます。文字で割る式では、その文字が 0 でない範囲で考えます。

基本例題: 訂正欄を1行ずつ埋める

次の式を計算し、同類項をまとめた形で答えましょう。これは計算欄を点検するための自作問題です。

(3x − 4y) − (5x − 2y)

図2のように、まず引くかっこを外した行を独立させます。最初のかっこは前に符号が書かれていないので、そのまま外せます。後ろはかっこ全体を引くため、5x は -5x に、-2y は +2y に変わります。

(3x − 4y) − (5x − 2y) = 3x − 4y − 5x + 2y = 3x − 5x − 4y + 2y = -2x − 2y

2行目から3行目では x の項と y の項をそれぞれ隣に並べています。項の符号も一緒に動かすことが条件です。3x − 5x は係数が 3 − 5 なので -2x、-4y + 2y は係数が -4 + 2 なので -2y です。3行目を省いて計算できるようになっても、誤りが続く間は残すと原因を見つけやすくなります。

確かめとして x = 1、y = 2 を代入します。元の式は (3 − 8) − (5 − 4) = -6、答えも -2 − 4 = -6 です。元のかっこの値を別々に出してから引くと、式を直すときと異なる道筋で符号を点検できます。代入の結果が合わなければ、答えだけを変えるのではなく、かっこを外した行と係数を計算した行を順に見ます。値が一致しても、各行の操作を確認してから訂正欄を閉じます。

乗除と等式の変形に進む

次は条件が変わる問題です。a、b は 0 ではないとします。6a²b ÷ (-3a) を計算し、単項式で答えましょう。除法を分数に直すと (6a²b)/(-3a) です。数の部分は 6 ÷ (-3) = -2、文字の部分は a²b ÷ a = ab なので、答えは -2ab です。a が分母にあるため 0 でない条件を確認します。b も問題で 0 でないとしていますが、この計算で割る文字は a です。

例えば a = 2、b = 3 なら、元の式は 72 ÷ (-6) = -12、答えは -2 × 2 × 3 = -12 です。a² を a で割ると a が消えてしまうと考えがちですが、a² は a × a なので、1個を割った後に a が残ります。文字の指数を係数のように扱わず、何を何で割るかを先に書きます。

同じく等式の変形では、求める文字を含む項を残し、両辺に同じ操作をします。例えば P = 2x + 3y を x について解くとき、両辺から 3y を引いて P − 3y = 2x、両辺を 2 で割って x = (P − 3y)/2 です。右辺の分子全体を 2 で割ります。P = 14、y = 2 なら x = 4 で、元の右辺は 2 × 4 + 3 × 2 = 14 に戻ります。移項という言葉だけを覚えるより、両辺から同じ量を引いたことを確認すると符号の理由を説明できます。文字を含む量で割る場合は、その量が 0 でないことも必要です。

間違えた行から直す

基本例題で、2行目を 3x − 4y − 5x − 2y と書いたとします。最初の違いは -2y の符号を変えなかった箇所です。図3のように、誤った行を残し、引くかっこの各項と直した行を対応させます。正答を末尾に写すだけでは、どの項を直すかが見えません。

訂正欄には「後ろの -2y を引くので +2y」と理由を書き、かっこを外した行から計算を続けます。その後、答えを隠して元の問題を解き、2つの項の符号が変わったか確認します。同類項を誤ってまとめた場合は別の原因として記録し、文字の部分を丸で囲んでから係数を計算します。

乗除で誤った場合は、数の符号、文字の個数、割る文字が 0 でない条件の順に点検します。等式の変形で誤った場合は、左辺と右辺に行った操作を並べて書きます。答えが違うという結果だけでなく、最初に操作が変わった場所を残すと、次にどの型を練習するか選べます。途中の行がなく原因を決められない場合は、推測で分類せず、元の式から解き直して記録します。

自分で試す4問

次の問題はそれぞれ自作です。答えを見る前に、途中式を残して解いてみましょう。文字で割る問題では、割る文字は 0 でないものとします。

1. (7p + 3q) − (2p + 5q) を計算し、同類項をまとめた形で答えなさい。
2. 4m − 3n + 2m + n を計算し、同類項をまとめた形で答えなさい。
3. -12c²d ÷ 4c を計算し、単項式で答えなさい。
4. S = 3u − 2v を u について解き、u = の形で答えなさい。

答えと解き方

1. 5p − 2q です。引くかっこの両方の符号を変え、7p + 3q − 2p − 5q とします。p の係数は 7 − 2 = 5、q の係数は 3 − 5 = -2 です。p = 1、q = 2 なら元の式は 13 − 12 = 1、答えも 5 − 4 = 1 です。2p の符号を変えても 5q の符号を変え忘れていないか、項ごとに見ます。

2. 6m − 2n です。m の項を 4m + 2m、n の項を -3n + n と分けます。n の係数は 1 なので、-3 + 1 = -2 です。m = 2、n = 3 のとき、元の式は 8 − 9 + 4 + 3 = 6、答えも 12 − 6 = 6 です。文字が違う項をまとめていないか、結果の各項を元の式に戻して確かめます。

3. -3cd です。数の部分は -12 ÷ 4 = -3、文字の部分は c²d ÷ c = cd です。c = 2、d = 1 なら元の式は -48 ÷ 8 = -6、答えも -3 × 2 × 1 = -6 です。c が 0 だと元の式の割る数が 0 になるため、代入して確かめる値にも注意します。

4. u = (S + 2v)/3 です。両辺に 2v を足すと S + 2v = 3u、両辺を 3 で割ると求める形になります。例えば S = 7、v = 1 なら u = 3 です。元の右辺に戻すと 3 × 3 − 2 × 1 = 7 で、左辺の S と一致します。S だけを 3 で割るのではなく、足した後の左辺全体を割ります。

解き直しでは、合った問題にも途中の行が説明できるか印を付けます。答えが合わない場合は、解答の最終行を写す前に自分の行と見比べ、初めて違う操作を特定します。代入値で両方が同じになっても、たまたま誤りが隠れる場合があります。符号の変更、同類項の対応、両辺の操作も点検してから、自分の言葉で理由を残します。

計算欄をもう一度使う

ワークの余白が狭ければ、別の紙に元の問題と行番号を写し、元の解答欄と対応させます。途中の1行が正しければ、その行の横に何をしたか書きます。例えば「引く式の符号を変えた」「同じ文字の項を集めた」と分けます。どちらも同じ行で行ったために誤りの場所が見えない場合は、その行を2行に分けます。正しい答えにたどり着いた場合も、元の式からその行に移る理由を説明できるかを確かめます。

符号が見えにくいときは、各項を符号ごと囲む方法が使えます。プラスの項にも小さく符号を補い、引くかっこの前後を比べます。ただし、囲む印が文字の一部に見えると読み違えるので、式を書き換えた行も残します。文字が同じでも指数が異なる場合には別の組にし、数字の部分だけが似ている項をまとめないようにします。整理の印は計算の代わりではなく、次の行を正しく書くための目印です。印を付けた後は、各組に含めた項を元の式と照合し、落とした項がないかも確かめます。符号も項と一緒に移します。

等式で左右が入れ替わったときも、前の行と両辺を対応させます。求める文字を左に置くのは読みやすくするためで、左右を入れ替えても等しい関係は変わりません。一方、片方の辺にだけ数を足したり割ったりすると、元と同じ関係とは限りません。両辺の操作を書いた後、求めた式を元の等式に代入して、何を確かめているか説明します。代入の計算そのものが難しいときは、小さな数を選び、割る数が 0 にならないことを先に見ます。

保護者が確認するときは、答えの正誤を先に伝える前に、本人が最初に直した行を指せるか尋ねてみます。説明が途中で止まったら、その行の前後を見比べ、何が変わったかを一緒に読みます。すぐに理由を言えなくても、元の式から別の紙に書き直せば、誤った場所を見つけられることがあります。範囲表の中で未習の操作が混じっていた場合は、その部分を今回の確認から外し、授業で使った方法に戻ります。

次の1問で残すこと

引くかっこは各項の符号を確かめて外します。
同類項は文字の部分をそろえて係数を計算します。
乗除は数と文字を分け、割る文字の条件を見ます。
等式は両辺に同じ操作をし、元の式にも戻します。

解き直しが止まったら

範囲表と解き直したワークを並べ、どの型で最初の行が書けなくなったかを見ます。かっこを外す前に止まるなら各項の符号から、外した後に止まるなら同類項の組から確認します。答えは合うのに理由を言えない場合も、計算行の間に何をしたか書き足してみます。

個別指導で確かめるときは、元の問題、消さずに残した誤答、訂正後にもう一度解いた行を一緒に見せます。等式の変形なら両辺に何をしたか、乗除なら割る文字とその条件を説明し、言葉に詰まった場所を質問にします。お子さまが自分で誤りの位置を指せるようになると、次の式でも途中式が手掛かりになります。