中2定期テスト 連立方程式—小テストの加減法と文章題を条件へ戻して確かめる｜武蔵野個別指導塾

用紙と封筒の束を数量表に置き、加減法と代入法で求めた束数を、枚数や差の条件へ戻して点検できます。

よくあるのは、小テストの計算問題は合っているのに、文章題では答えが合わないという場面です。式を解く途中は正しくても、問題文から式に移すところで数量を取り違えると、最後まで計算しても元の条件に合いません。学校の範囲表と小テストを並べ、どの行から条件とずれたのかを探しましょう。学級の係が用紙と封筒を準備する自作の場面で、数量表と訂正欄を結びます。

範囲表と訂正欄をつなぐ

まず範囲表で連立方程式のどこまでが今回の範囲かを見ます。加減法、代入法、文章題のうち、授業でまだ扱っていない内容は今回の準備から外します。範囲内なら、授業ノートの例、授業プリント、ワーク、小テストを並べ、先生が示した式の書き方や答えの形も確かめます。提出物を出し終えたことと、何も見ずに解き直せることは別です。丸が付いた問題も、式の意味を説明できるかを確かめます。

訂正欄には、間違いを消して答えだけを書く代わりに、どの段階で迷ったかを残します。計算型なら「両辺に掛ける数」「引き算の符号」「求めた値の代入」を見ます。文章題なら「文字が表すもの」「合計の式」「求めた値を場面へ戻す確認」に分けます。例えば、計算は合っているのに個数が合わなければ、計算を何度も繰り返す前に数量表と問題文を照らし合わせます。

保護者が横で見るときは、正答の数字を先に伝えるより、文字の意味を本人に指さしてもらうと、どこで迷っているかを見つけやすくなります。途中の1行が空いている場合は、その行に何をしたかを言葉で書き足します。答えを写した訂正欄と、自分で条件を確かめた訂正欄では、次の問題で使える情報が違います。

文字と条件を表に置く

連立方程式は、同じ2つの文字について、2つの等式を同時に成り立たせる値を探すものです。解は一方の式に合うだけでは足りません。両方の式に代入して等しくなる組を選びます。文章題ではさらに、その組が個数などの場面に合うかも確かめます。

図1のように、表には文字が表す数量と、その数量を使って作る合計を分けて置きます。用紙の束数を x、封筒の束数を y としたら、束の合計は x + y です。1束に入る枚数が違うとき、枚数の合計は束数をそのまま足したものにはなりません。それぞれの束数に1束の枚数を掛けてから足します。

図1では、左側が求める束数、右側がそこから作る合計です。文字の意味と単位は最初に書き、加減法では等式の両辺に同じ数を掛けたり、式どうしを足し引きしたりする操作を覚えます。一方、なぜその操作で文字を消せるか、なぜ枚数の合計に掛け算が必要かは、自分の言葉で説明します。方法の名前を覚えていても、同じ文字の係数がそろっていなければ、そのまま引いても文字は消えません。

代入法は、一方の式を x = 何か、または y = 何かの形にして、もう一方の同じ文字を置き換える方法です。例えば x = 10 − y なら、もう一方の x の位置にかっこを付けて 10 − y を入れます。かっこ全体に掛け算が及ぶことを忘れないようにします。どちらの方法も、片方の文字を求めた後で元の式に戻し、残りの文字を求めます。

基本例題：係の準備を2つの合計で表す

学級の係が、用紙の束と封筒の束を合わせて10束用意します。用紙は1束に8枚、封筒は1束に5枚入っています。中身を合わせると65枚です。用紙と封筒はそれぞれ何束ですか。束数を整数で答えましょう。枚数と束数は、この問題のために決めた条件です。

小テストの訂正欄を模して、次の順に書きます。用紙の束数を x、封筒の束数を y とすると、束数の合計から

x + y = 10 ……①

用紙の枚数は 8x、封筒の枚数は 5y なので、枚数の合計から

8x + 5y = 65 ……②

となります。図2のように、1束の枚数と束数を掛けたものを、それぞれの枚数の欄に入れます。8x + 5y を束数の合計として扱わないように、単位にも注目します。

図2の右端を足すと65枚、束数の欄を足すと10束です。加減法では、①の両辺に5を掛けます。

5x + 5y = 50 ……③

②から③を引くと、5y と 5y が消えます。

3x = 15

両辺を3で割って x = 5 です。①に戻すと 5 + y = 10 なので y = 5 です。したがって、用紙は5束、封筒は5束です。

答えを場面へ戻します。束数は 5 + 5 = 10 束です。枚数は用紙が 8 × 5 = 40 枚、封筒が 5 × 5 = 25 枚で、合計65枚です。両方の条件に合い、束数も整数です。式に代入して合うことに加え、何束が何枚になるのかを確かめると、文字の置き違いも見つけやすくなります。

同じ例を代入法で見ることもできます。①を y = 10 − x と変形し、②に代入します。

8x + 5(10 − x) = 65 8x + 50 − 5x = 65 3x = 15 x = 5

かっこの前の5は、10にも -x にも掛かります。y = 10 − x に x = 5 を入れると y = 5 です。加減法で解いた組と同じであることも確かめられます。どちらを選んでも、最後の条件確認は省きません。

条件の差が出る問題に進む

次は「合わせて」ではなく「差」を含む問題です。係が用紙の束と封筒の束を合わせて14束用意します。用紙は1束6枚、封筒は1束4枚です。用紙の枚数は封筒の枚数より24枚多いとします。用紙と封筒はそれぞれ何束ですか。束数を整数で答えます。

用紙を x 束、封筒を y 束とすると、束数から x + y = 14 です。用紙の枚数は 6x、封筒の枚数は 4y です。「用紙の枚数は封筒の枚数より24枚多い」は、用紙の枚数から封筒の枚数を引くと24枚という意味なので、6x − 4y = 24 となります。6x + 4y = 24 とすると、差ではなく合計を24枚とした式になってしまいます。

1つ目の式を y = 14 − x として代入します。

6x − 4(14 − x) = 24 6x − 56 + 4x = 24 10x = 80 x = 8

ここで -4 をかっこの両方に掛けるため、-4 × -x は +4x になります。y = 14 − 8 = 6 です。答えは用紙8束、封筒6束です。束数は 8 + 6 = 14、枚数は用紙48枚、封筒24枚で、48 − 24 = 24 枚です。合計だけでなく差も問題の文に戻して確かめます。

「封筒が用紙より多い」という別の条件なら、引く順番が変わります。多い側から少ない側を引くという意味を図や言葉で書いてから式に移しましょう。また、文字で表したのが束数なのか枚数なのかを途中で変えないことも重要です。数量表の見出しに単位を残せば、答えの数字に単位を付けるときにも迷いにくくなります。

誤答を消さずに原因を直す

基本例題の訂正欄に、誤って x + y = 10、8x + 5y = 10 と書いたとします。どちらにも10を使っていますが、前者は束数、後者は枚数です。図3のように、それぞれの式が何の合計を表すかを横に書けば、2つ目の右辺には65が入ると気づけます。

図3の訂正では、右辺の数字だけを直して終わらせません。8x は用紙の枚数、5y は封筒の枚数であると書き、足した結果が問題文の65枚と対応することを確かめます。その上で正しい式を解き、束数と枚数をそれぞれ元の条件に戻します。誤った式を解き直しても、元の読み違いは直らないためです。

計算で間違えた場合は、原因を別に記録します。例えば、②から③を引くとき右辺を 65 + 50 としていたら、左辺も右辺も「②から③を引く」と声に出して、右辺を 65 − 50 と直します。代入で符号を間違えた場合は、かっこの前の数を各項に掛けた結果を1行ずつ書きます。解き直しでは、直した箇所だけでなく、その後の代入と条件の確認まで通します。

練習：問題を先に解いてから照合する

以下の条件は練習用に作ったものです。各問では文字の意味と単位を書き、式を立て、答えを元の条件へ戻してください。答えは整数で示します。

1. x + y = 13、2x + y = 21 を加減法で解き、x と y の値を答えましょう。
2. x = y + 3、2x + 3y = 26 を代入法で解き、x と y の値を答えましょう。
3. 赤い札と青い札が合わせて12枚あります。赤い札1枚には丸が3個、青い札1枚には丸が2個描かれ、丸の合計は31個です。赤い札と青い札はそれぞれ何枚ですか。
4. 小箱と大箱が合わせて11個あります。小箱には1個につき鉛筆が4本、大箱には1個につき鉛筆が7本入っています。大箱の鉛筆は小箱の鉛筆より7本多いとします。条件を満たす整数の個数があれば答え、なければ「なし」と答えましょう。

答えと解き方

1. 2つ目の式から1つ目の式を引くと x = 8 です。x + y = 13 に戻して y = 5 です。確認すると 8 + 5 = 13、2 × 8 + 5 = 21 で、両方の式を満たします。

2. x = y + 3 をもう一方の式に入れると、2(y + 3) + 3y = 26 です。かっこを外して 2y + 6 + 3y = 26、5y = 20、y = 4 です。x = 4 + 3 = 7 となります。7 = 4 + 3、2 × 7 + 3 × 4 = 26 と、元の2式に戻して確かめます。

3. 赤い札を x 枚、青い札を y 枚とすると、x + y = 12、3x + 2y = 31 です。1つ目の式の両辺を2倍して 2x + 2y = 24 とし、2つ目の式から引くと x = 7 です。y = 12 − 7 = 5 なので、赤7枚、青5枚です。札は 7 + 5 = 12 枚、丸は 3 × 7 + 2 × 5 = 31 個です。

4. 小箱を x 個、大箱を y 個とすると、x + y = 11、7y − 4x = 7 です。y = 11 − x を代入して 7(11 − x) − 4x = 7、77 − 11x = 7、x = 70/11 となります。整数にはなりません。したがって、問題の条件を満たす整数の個数はありません。実際、y も 51/11 となり、箱の個数にできません。整数で答える条件を見落として分数をそのまま個数として答えないことが必要です。

解き直しの順番を選ぶ

練習で正答できなかったときは、最初から同じ式を何度も書くのではなく、止まった場所に合わせて戻ります。文字の意味が決められなかった場合は、求めるものに下線を引いて単位を書きます。合計の式で迷った場合は、表の各欄に入る数量を日本語で書き、足す前の単位がそろうか調べます。差の式なら、どちらからどちらを引くと正の差になるかを確認します。

式は正しいのに計算が合わない場合は、消す文字の係数をそろえた行から見直します。代入法なら、置き換える部分をかっこで囲んでから掛け算をします。求めた値が式に合っていても、問題の場面で整数の個数にならなければ、その条件に合う答えとは言えません。合わない原因が読み違いか、条件そのものかを、元の文に戻って区別します。

次の1問に残すこと

文字と単位を決め、条件ごとに式を作ります。 消す文字の係数や代入のかっこを確かめます。 得られた組を両方の式と元の場面に戻します。 個数が整数などの条件に合うかを最後に見ます。

練習の4のように、式を解いて分数が出たときは、すぐ計算違いと決めつけず、元の条件を点検します。箱を分けられない条件であれば、分数の組は式を満たしても個数の答えにはできません。逆に、求めるものが長さなどで分数を許す問題なら、分数であること自体は誤りではありません。何を求めているかによって、答えの形を判断します。

見直しでは、式の左辺と右辺がそれぞれ何を表すかも読み上げます。例えば枚数の式なら、左辺の各項はそれぞれの束から出る枚数であり、右辺はその合計です。数字が同じでも束数と枚数は別の量なので、単位を省いて書いた式だけを眺めていると、誤りを見逃すことがあります。問題文の条件に線を引き、対応する式の横に同じ印を付けると、使っていない条件や二度使った条件を見つけやすくなります。

また、解き直した直後に答えを隠し、別の紙で数量表だけを書いてみます。表が書ければ、文字の意味と条件を整理できているかを確認できます。そこで止まった場合は、模範の計算行を写す前に、問題文のどの言葉が表のどの欄に入るかを探します。計算ができることと立式できることをそれぞれ確かめることで、次に取り組む箇所が具体的になります。

つまずいた行から確認する

解き直したワークと範囲表を並べ、計算型と文章題のどちらで止まるかを見ます。計算型で止まるなら、係数をそろえる行と符号を変える行を小テストの訂正欄で示します。文章題で止まるなら、何を文字にしたか、どの合計や差から各式を作ったかを数量表で確かめます。個別指導では、本人が書いた途中式をたどり、式を立てる前の読み違いか、立式後の計算違いかを切り分けられます。お子さまが答えを出せたときも、元の条件に戻す説明を聞くと、偶然合った場合との違いが見えます。連立方程式の答えは、2つの条件と問題の場面を行き来して確かめます。