高校物理 剛体のつり合い—回転軸と腕の長さを決めて支える力と重心を求める｜武蔵野個別指導塾

斜めに引く棒の垂直距離と支点の選び方から、接触条件まで読み解く鍵は剛体のつり合いです。

よくあるのは、棒の端に斜めの力が加わる図を見て、その力に棒の全長を掛ける場面です。棒の全長が腕になるのは、その力が棒に垂直な場合です。斜めなら、回そうとする力の成分か、軸から力の作用線までの垂直距離を使います。棒を支える力も求めるときは、回転を止める条件に加え、上下や左右に動かない条件が必要です。

答案で問われる3つの型

棒の片端を軸で支え、別の場所を糸で引く問題では、糸の張力や軸からの力を求めます。まず軸まわりのモーメントを比べ、その後に力の成分を比べると、未知数を整理できます。軸は棒を押す向きも引く向きも担えるものと、床のように押すことしかできないものとでは、答えの確認が異なります。

両端を台に載せた板では、左右の垂直抗力を求めたり、おもりを動かしたときに板が浮き始める位置を調べたりします。浮き始める直前は一方の抗力が0です。負の抗力が出た場合、台が板を引っ張ることはできないので、両方が接触しているという前提を見直します。

形や材質の異なる部分をつないだ物体では、重心の位置が問われます。重心は重力をまとめて作用させられる点です。位置の平均を取る際は、部分の長さを単純に平均するのでなく、それぞれの質量を重みとして使います。角運動量や慣性モーメントはここでは扱いません。

回す向きと垂直な腕を描く

剛体は、力を受けても形や大きさが変わらないとみなす物体です。平面内で静止するには、力の合計が水平・鉛直の各方向で0であり、さらに任意の点を通る紙面に垂直な軸まわりで、力のモーメントの合計が0であることが必要です。力の合計が0でも、離れた位置の逆向きの力は回転を生むことがあります。

図1のように、支点から棒の端までの距離を L、棒となす角を θ とする力を F とします。力の作用線は、力の矢印を両向きに延長した直線です。支点からその直線に下ろした垂線の長さが腕で、L sinθ です。したがってモーメントの大きさは F L sinθ です。図1の破線は作用線、緑の線は腕を表します。

同じ値は、力を棒に平行な成分 F cosθ と垂直な成分 F sinθ に分けても求まります。平行成分の作用線は支点を通るので腕が0です。垂直成分には距離 L を掛けられます。角度が0なら回転させる効果が0、90度なら腕が L になることも確かめられます。

符号は自分で決めて構いません。以下では反時計回りを正とし、時計回りを負とします。支点を通る力のモーメントは0なので、未知の力の作用点を支点に選ぶと、その力を式から消せます。ただし力自体が消えるわけではありません。最後に支える力を求めるなら、水平と鉛直の力の式に戻します。

重力が一様に働く場合、各部分の重力をその合力と同じ大きさの力として重心に集めて扱えます。一様な棒の重心は中央です。一方向の座標で質量 m₁、m₂ の部分の重心が x₁、x₂ にあるとき、全体の重心 x は、(m₁ + m₂)x = m₁x₁ + m₂x₂ で求めます。原点を変えても、物体上の同じ位置が出ることを確認しましょう。

基本例題：斜めの糸と軸の力

長さ 2.0 m、重さ 12 N の一様な水平棒 AB を、左端 A のなめらかな固定軸で支えます。右端 B には、棒から右上へ30度の方向に糸が張られ、棒を 10 N の力で引いています。棒は静止しています。sin30度 = 1/2、cos30度 = √3/2 とし、軸が棒に及ぼす水平・鉛直成分を、右向きと上向きを正として根号を残し N で求めてください。軸は両方向の力を及ぼせるものとします。

図2のように棒だけを取り出し、重力、張力、軸からの力を描きます。棒の重力は中央に下向きです。糸の張力の水平成分は右向きに 10 × √3/2 = 5√3 N、鉛直成分は上向きに 10 × 1/2 = 5 N です。

ここで問題の数値を確認すると、A まわりで張力は反時計回りに 5 × 2.0 = 10 N m、重力は時計回りに 12 × 1.0 = 12 N m です。合計は -2 N m となり、静止という条件と両立しません。軸が点 A に及ぼす力は A まわりのモーメントを持たないため、この差を埋められません。与えられた条件のままでは軸の力に答えはなく、数値をそのまま代入してつり合いとすることはできません。

そこで張力を 12 N に変え、他の条件はそのままとした場合を解きます。張力の鉛直成分は 12 × 1/2 = 6 N、水平成分は 12 × √3/2 = 6√3 N です。A まわりでは、反時計回りの 6 × 2.0 と時計回りの 12 × 1.0 がともに 12 N m です。回転の条件が成立します。

軸の水平成分を X、鉛直成分を Y と置けば、力のつり合いから X + 6√3 = 0、Y + 6 − 12 = 0 です。よって X = -6√3 N、Y = 6 N です。負の X は仮に正とした右向きとは逆の左向きを表します。棒を元の図に戻すと、左右は 6√3 N ずつ、上下は 6 N と 6 N の上向きに対し 12 N の下向きです。力とモーメントの両方が0になり、固定軸はこの向きの力を及ぼせるので条件に合います。

同じ棒で B を支点に選ぶと、張力のモーメントは0になります。重力と軸の鉛直成分が式に残り、反時計回りを正にして 12 × 1.0 − Y × 2.0 = 0 です。Y = 6 N が得られます。支点を変えても答えは変わりませんが、最初に消える未知量が変わります。図2の 12 N の張力は、この修正後の条件を示します。

台から浮く境界を調べる

長さ 4.0 m、重さ 20 N の一様な板を水平な2つの台で支えます。左端 A と右端 B の真下に台があり、板の上には重さ 30 N の小物体を置きます。小物体の位置を A から右へ x m とします。板と小物体は静止し、台は鉛直上向きに押すだけとします。左右の台の垂直抗力と、両方に接触できる x の範囲を、N と m を使い分数または整数で求めてください。小物体は板上にあります。

A、B の抗力をそれぞれ R_A、R_B とすると、鉛直方向は R_A + R_B = 20 + 30 = 50 です。A まわりのモーメントでは、板の重力が中央の 2.0 m に、小物体の重力が x m に働きます。反時計回りを正にして 4R_B − 20 × 2 − 30x = 0 です。したがって R_B = 10 + 15x/2、R_A = 40 − 15x/2 です。

接触の条件は R_A ≧ 0、R_B ≧ 0 です。前者は x ≦ 16/3、後者は x ≧ -4/3 を与えます。さらに小物体が板上にある条件 0 ≦ x ≦ 4 を重ねると、求める範囲は 0 ≦ x ≦ 4 m です。x = 4 でも R_A = 10 N、R_B = 40 N で、左側は浮きません。例えば x = 2 では両方 25 N となり、合計 50 N、A まわりでも 25 × 4 = 20 × 2 + 30 × 2 です。

ここで、もし位置を板の外へ延ばす別の装置を考えるなら、式のまま x を増やしたとき x = 16/3 m で R_A が0になります。それより先の負の値を、台が下向きに引く力と読んではいけません。元の問題ではその位置は板上という条件から外れます。計算で得た境界と、問題で実現できる範囲を別々に調べることが分かれ目です。

誤答を作用線から直す

図3のように、支点 O から長さ L の棒の端を、棒に対して30度の方向に大きさ F の力で引く場合を考えます。「モーメントは FL」と書く誤答は、端までの距離をそのまま腕としていることが原因です。力の作用線に垂直な距離を描けば、腕は L sin30度 = L/2 です。正しい大きさは FL/2 で、力が図の向きなら反時計回りです。

図3のように端までの距離と腕を別に記入すると、どちらを掛けるか判断しやすくなります。別の誤りは、回転の式が合った時点で軸の力を0とすることです。支点を通るのでモーメントは0ですが、力の大きさが0とは限りません。対象を棒に限定し、矢印を全部描いてから成分ごとの和を作り直します。

重心についても、位置と質量の積を足さず、2つの位置を単純平均すると重い側への偏りを落とします。答えが両方の部分の重心の間にあり、重い側に近いかを点検してください。負の垂直抗力が出た場合は符号を勝手に正に変えず、接触の前提を調べます。

力の作用線が支点を通る場合は、力が大きくてもその支点まわりのモーメントは0です。一方で支点を別の場所へ移すと、その力の腕は一般に0ではなくなります。どの点を選んでも、静止した物体に働く力の合計とモーメントの合計はともに0です。式に現れる項が変わっても、力そのものが増減したわけではありません。支点を変えて検算すると、見落とした力や回転方向の取り違えに気づけます。

手を動かす問題

次の各問は静止した剛体を扱います。力の大きさや長さは各問の条件として与えます。答えは整数または既約分数で、指定された単位を付けてください。

1. 軽い長さ 3 m の水平棒の左端を固定軸で支え、右端を上向きに 8 N で引きます。左端から 1 m の位置に下向きの力 P を加えて静止させます。P を N で求めてください。軸は必要な向きの力を及ぼせます。
2. 重さ 18 N、長さ 6 m の一様な水平板を両端の台で支えます。左端から 2 m の位置に重さ 12 N の荷物を置きます。左右の垂直抗力を N で求め、両端の接触が可能か答えてください。
3. 直線上の位置 0 m に質量 2 kg、位置 6 m に質量 4 kg の小物体を固定した、質量を無視できる棒があります。全体の重心の位置を、左の小物体から右向きに測って m で求めてください。重力は一様とします。
4. 軽い長さ 2 m の水平棒を左端の固定軸で支え、右端を右上向きに棒と30度の角で 20 N の力で引きます。右端には別に下向きの力 Q を加え、棒を静止させます。sin30度 = 1/2、cos30度 = √3/2 とします。Q を N で求め、軸が棒を左向きに押す力の大きさを根号を残して N で求めてください。軸は必要な向きの力を及ぼせます。

解答と戻し方

1. 左端まわりで、上向きの力は反時計回り、P は時計回りです。8 × 3 − P × 1 = 0 より P = 24 N です。軸の鉛直成分は上向き 16 N となり、上向きの合計 16 + 8 = 24 N が下向きの P と一致します。モーメントも 24 N m ずつです。

2. 左右の抗力を L、R とすると L + R = 18 + 12 = 30 です。左端まわりで 6R = 18 × 3 + 12 × 2 = 78 より R = 13 N、L = 17 N です。両方とも正なので、台が上向きに押して接触できます。右端まわりでも 17 × 6 = 18 × 3 + 12 × 4 = 102 N m となります。

3. 重心を左端から x m とすると、(2 + 4)x = 2 × 0 + 4 × 6 = 24 です。よって x = 4 m です。この点から左の物体まで 4 m、右の物体まで 2 m なので、質量と距離の積は 2 × 4 = 4 × 2 です。一様な重力の下では両側の重力のモーメントが等しく、求めた点で支えられます。

4. 右端の斜めの力の鉛直成分は 20 × 1/2 = 10 N です。左端まわりのつり合いは 10 × 2 − Q × 2 = 0 なので Q = 10 N です。水平成分は右向きに 20 × √3/2 = 10√3 N ですから、軸は左向きに 10√3 N の力を及ぼします。鉛直方向は右端の上下が等しいため軸の鉛直成分は0です。右端の2つの力の鉛直成分とモーメントは互いに打ち消し、水平成分は軸の力と打ち消し合います。

答案に残す要点

力の矢印と作用線を描き、支点から作用線までの垂直距離を腕にします。
力の水平・鉛直成分と、モーメントの和をそれぞれ0にします。
重心は質量を重みとした位置から求めます。
台や糸が実際に及ぼせる力の向きを、求めた後に確かめます。

自分の途中式を点検する

答えが合わないときは、最初に棒だけを囲み、棒に実際に働く力が描かれているかを見ます。次に支点と作用線を結ぶ垂線を引き、式の距離がその線に対応しているか確認します。力の成分を使った場合は、その成分に垂直な距離が掛かっているかを調べます。

個別指導で答案を見る際には、モーメントの符号を決めた回転方向、軸を通る力を消した理由、抗力の正負をどう解釈したかを本人の言葉で確かめます。重心の式では、座標の原点と各質量が対応しているかも確認します。図と式の対応が残れば、支点を変えても同じつり合いを追えます。数値が問題の条件を満たさないときも、どの条件が食い違うかをモーメントと力の両方で確かめられます。