高校物理 放物運動—水平と鉛直で式を分けて飛行時間と到達位置を求める｜武蔵野個別指導塾

最高点の速度と異なる高さへの着地を、成分と時刻からたどる放物運動を学びます。

よくあるのは、斜め上に投げた球が最高点に達したとき、速度が全部0になると考えてしまう場面です。球はそこで上昇から下降に移りますが、空気抵抗がなければ横向きの運動は続きます。答案では最高点の鉛直成分を0とし、水平成分は投げたときの値のまま残します。位置と速度を同じ時刻で対応させると、飛行時間や着地点も順に決まります。

問題文から探す時間

出方の1つは、水平に投げ出した物体が下の床に落ちる問題です。鉛直方向の落下距離から時間を求め、その時間に水平速度を掛けます。水平の距離から時間を求める形でも、最後に鉛直位置を調べれば同じ運動を確認できます。

もう1つは、斜め上に投げた物体の最高点や投げた高さへの戻りを問う問題です。最初の速度を水平と鉛直に分け、最高点では鉛直速度が0という条件を使います。元の高さに戻る時刻は、位置の式で高さを0と置いて求められます。

さらに、投げた場所と違う高さにある面への到達を問う形もあります。高さの式には複数の時刻が出ることがあり、正の時刻であることに加え、上昇中か下降中か、途中で面に衝突しないかを吟味します。このページでは空気抵抗を無視し、重力加速度が一定の範囲で考えます。

同じ時計で2方向を追う

図1のように、投射点を原点、右向きを x の正、上向きを y の正とします。時刻 t = 0 に初速度の水平成分を u、鉛直成分を w とし、重力加速度の大きさを g とします。u と w は符号を含む成分です。右へ進みながら上へ投げる場合は両方正です。

図1では放物線上の点で速度を横向きと縦向きに分けています。水平方向の加速度は0なので、水平速度は u のままです。鉛直方向の加速度は下向きなので、上向きを正にすると -g です。投射点からの位置と速度成分は次のように表せます。

x = ut、y = wt − gt²/2

水平速度 v_x = u、鉛直速度 v_y = w − gt

たとえば投射角を水平から θ とし、初速度の大きさを v とすると、直角三角形の横辺と縦辺から u = v cos θ、w = v sin θ です。水平投射では w = 0 です。どちらの場合も、x と y に入れる t は同じ物体の同じ瞬間を表します。高さを求めた時刻と、水平距離を求めた時刻が違うと、別々の点を組み合わせることになります。

最高点では v_y = 0 ですが、一般に v_x は0ではありません。速さは速度の大きさですから、最高点の速さは水平成分の大きさになります。また、y は投射点からの符号付きの高さです。投射点より下なら負となり、地面から測った高さと混同しないようにします。

初速度の成分を出すとき、角度がどの向きから測られているかも見ます。水平から測った角なら、水平成分が隣の辺、鉛直成分が向かいの辺です。鉛直から測った角なら、それぞれの対応が入れ替わります。公式に角度を入れる前に、速度の矢印と直角三角形を描くと、成分の取り違えを防げます。角度の数値を使う問題では、その問題で与えられた三角比の値を使い、途中で丸めずに計算します。

時間が決まった後は、位置と速度を区別して式を選びます。位置の y は投射点からどれだけ上か下かを表し、v_y はその瞬間に上向きか下向きかを表します。y が正でも、最高点を過ぎれば v_y は負です。逆に投射点より下にあるときの y は負ですが、最初に上向きに投げたかどうかは初速度の条件から読み取ります。符号は何の量についたものかを添えて読むと、位置と向きを混同しません。

例題1：台から水平に投げる

床から高さ 20 m の台の端から、小球を右向きに水平速度 6 m/s で投げます。投射点を原点、右向きと上向きを正とし、空気抵抗を無視します。計算用に g = 10 m/s² とします。床に着くまでの時間と、台の端の真下から着地点までの距離を、秒とメートルの整数で求めてください。

図2のように、初めの鉛直速度は0で、床の座標は y = -20 m です。水平成分と鉛直成分を式にすると、時刻 t 秒の位置は次のようになります。

x = 6t

y = 0t − 10t²/2 = -5t²

床に着いたときの鉛直位置を代入し、まず時間を求めます。

-20 = -5t²

t² = 4

t = 2 または -2

投げた後の時刻を求めているので、負の -2 秒は採用しません。飛行時間は 2 s です。この同じ時刻を水平位置の式に入れます。

x = 6 × 2 = 12 m

したがって距離は 12 m です。確かめとして t = 2 を高さの式に戻すと y = -5 × 2² = -20 m で、確かに床に達しています。着地直前の鉛直速度は v_y = -10 × 2 = -20 m/s で下向きです。水平速度は 6 m/s のままなので、落下中に横の運動が消えたわけではありません。

水平投射では、鉛直方向だけを見ると初速度0の落下です。しかし水平方向の速度が0という意味ではありません。距離を先に求めようとすると未知の時間が残るので、床の高さから時間を確定させる順番が便利です。台より上の別の面を指定された場合は、式がその高さに達する正の時刻を持つかも調べます。

例題2：投げた高さより上の面

水平な床上の点 O から小球を右斜め上に投げます。初速度の水平成分は 8 m/s、鉛直成分は 15 m/s です。床から高さ 10 m の位置に、右側へ十分広がる水平な棚があります。棚の下面は物体の運動を妨げず、下降中に上面へ初めて接触するとします。空気抵抗を無視し、計算用に g = 10 m/s² とします。O を原点、右向きと上向きを正として、棚に着く時刻と O からの水平距離を整数で求めてください。

位置の式は x = 8t、y = 15t − 5t² です。棚の高さを代入します。

10 = 15t − 5t²

t² − 3t + 2 = 0

(t − 1)(t − 2) = 0

t = 1、2

2つとも正の時刻ですが、条件は下降中の接触です。鉛直速度 v_y = 15 − 10t に代入すると、1 s では 5 m/s で上向き、2 s では -5 m/s で下向きです。したがって採用する時刻は 2 s、水平距離は x = 8 × 2 = 16 m です。

元の式に戻すと、2 s の高さは 15 × 2 − 5 × 2² = 10 m です。1 s にも同じ高さを通りますが、問題の条件では棚の下面が上昇を妨げません。もし面の下面にも衝突する設定なら、1 s で運動が変わるため、そのまま 2 s まで式を使うことはできません。逆に面が最高点より高ければ、そもそもその高さへの実数の到達時刻はありません。

最高点は v_y = 0 から 1.5 s、その高さは 15 × 1.5 − 5 × 1.5² = 11.25 m です。棚の高さ 10 m は最高点より低いため、上昇中と下降中の2回通るという結果と合っています。投射点より下の着地面なら通常、投射後の正の解を選びますが、それでも実際にその面がその位置にあるか、途中の障害物に接触しないかを確認します。

まちがいを成分に戻す

図3のように、最高点で速度全体を0とする答案を考えます。原因は、上向きの速度が0になることを、横向きにも広げてしまうことです。修正するときは、最高点の条件を v_y = 0 と書き、v_x = u を別の行に残します。重力は下向きに働き続けるので、最高点でも加速度は下向きです。

もう1つの誤答は、異なる高さの床に落ちる時間を、上昇時間の2倍とするものです。上昇時間の2倍で元の高さへ戻る関係は使えますが、床の高さが違えば着地時刻も変わります。原因は対称性の条件を省くことです。修正には投射点を高さ0として床の符号付き座標を決め、y の式に代入します。

二次方程式の負の解をそのまま飛行時間にする誤りもあります。投射後を t ≧ 0 と決めた時計に戻れば、負の値は投射前を表します。正の解が2つある場合も大小だけで選ばず、速度の符号や接触条件で判断します。解が出ないときは計算ミスに加えて、到達したい高さが最高点より上ではないかを調べます。

同じ高さを通る2時刻が出た場合、まず投射点の高さとの関係を図に書き込みます。高さが最高点より低く、投射点より上にあれば、上昇と下降で通る可能性があります。ただし、式から得られる交点は障害物のない運動を延長した結果です。実際の物体が先に床や壁に当たるなら、衝突後にも同じ式を使えるとは限りません。問題に与えられた面の位置と接触の条件を優先します。

また、距離の単位を書かずに数だけを出すと、時間や速度との区別が答案から見えません。水平距離は速度に時間を掛けるので、m/s と s から m が残ります。鉛直位置の各項も m になる必要があります。単位の確認は、重力加速度に時間を1回掛ける速度の式と、時間を2回掛ける位置の式を見分ける手がかりです。

練習：位置と時刻をつなぐ

以下はすべて空気抵抗を無視し、計算用に g = 10 m/s² とします。各投射点を原点とし、右向きと上向きを正にします。答えは指定された単位の整数で表してください。

1. 高さ 45 m の崖から小球を右へ水平速度 4 m/s で投げます。崖の真下に続く水平な地面に着くまでの時間と、真下からの水平距離を求めてください。
2. 平らな地面から小球を右上へ投げ、初速度の水平成分を 7 m/s、鉛直成分を 20 m/s とします。最高点に達する時間と、その点の高さと水平位置を求めてください。
3. 地面から小球を右上へ投げ、初速度の水平成分を 5 m/s、鉛直成分を 10 m/s とします。初めて投射点と同じ高さの地面に戻るまでの時間と水平距離を求めてください。
4. 高さ 10 m の台から小球を右上へ投げ、初速度の水平成分を 3 m/s、鉛直成分を 5 m/s とします。台の右側に広がる床に初めて着く時間と、投射点の真下からの水平距離を求めてください。途中に障害物はありません。

答えと解き方

1. y = -5t² に地面の y = -45 を入れると t² = 9 です。投射後なので t = 3 s、x = 4 × 3 = 12 m です。3 s を高さに戻すと -45 m となり、床に届きます。負の解は投射後の時刻ではありません。

2. v_y = 20 − 10t = 0 より t = 2 s です。y = 20 × 2 − 5 × 2² = 20 m、x = 7 × 2 = 14 m です。この時刻で鉛直速度は0ですが、水平速度は 7 m/s です。高さの式に戻して位置を確認できます。

3. y = 10t − 5t² = 0 を整理すると 5t(2 − t) = 0 です。t = 0 は投射時刻なので、その後に戻る時刻は 2 s です。x = 5 × 2 = 10 m です。2 s を高さの式に入れると y = 0、鉛直速度は -10 m/s で下降して地面に戻ります。

4. 床の位置は y = -10 m です。-10 = 5t − 5t² から t² − t − 2 = 0、(t − 2)(t + 1) = 0 です。投射後は 2 s、水平距離は 6 m です。y = 5 × 2 − 5 × 2² = -10 m、鉛直速度は -15 m/s で床へ向かいます。

練習4では、床が投射点より下にあるので、床の座標に負の値を入れました。投げ上げた直後は高さが増えますが、最高点を過ぎた後は減少し、投射点の高さも通り越して床に着きます。負の解を選ぶと投げる前の延長上の時刻になり、問題が求める飛行時間にはなりません。正の解を選んだ後も床の座標に戻すことで、符号と計算を同時に確認できます。

練習2と3を比べると、最高点の条件は速度の式、元の高さに戻る条件は位置の式に入れています。求めるものが時刻でも、条件に書かれた量が速度なのか位置なのかを先に決めることが出発点です。水平位置は、その時刻が確定してから計算します。

持ち帰る要点

水平速度は一定、鉛直速度は重力で変化します。 位置の2成分には同じ時刻を入れます。 最高点で0になるのは鉛直速度です。 着地面の高さと時刻の符号を最後に確かめます。

自分の答案を点検する

式の前に原点と正方向を書き、初速度の矢印を2成分に分けられるかを見てください。式は合っていても、床の高さを正に入れていれば時刻がずれます。答案の y が地面からの高さなのか投射点からの高さなのかを、図に戻して確かめると原因を絞れます。

個別指導で確認するなら、最高点でどの成分が0かを言葉で説明し、求めた時刻を両方の位置の式に代入するところを見ます。正の解が2つ出た場合は、それぞれの速度の向きと面の条件を説明できるかも確かめます。着地点は、式の解と実際の軌道が一致して初めて定まります。