数検4級 一次関数と動く量｜道のりのグラフから区間ごとの式を読む｜武蔵野個別指導塾

停止中の水平線と折り返し後の式を、時間の区間や軸の意味と結び付けて読み解きます。

よくあるのは、帰り道の記録で水平な線を見て、引き返していると読んでしまう場面です。横軸が時間、縦軸が出発点からの距離なら、水平な間は出発点からの距離が変わっていません。引き返して出発点に近づくときは、時間とともに縦の値が小さくなります。グラフの線の向きと、縦軸が何を表すかを結び付けると、動きの様子を言葉でも式でも表せます。

折れ線から問われること

一次関数と動く量では、一定の速さで移動したり、途中で立ち止まったりする場面を、時間と距離のグラフで考えます。自作の問題には、グラフの一部分から速さを読み取る型、区間ごとの式を作る型、指定された時刻や距離に対応する点を探す型があります。どの型でも、まず横軸と縦軸の量、単位、出発点を確かめます。

折れ線全体を1本の式で表そうとすると、速さが変わる点や停止している間に合わなくなります。線の向きが変わる点を境に区間を分け、それぞれの両端の時間と距離を読みます。同じ時刻が隣の区間の端になる場合は、どちらの式に入れても同じ距離になるか確認できます。

また、距離が同じになる時刻が行きと帰りの2回あることもあります。1つ見つけて計算を終えず、条件に合う区間をそれぞれ調べます。反対に、式を解いて出た時間がその区間の外なら、その式が表す動きではないので答えに含めません。

線の向きと時間の読み方

図1のように、横軸を出発してからの時間、縦軸を出発点からの距離に取ります。右上がりは出発点から遠ざかる動き、水平は距離が変わらない状態、右下がりは近づく動きです。この設定で、途中で止まる以外の動きを考えないなら、水平な区間は停止を表します。

図1では、出発点から離れた後に止まり、その後に出発点へ戻っています。縦軸が「出発点からの距離」であることが、この読み方の前提です。進んだ道のりの合計を縦軸に取るなら、戻る間も合計は増えます。軸の名前が違うグラフには、同じ読みをそのまま使えません。

一定の速さで遠ざかる区間では、距離の増加量を時間の増加量で割ると速さが出ます。近づく区間では、距離の変化量は負なので、その値の符号を除いた大きさが速さです。例えば4分で距離が120 m減るなら、変化の割合は毎分-30 m、速さは分速30 mです。停止中は変化の割合も速さも0です。

出発してからx分後という横軸と、時計の時刻は別の表し方です。午前9時12分に出発し、xが8なら、時刻は午前9時20分です。逆に午前9時25分なら、出発から13分後なのでxは13です。途中の地点から動き始めた区間でも、横軸が出発後の時間ならxを0に戻さず、その区間が始まってからの時間をxから引いて表します。

式が使えるxの範囲を定義域といいます。折れ線の一部分に対応する式には、その部分の始まりと終わりを定義域として添えます。例えば出発後6分から10分までなら、6 ≦ x ≦ 10です。端の時刻を含むかどうかも、問題の条件に合わせて書きます。

グラフからある時刻の距離を探すときは、横軸の時刻から縦にたどって折れ線に当て、そこから横にたどって縦軸の値を読みます。逆に、距離から時刻を探すときは、縦軸の値から横にたどります。折れ線と交わる場所が複数あれば、それぞれから横軸へ下ろします。水平な部分と重なる高さを指定されたときは、点が1つに決まらず、その水平な部分の時間の範囲が答えです。

目盛りが細かく示されていない場合、図の見た目だけで途中の値を決めないようにします。両端の時間と距離が与えられ、その間が一定の速さなら、変化の割合から計算できます。例えば3分間に150 m遠ざかるなら、1分間には150 ÷ 3 = 50 m増えます。始点から2分後なら、始点の距離に100 mを足します。近づく場合は増加ではなく減少として扱います。

同じ長さの時間でも、線の傾きの大きさが違えば進む距離も違います。速さを比べるときは、縦の変化だけでなく横の時間もそろえて比べます。線が急でも、軸の目盛りの刻みが異なる別々の図では、見た目だけで速さを比べられません。それぞれの距離の変化量を時間の変化量で割ると、単位をそろえて比べられます。

基本例題：休憩をはさむ往復

家から公園まで一定の速さで歩き、公園で休んだ後、同じ道を一定の速さで家に戻ります。出発から6分後に家から480 mの公園に着き、4分間休み、そこから8分かけて家に戻りました。出発してからx分後の家からの距離をy mとします。各区間のyをxの式で表し、定義域も書きましょう。また、出発から15分後の距離を整数で求めましょう。

図2のように、折れ曲がる点を出発時、公園への到着時、休憩終了時、帰宅時に置きます。時間はそれぞれ0分、6分、10分、18分です。公園での4分を到着時の6分に足し、帰りの8分は休憩終了時の10分に足します。

最初の区間は0分から6分です。距離は0 mから480 mへ増えるので、1分あたりの増加は次の通りです。

480 ÷ 6 = 80

したがって行きの速さは分速80 mです。出発時の距離は0 mなので、式と定義域は次のようになります。

y = 80x　（0 ≦ x ≦ 6）

次の区間は6分から10分です。公園にいる間は家からの距離が480 mのままなので、xの値によらず次の式です。

y = 480　（6 ≦ x ≦ 10）

帰りは10分から18分です。8分で480 m近づくので、距離は1分あたり60 mずつ減ります。

480 ÷ 8 = 60

yの変化の割合は-60です。帰り始めてからの時間はx − 10分なので、公園にいたときの距離から減った分を引きます。

y = 480 − 60(x − 10)　（10 ≦ x ≦ 18）

括弧を外すと、同じ式をy = -60x + 1080とも書けます。1080はこの区間の直線を延長したときの切片であり、出発時の実際の距離ではありません。帰りの式は10分から18分の間に限って使います。

15分後は10 ≦ 15 ≦ 18なので帰りの式に入れます。

y = 480 − 60(15 − 10)

y = 480 − 300 = 180

答えは180 mです。場面に戻すと、帰り始めてから5分で300 m進み、公園までの480 mから残り180 mです。帰りの式に10を入れると480、18を入れると0になり、図2の両端とも合います。行きの式に6を入れた480と停止中の値も一致しています。

少し難しい例題：同じ距離になる時刻

午前10時に図書室を出て、一直線の道を一定の速さで進みます。5分後に図書室から300 mの地点に着き、3分間止まった後、同じ道を一定の速さで6分かけて図書室に戻ります。図書室から200 mの地点にいる時刻をすべて、午前の時刻で答えましょう。

出発後x分、図書室からの距離をy mとします。行きは5分で300 m進むので分速60 m、式はy = 60x、定義域は0 ≦ x ≦ 5です。停止中はy = 300、定義域は5 ≦ x ≦ 8です。帰りは6分で300 m進むので分速50 m、式はy = 300 − 50(x − 8)、定義域は8 ≦ x ≦ 14です。

行きに200 mとなる時間は、60x = 200からx = 10/3です。これは3分20秒で、行きの範囲内です。止まっている間は300 mなので200 mにはなりません。帰りは300 − 50(x − 8) = 200を解きます。50(x − 8) = 100、x − 8 = 2よりx = 10です。こちらも帰りの範囲内です。

したがって答えは午前10時3分20秒と午前10時10分です。行きは分速60 mで3分と1/3分進み、180 + 20 = 200 mです。帰りは停止後2分で100 m戻るため、図書室から300 − 100 = 200 mです。停止中の区間も調べたので、該当する時刻の見落としを防げます。

分かれ目は、求める距離がどの区間に含まれるかです。例えば300 mなら停止中のすべての時刻が当てはまります。端の2時刻だけを書いて終えると、間の時間を落とします。反対に、区間の式を延長して200 mを求めても、定義域の外に出た値はその区間の答えにはなりません。

誤答から読み直す

図3のように、出発点からの距離を表す線が水平なのに「出発点へ戻っている」と答えたとします。これは、横に進む線を移動そのものと見てしまった誤りです。横方向は時間の経過を示し、位置の変化は縦方向の値で読みます。

図3で水平な区間の前後を比べると、出発点からの距離はどちらも300 mです。問題の設定が移動と停止だけなら、この間は停止しています。戻る区間では、時間が進むにつれて距離が300 mから0 mへ減ります。線を指で右へたどり、縦の値が増えるか、同じか、減るかを言葉にしてから判断します。

もう1つの誤りは、帰りの始まりをx = 0と取り直して、出発後の時間をそのまま帰りの式に入れることです。帰りがx = 8から始まるなら、帰り始めてからの時間はx − 8です。x = 8を代入して帰り始めの距離に戻るかを点検すると、引き忘れに気付けます。式を整理しても、定義域と両端の場面を一緒に確かめます。

練習問題

次の問題では、距離は指定された出発点からの距離です。各区間では一定の速さで動き、停止中は位置が変わらないものとします。答えの形と単位に注意し、問題を一通り考えてから後の解答を見ましょう。

1. 駅を出て、分速70 mで4分歩き、2分止まりました。出発から5分後の駅からの距離を整数のmで求め、その時の状態を答えましょう。
2. 家を出て分速90 mで6分進み、同じ道を分速60 mで家まで戻ります。出発からx分後の家からの距離をy mとして、帰りの式と定義域を求めましょう。
3. 午後2時15分に広場を出て分速40 mで9分進み、3分止まり、分速60 mで広場へ戻ります。広場から120 mの地点にいる時刻をすべて、午後の時刻で求めましょう。
4. 出発後x分の距離が、2 ≦ x ≦ 7でy = 350 − 50(x − 2) mと表されます。この区間の始まりと終わりの距離を整数のmで求め、動く向きと速さを答えましょう。

練習の答えと解き方

1. 4分で70 × 4 = 280 m進みます。5分後は停止中なので、答えは駅から280 m、停止中です。停止が終わる6分後も距離は280 mのままで、5分後がその間に含まれることを確かめられます。

2. 行きの距離は90 × 6 = 540 mです。帰りにかかる時間は540 ÷ 60 = 9分なので、帰宅は出発から15分後です。帰り始めてからx − 6分とすると、答えはy = 540 − 60(x − 6)、6 ≦ x ≦ 15です。x = 6で540 m、x = 15で0 mです。分速60 mで9分戻ると540 mとなり、行きに進んだ距離に戻ります。

3. 行きに120 mに達するのは120 ÷ 40 = 3分後なので、午後2時18分です。折り返し地点は40 × 9 = 360 mで、停止は出発後9分から12分までです。帰りに120 mとなるには360 − 120 = 240 m戻るので、240 ÷ 60 = 4分かかります。出発後16分、午後2時31分です。行きは40 × 3 = 120 m、帰りは360 − 60 × 4 = 120 mです。停止中は360 mなので、答えはこの2時刻です。

4. x = 2ではy = 350、x = 7ではy = 350 − 50 × 5 = 100です。答えは始まりが350 m、終わりが100 mで、出発点に近づく向きに分速50 mです。5分で50 × 5 = 250 m近づき、350 − 250 = 100 mとなるので、終わりの距離と合います。式を別の時間まで延長しても、その動きが続くとは判断できません。

覚えておくこと

• 軸の量と単位を読み、折れ点で区間を分けます。
• 出発点からの距離が水平なら変化は0、右下がりなら距離は減ります。
• 途中からの時間は、出発後の時間から区間の開始時刻を引きます。
• 式には定義域を添え、答えを場面と区間に戻します。

つまずきを見分けるには

お子さまが線の向きを読めないときは、2つの時刻で縦軸の値を指して比べてもらいます。値の変化は読めるのに式が合わないときは、区間が始まる時刻を代入し、始点の距離に戻るかを確かめます。個別指導では、軸の意味、区間の選択、式と時刻の対応のどこで考えが変わったかを、書いた途中式と説明から確かめられます。折れ点ごとに動きを言い直せば、線の形と実際の移動が結び付きます。