数検4級 一次関数の交点｜連立方程式の解と二直線の位置を結び付ける｜武蔵野個別指導塾

2本の式を連立し、両方への代入で座標を確かめながら、平行や重なりも含めて交点に迫る。

よくあるのは、交点のx座標を計算したところで答えの欄を閉じてしまう場面です。式を等しくしてxを求めるところまでは合っていても、点の場所はxだけでは決まりません。横の位置と縦の位置を組にして初めて、2本の直線が重なる場所を表せます。

一次関数の交点では、図の見た目と式の計算を行き来します。交わる場所を予想し、計算で正確な座標を出し、最後に両方の式に戻して確かめましょう。図を見て整数に見えた場合でも、目盛りの読み取りだけに頼らず、分数を含む座標まで式から求めます。

交点について問われる形

まず、2本の直線の式が与えられ、交点の座標を求める形があります。どちらの式もyについて表されているなら、交点で2つの右辺が等しいことを使えます。xを求めてからyを計算し、順序を守って座標にします。

次に、座標が与えられ、その点が2本の直線の交点かを判断する形があります。点のx座標を各式に入れ、どちらも与えられたy座標になるかを確かめます。片方だけに合う点は、その直線上にはありますが、もう片方にもあるとは限りません。2つの条件を別々に調べることが必要です。

さらに、2本の式の傾きと切片を比べ、交点があるかを考える形もあります。傾きが異なれば直線は1点で交わります。傾きが同じで切片が異なれば平行で交わらず、傾きも切片も同じなら2本は同じ直線です。最後の場合は共通する点がいくつもあり、交点の座標を1組に定められません。式を解いた結果が普通の数にならないときは、計算をやり直すだけでなく、直線の位置も見直します。

ここでは交点の座標と、それが2本の直線の式を満たす理由に絞ります。直線で分けられた範囲や不等式は扱いません。

共有する座標を式で表す

点の座標は (x, y) の順に書きます。たとえば (1, 2) は、xが1でyが2の点です。順番を入れ替えた (2, 1) は別の点です。ある点が直線上にあるとは、その点のxとyを直線の式に代入したとき、等式が成り立つことです。

図1のように、y = x + 1 と y = -x + 3 の交点では、同じxに対して2つのyの値が一致します。x = 1のとき、前者はy = 2、後者もy = 2です。したがって (1, 2) は両方の直線上にあります。交点とは、どちらか一方の式に合う点ではなく、両方の式に共通する点です。

図1の左側と右側は、同じ座標をそれぞれの式で確かめる流れを表しています。各式を別の点で計算して値が等しくなっても、同じ点を調べたことにはなりません。同じxを入れ、同じyが得られるかを比べます。

交点のxを求めるときは、2つの式がともに同じyを表すので、右辺どうしを等しくできます。上の例なら x + 1 = -x + 3 です。これを解いてx = 1を得た後、元のいずれかの式に代入してy = 2とします。最後に両方の式で (1, 2) を確かめれば、計算で得た座標が2本の線に共通することを確認できます。

基本例題：計算した座標を図に戻す

次の2直線の交点の座標を求めなさい。座標の各成分は整数または分数で表しなさい。

直線A：y = 2x − 1
直線B：y = -x + 5

交点ではAとBのyが同じです。そのため、右辺を等しくします。

2x − 1 = -x + 5

両辺にxを足すと、左辺の2xと右辺から移したxがまとまります。

3x − 1 = 5

両辺に1を足し、次に両辺を3で割ります。

3x = 6
x = 2

これで求まったのは横の位置です。直線Aにx = 2を代入し、縦の位置も求めます。

y = 2 × 2 − 1
y = 4 − 1
y = 3

したがって交点は (2, 3) です。図2のように、2本の直線はx = 2、y = 3の場所で交わります。図ではx軸から上へ3、y軸から右へ2の点に印を付けています。

図2で交わっているように見えるだけで終えず、式に戻して確認します。Aの右辺は 2 × 2 − 1 = 3、Bの右辺は -2 + 5 = 3 です。どちらも座標のyと一致するので、(2, 3) は両方の線にあります。Bを使ってyを計算しても同じ3になることが、途中の符号を点検する助けになります。

また、Aはxが1増えるとyが2増え、Bはxが1増えるとyが1減ります。傾きが異なるので2本は平行ではなく、共通点は1点に定まります。計算で出したxだけを答えにするのではなく、そのxに対応するyまで組にすることが、座標を答える問題の仕上げです。

分数が出る場合と、交わらない場合

次の2直線の共有点を調べ、1点で交わる場合はその座標を整数または分数で求めなさい。

直線C：y = 2x + 1
直線D：y = -x + 3

交点では 2x + 1 = -x + 3 です。両辺にxを足し、両辺から1を引くと 3x = 2 となるので、x = 2/3 です。Cに代入すると、y = 2 × 2/3 + 1 = 4/3 + 3/3 = 7/3 です。答えは (2/3, 7/3) です。

Dでも、y = -2/3 + 3 = -2/3 + 9/3 = 7/3 となります。2つの式が同じyを返すため、この座標は両方の線上にあります。途中で小数に丸めると厳密な一致を調べにくくなるので、分数のまま通分して確かめます。傾きは2と-1で異なり、交点は1点です。

一方、y = 2x + 1 と y = 2x − 3 なら、右辺を等しくすると 2x + 1 = 2x − 3 です。両辺から2xを引くと 1 = -3 となり、成り立ちません。同じxをどのように選んでもyは一致せず、2直線は平行です。反対に式が両方とも y = 2x + 1 なら、等しくした後は 1 = 1 となります。これは条件を満たすxがないという意味ではなく、どのxでも両式が一致するという意味です。計算後に文字が消えたら、残った等式が成り立たないのか、常に成り立つのかを区別します。

座標軸上にある交点も同じ手順です

交点が座標軸上にあるときも、片方の座標が0になるだけで、両式を満たすという条件は変わりません。たとえば y = x − 2 と y = -x + 2 では、x − 2 = -x + 2 から 2x = 4、x = 2 です。どちらの式にも2を入れるとy = 0なので、交点は (2, 0) です。x軸上の点であっても、答えの0を省かずに書きます。

y = 3x + 2 と y = -x + 2 の場合は、3x + 2 = -x + 2 から 4x = 0、x = 0 です。両式に戻すとy = 2なので、交点は (0, 2) です。こちらはy軸上にあります。切片が同じ2で傾きが異なることからも、この位置が共通になると確かめられます。xが0かyが0かを見分ければ、座標の順序を取り違えにくくなります。

図からの予想と式による確認

図を使うと、交点が原点より右か左か、x軸より上か下かを見通せます。基本例題の図2では右側かつ上側なので、xもyも正の値と予想できます。計算結果が負になったときは、代入や移項の符号を調べるきっかけになります。ただし、図の目盛りや線の太さによって、交点が整数の位置に見えても実際には分数のことがあります。

分数の例では、x = 2/3 は0と1の間、y = 7/3 は2と3の間です。この位置関係は図の概形と比べられますが、図から正確な分数を読み取ったことにはなりません。式を等しくする計算で座標を求め、両方の式への代入で確かめることが必要です。概形は計算の異常に気づくために使い、正確な答えは式に基づいて決めます。

誤答から座標を直す

基本例題で x = 2 を得た後、「交点は (2, 2)」と答えたとします。x座標をそのままy座標にも書いてしまった誤りです。図3のように、(2, 2) のxを直線Aへ入れると右辺は3となり、与えたyの2とは一致しません。直線Bでも右辺は3です。したがって、この点は交点ではありません。

原因は、右辺を等しくする計算がxを求める段階だと区別できていないことです。修正するときは、まず x = 2 をどちらかの元の式に入れてy = 3を求め、座標を (2, 3) と書き直します。その後、図3のようにもう一方の式にも同じxを入れ、同じyになるかを調べます。代入先を間違えて片方の式を2回調べないよう、A、Bと印を付けると整理しやすくなります。

別の失敗は、負の符号を落として -x + 5 を x + 5 としてしまうことです。x = 2をBに入れる行は -2 + 5 と書いてから計算します。暗算の結果だけを書くより、元の式のマイナスと代入した数の対応が見えます。座標の順番を (3, 2) と逆にした場合も、x = 3、y = 2として元の2式に戻せば不一致を見つけられます。

自分で解いてみる4問

各問の座標の成分は整数または分数で表してください。直線は、式で表される範囲に制限がないものとします。

1. 直線 y = x + 4 と直線 y = -2x + 1 の交点の座標を求めなさい。
2. 直線 y = 3x − 2 と直線 y = -x + 4 の交点の座標を求めなさい。
3. 点 (2, 1) は、直線 y = x − 1 と直線 y = -2x + 5 の交点ですか。両方の式に代入して判断しなさい。
4. 直線 y = -3x + 2 と直線 y = -3x − 4 の共有点を調べなさい。また、直線 y = -3x + 2 をもう1本重ねた場合は、共有点が何点あるか答えなさい。

答えと考え方

1. 右辺を等しくすると x + 4 = -2x + 1 です。両辺に2xを足し、両辺から4を引くと 3x = -3、よって x = -1 です。最初の式に入れると y = -1 + 4 = 3 なので、答えは (-1, 3) です。もう一方でも -2 × (-1) + 1 = 3 となり、両方の線上の点だと確かめられます。負のxを掛けるときは括弧を付けます。

2. 3x − 2 = -x + 4 から、両辺にxを足して 4x − 2 = 4、両辺に2を足して 4x = 6 です。両辺を4で割ると x = 3/2 です。後の式に入れると y = -3/2 + 4 = -3/2 + 8/2 = 5/2 です。答えは (3/2, 5/2) です。前の式でも 3 × 3/2 − 2 = 9/2 − 4/2 = 5/2 となり、両式に戻ります。

3. x = 2を最初の式に入れると y = 2 − 1 = 1 です。点のy座標と一致します。もう一方に入れると y = -2 × 2 + 5 = 1 です。こちらも一致するので、(2, 1) は2直線の交点です。2本の傾きは1と-2で異なるため、この共有点は1点に定まります。先に片方が合っても、もう一方の確認を省かないようにします。

4. 右辺を等しくすると -3x + 2 = -3x − 4 です。両辺に3xを足すと 2 = -4 となり、成り立ちません。したがって共有点はありません。傾きが同じで切片が異なる平行な直線です。もう1本を y = -3x + 2 に変えると式が同じになり、各xに対して同じyを取ります。2本は重なり、共有点は無数にあります。たとえばx = 0でもx = 1でも共通の点が得られますが、2点を挙げるだけでなく、任意のxで両式が一致することが根拠です。

練習を解き直すときは、初めの式と後の式を入れ替えても同じ座標が出るかも試せます。たとえば1問目は -2x + 1 = x + 4 と置いても、両辺からxを引き、両辺から1を引けば -3x = 3 です。ここから x = -1 となり、先ほどの結果と一致します。等式の左右を入れ替えても、両方が同じ値だという条件は変わりません。

3問目のように候補の点が与えられた場合、連立方程式を最初から解かなくても、代入で両方の条件を調べられます。ただし、2本が重なる場合には、条件を満たす点が1点に限られるわけではありません。候補が共通点かという問いと、共通点が何点あるかという問いを分けて読みましょう。4問目では、式を比べて直線全体の位置を判断しています。

手元に残す要点

交点では同じxに対して2つのyが等しくなります。
xを求めたら、元の式に代入してyも求めます。
答えは (x, y) の順に書き、両方の式に戻します。
傾きが同じときは、平行か重なりかを切片で区別します。

どの段階に戻るか

答えがxの値だけなら、元の式に戻ってyを求める段階を確認します。座標は書けても片方の式にしか合わないなら、右辺を等しくした行と符号を追い、両式への代入を別々に書きます。計算後に文字が消えた場合は、残った等式を読み、共有点がないのか直線が重なるのかを図と結び付けます。

個別指導で確認するときも、正答だけを見て終わらず、どの式にどの座標を入れたかを口に出してたどると、途中で判断が変わった場所を見つけやすくなります。保護者がお子さまのノートを見るときは、xの後にyを求めた行と、2本への検算があるかを一緒にたどれます。交点の座標は、両方の直線の条件を同時に満たす数の組です。