数検4級 一次関数の式の求め方｜二点や傾きの条件を整理して式を決める｜武蔵野個別指導塾

傾きと一点、または二点の座標を使って切片を計算します。x座標が同じ場合には、式が存在するかを判断します。

よくあるのは、二点の座標を逆に代入した下書きを見て、どの数字を直せばよいか迷う場面です。点 (3, 1) なら x が 3、y が 1 です。順番を入れ替えると別の点の条件になるため、途中の計算が正しくても元の点を通る式とは限りません。まず座標を縦に並べ、傾きと切片を別々に求めましょう。

要点（結論から）

• 傾きが与えられたら x の係数に置き、点を代入して切片を求めます。
• 二点からは、同じ向きに引いた y の差を x の差で割ります。
• x の差が 0 のときは、二点が異なるか同じかを調べます。

どの条件から式に進むか

一次関数の式を求める問題には、傾きと通る点が与えられる型があります。このときは傾きをそのまま x の係数に置き、点の x と y を代入して切片を求めます。例えば傾きが負なら、その符号も係数の一部として書きます。

もう1つは、通る二点の座標が与えられる型です。切片を探す前に、二点の間で x がどれだけ変わり、y がどれだけ変わるかを調べます。y の増加量を x の増加量で割ると傾きが得られます。その後は傾きと一点の型に戻せます。

条件がそろっているかを判断する型もあります。二点の x 座標が同じなら、増加量で割ろうとすると分母が 0 です。異なる y 座標を持つ二点であれば、1つの x に2つの y を対応させることになり、y = ax + b では表せません。計算を始める前に、二点の x を比べる習慣が役立ちます。

式を決めた後は、与えられた点を式へ戻します。切片の計算に使った点だけでなく、二点が条件ならもう一方も確かめます。この確認は答えを当てるためではなく、条件の読み取りと計算の両方を点検するためです。

傾きと切片に分けて読む

y = ax + b の a は傾き、b は切片です。x が 0 のとき y = b なので、切片はグラフが y 軸と交わるところの y 座標を表します。一次関数では a は 0 ではありません。傾きが 0 の式は y が一定の関数で、ここでは一次関数と区別します。

図1のように、座標 (x, y) は左が x、右が y です。点が式を満たすとは、その x を式の右辺に入れたとき、点の y と同じ値が出ることです。傾きが決まっても切片を変えると通る点が変わるので、残った b を点の条件から決めます。

図1では (3, 1) を例に、3 を x に、1 を y に対応させています。点の 1 を切片と決めてはいけません。この点の x は 0 ではないためです。切片は式に代入して求めた後、x = 0 のときの y として読むことができます。

二点から傾きを求める際は、たとえば点 A から点 B へ移ると決めたら、x も y も「B の値 − A の値」の順に引きます。逆に両方を「A の値 − B の値」としても、分子と分母の符号が同時に変わるので傾きは同じです。片方だけ逆にする場合は、傾きの符号が変わってしまいます。

傾きと一点から決める

問題 傾きが -2 で、点 (3, 1) を通る一次関数の式を、y = ax + b の形で求めてください。

傾きが -2 なので、求める式を次のように置きます。まだ切片はわからないため b のまま残します。

y = -2x + b

この式が点 (3, 1) を通るには、x に 3、y に 1 を入れた等式が成り立つ必要があります。図2のように座標の順序と式の文字を対応させます。

図2の対応を使って、次の順に計算します。

1 = -2 × 3 + b

1 = -6 + b

両辺に 6 を足すと、

7 = b

したがって、求める式は y = -2x + 7 です。b は 1 ではなく 7 でした。点の y 座標から、その点の x に対応する -2 × 3 の分を取り除くと切片が残ります。

元の条件に戻して確かめます。x の係数は -2 なので、傾きは指定どおりです。x = 3 を代入すると y = -2 × 3 + 7 = 1 となり、点の y 座標にも戻ります。さらに x = 0 のとき y = 7 ですから、切片として求めた値とも一致します。

もし座標の順番を誤って x = 1、y = 3 とすると、3 = -2 × 1 + b から b = 5 と出てしまいます。しかし y = -2x + 5 に元の x = 3 を入れると y = -1 で、指定された 1 にはなりません。途中式を見直すときは、答えの符号だけでなく、最初の代入まで戻ることが必要です。

二点が与えられたときの分かれ目

問題 二点 A (-2, 5)、B (4, -4) を通る一次関数の式を、y = ax + b の形で求めてください。

最初に x 座標が異なることを確かめます。A から B の順に引くと、x の増加量は 4 − (-2) = 6、y の増加量は -4 − 5 = -9 です。y は減っていますが、増加量を負の数で表せば同じ手順を使えます。

傾き a = -9 / 6 = -3 / 2 です。分数はそのまま正確に扱います。二点を通る式を y = (-3 / 2)x + b と置き、計算しやすい方の点 A を代入します。

5 = (-3 / 2) × (-2) + b

5 = 3 + b

b = 2

よって、式は y = (-3 / 2)x + 2 です。A の x = -2 では y = 3 + 2 = 5、B の x = 4 では y = -6 + 2 = -4 となり、両方の座標に戻ります。傾きも -3 / 2 で、x が 6 増える間に y が 9 減る条件に合っています。

順番を逆にして A の値から B の値を引くなら、x の増加量は -2 − 4 = -6、y の増加量は 5 − (-4) = 9 です。9 / (-6) も -3 / 2 なので、同じ式になります。どちらから引き始めるかより、上下で向きをそろえることが判断の要です。

二点の x が異なっていても、y 座標が等しい場合は注意します。傾きは 0 になり、得られる関係は y が一定の式です。その式は二点を通りますが、a が 0 なので一次関数の式を求める条件には合いません。また、同じ点を2回指定した場合は一点分の情報しかなく、傾きを変えた複数の一次関数がその点を通れます。二点と書かれていても、情報が式を1つに定めるかを確かめます。

誤答をほどいて直す

先ほどの A (-2, 5)、B (4, -4) で、x は B − A、y は A − B としてしまうと、誤った傾きは 9 / 6 = 3 / 2 です。そこから A を使うと、誤答は y = (3 / 2)x + 8 になります。A は通りますが、B の x = 4 を入れると y = 14 であり、B の y = -4 と合いません。

図3のように、原因は計算に使った2つの差の向きが違うことです。B から A を引く順にそろえれば、x の差は 6、y の差は -9 です。傾きを -3 / 2 に直してから切片を求め直します。切片だけを直しても、誤った傾きのままでは二点を通る式になりません。

別の誤りとして、二点の y 座標の差だけを傾きとすることがあります。この例の -9 は、x が 6 変わる間の y の変化です。x が 1 変わるときの変化を知るため、対応する x の差 6 で割ります。反対に、差の代わりに片方の y を片方の x で割っても、切片がある場合には傾きを表せません。

割る数が 0 になったときは、0 で割る計算を続けず、二点の x と y に戻ります。異なる二点で x が等しいなら、一次関数は存在しません。同じ点なら傾きが決まらず、式を1つに絞れません。どちらも「計算が途中で止まった」とだけ考えず、条件の意味まで説明できると、次の問題で判断しやすくなります。

条件が変わると何が決まるか

傾きと点の組を受け取ったら、まず傾きが 0 でないかを見ます。例えば傾き -2 のまま通る点を (3, 1) から (3, 4) に変えると、式は y = -2x + b に 4 = -6 + b を入れて、y = -2x + 10 です。切片が 3 大きくなり、もとの点の高さの差と対応します。傾きが同じでも、通る点の条件によって切片は変わります。

一方、同じ点 (3, 1) を通るまま傾きを 2 にすると、1 = 2 × 3 + b より b = -5 です。式は y = 2x − 5 となり、もとの式とは異なります。どちらも x = 3 で y = 1 ですが、傾きが違うので別の一次関数です。点だけを見て切片を決められない理由がここにもあります。

二点から始めるときは、傾きが決まった後にどちらの点を使っても切片は同じです。前の A、B の例で B を使うと、-4 = (-3 / 2) × 4 + b、つまり -4 = -6 + b です。両辺に 6 を足して b = 2 となり、A を使った結果と合います。途中で違う値になった場合は、傾きを出した引き算か、座標を代入した箇所をたどります。

点が1つしかない場合でも、式が作れないわけではありません。傾きを任意の 0 でない数に選び、その点を通るように切片を調整できます。ただし、異なる傾きを選べば別の式になるため、1つに決める問題としては条件不足です。「存在しない」と「1つに決まらない」は、理由も結論も異なります。

同じ x 座標で異なる二点は、座標平面上では縦に並びます。x がその値のとき、縦に2つの点があっても、y = ax + b の右辺は1つの値しか出しません。これは傾きの公式の分母が 0 になることと対応しています。式を無理に書き換えて答えを作る前に、関数としての対応を点検しましょう。

自分で確かめる問題

次の各問で、式を求めるときは y = ax + b の形にしてください。分数は約分した分数のまま書きます。式が1つに決まらないときや存在しないときは、その理由も答えます。

1. 傾きが 3 で、点 (-2, 5) を通る一次関数の式を求めてください。
2. 二点 (1, -2)、(5, 4) を通る一次関数の式を求めてください。
3. 二点 (-3, 2)、(3, 2) を通る一次関数はありますか。二点を通る y = ax + b の式も求めてください。
4. 二点 (2, 1)、(2, 5) を通る一次関数はありますか。理由を説明してください。
5. 点 (4, -1) を通るという条件だけで、一次関数の式は1つに決まりますか。理由を式の例を使って説明してください。

解答と考え方

1. y = 3x + b に x = -2、y = 5 を代入すると、5 = -6 + b です。よって b = 11、答えは y = 3x + 11 です。x = -2 に戻すと y = -6 + 11 = 5 となり、係数 3 も傾きの条件を満たします。切片を点の y 座標と混同しなかったか、最後に見直します。

2. x の差は 5 − 1 = 4、y の差は 4 − (-2) = 6 です。傾きは 6 / 4 = 3 / 2 です。y = (3 / 2)x + b に (1, -2) を代入すると、-2 = 3 / 2 + b なので b = -7 / 2 です。答えは y = (3 / 2)x − 7 / 2 です。x = 1 なら y = -2、x = 5 なら y = 15 / 2 − 7 / 2 = 4 となり、二点の条件に戻ります。

3. x の差は 3 − (-3) = 6、y の差は 2 − 2 = 0 です。傾きは 0 / 6 = 0 で、二点を通る式は y = 2 です。どちらの x でも y は 2 に戻りますが、傾きが 0 なので一次関数はありません。点を通る式があることと、一次関数の条件を満たすことを分けて判断します。

4. ありません。どちらも x = 2 ですが、対応する y は 1 と 5 で異なります。y = ax + b に x = 2 を入れると y は 2a + b という1つの値に決まるので、両方の条件を同時に満たせません。x の差が 0 だから割れないという計算上の注意に加えて、この理由を確認します。

5. 1つには決まりません。例えば y = x − 5 と y = 2x − 9 はどちらも一次関数で、x = 4 のときそれぞれ y = 4 − 5 = -1、y = 8 − 9 = -1 です。異なる傾きの式が同じ点を通るため、点の情報に加えて傾きなどの条件が必要です。

練習の2では、もう一方の点から切片を求めても確認できます。4 = (3 / 2) × 5 + b から 4 = 15 / 2 + b、したがって b = -7 / 2 です。差を取る順序を二点とも逆にしても、(-2 − 4) / (1 − 5) = (-6) / (-4) = 3 / 2 と同じ傾きになります。どの方法で確かめても、元の座標へ戻ることを最後の基準にします。

要点を残す

• 傾きが与えられたら x の係数に置き、点を代入して切片を求めます。
• 二点からは、同じ向きに引いた y の差を x の差で割ります。
• x の差が 0 のときは、二点が異なるか同じかを調べます。
• 傾き 0 は一定の関数なので、一次関数とは区別します。
• 得た式を元の点と傾きに戻して確かめます。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが式を作れないときは、最初に点の左側を x、右側を y と指で示せるか確かめます。代入ができても答えが合わなければ、傾きと切片を別の役割として読めているか、負の数を括弧に入れて引いているかを見ます。二点の問題で符号が逆になるなら、2つの差の出発点をそろえるところへ戻ります。

個別指導で途中の考えを確かめる場合は、式を完成させる前に、二点の x が同じときや y が同じときに何が起きるかを言葉にしてもらうと、割り算の操作と条件の判断を分けて見られます。式ができた後は、使わなかった点を代入し、値が違うときに傾きの差の向きと切片の計算を順に調べます。二点の対応を保てば、求めた式は元の条件へ戻せます。