数検4級 一次関数のグラフ｜傾きと切片を使い直線を正確にかく｜武蔵野個別指導塾

切片から負の傾きに沿って点を取り、座標と式を照合する手順をたどれば、右下がりも描ける一次関数の直線です。

よくあるのは、右下がりの線を右上がりに引いた方眼紙を前に、式と図のどちらを直せばよいか迷う場面です。切片の位置が合っていても、傾きの符号を読み違えると別の直線になります。まず縦軸上の出発点を取り、そこから横と縦にどれだけ動くかを式に戻して確かめましょう。点を打つ順番には理由があり、その理由を言葉にすると、線の向きを自分で点検できます。

式と図の間で問われること

一次関数のグラフでは、式から直線をかく型と、示された点がその直線上にあるか調べる型があります。前者では、y = ax + b の a と b を読み、点を2つ以上取って線を引きます。後者では、点の x 座標を式に入れ、計算した y が指定された座標と一致するかを調べます。線が点の近くを通って見えるかどうかだけでは、正確な判定になりません。

作図では、正の傾きなら右へ進むと上がり、負の傾きなら右へ進むと下がります。ただし、向きが合うだけでは不十分です。傾きの大きさが違えば、同じ点から出発しても別の直線になります。切片も同様に、符号を含めて縦軸上に取ります。傾きと切片の両方を使って初めて、指定された式の線をかけます。

ここでは与えられた式からグラフをかき、点と式を照合します。点の条件から式そのものを決める作業には立ち入りません。方眼を使うときは、横軸と縦軸の1目盛りが表す数も先に確認します。両軸で目盛りの値が異なる図では、紙の上の長さだけで傾きを判断できないからです。

切片を出発点に、傾きで次の点へ

y = ax + b で、x が 0 のとき y = b です。したがって直線は縦軸の点 (0, b) を通ります。この b を切片といいます。切片が負なら原点より下、正なら上に点を取ります。b が 0 なら原点が出発点です。

a は傾きで、x の増加量に対する y の増加量の割合です。たとえば a = 2 なら、x が 1 増える間に y は 2 増えます。a = -2 なら、x が 1 増える間に y は 2 減ります。横方向を右に進むと決めたうえで、符号から縦方向を選びます。

図1のように、y = -2x + 3 では切片 3 の点から右へ 1、下へ 2 と進みます。次の点でも同じ動きを繰り返すと、式に合う点を増やせます。

図1の点 (0, 3) と (1, 1) を確かめると、後者では x = 1 のとき y = -2 × 1 + 3 = 1 です。さらに (2, -1) も式を満たします。点を取る動作と代入の結果が一致することを、図の読み方の基準にしましょう。

傾きが分数のときは、分母を横の増加量、分子を縦の増加量として使えます。たとえば傾きが -2/3 なら、右へ 3、下へ 2 です。右へ 1 動く場合に下がる量は 2/3 ですが、方眼上で整数の目盛りに点を取るには右へ 3 が便利です。分母と分子を入れ替えると別の傾きになるので、横の変化を先に決めます。

目盛りと座標を読む順番

座標 (x, y) の最初の数は横、次の数は縦の位置です。原点から横に移動してから縦に移動すると、順番を取り違えにくくなります。負の x は原点の左、負の y は原点の下です。たとえば (-1, 2) は左へ 1、上へ 2 の位置で、(2, -1) とは異なる点です。負号が付いた数を見たら、軸のどちら側かを先に決めましょう。

目盛りの数字が1つおきに書かれた図では、隣り合う数字の差を、その間の目盛りの数で割ります。隣り合う表示が 0 と 4 で、その間が2目盛りなら、1目盛りは 2 です。数字が書いていない線も数え、横軸と縦軸を別々に調べます。切片の値をそのまま目盛りの本数と考えると、1目盛りが 1 でない場合に位置がずれます。

傾きを使うときも、移動する「値」と紙の上の「目盛りの本数」を区別します。横軸の1目盛りが 2 なら、x が 2 増える移動は右へ1目盛りです。縦軸の1目盛りが 1 の場合、y が 2 減る移動は下へ2目盛りです。このような図でも傾きは y の増加量を x の増加量で割った値であり、見た目の斜めの角度だけでは決まりません。

点を追加するもう一つの方法

切片から傾きに沿って動く方法に加え、x の値を選んで式へ代入しても点を取れます。選んだ x と計算した y を組にして方眼に置く方法です。分数の傾きなら、計算結果が整数になる x を選ぶと点を読み取りやすくなります。どの値を選んだかを表に書き残すと、点を打ち間違えたときにも戻れます。

傾きに沿う方法と代入する方法で同じ点に着くかを試せば、計算と作図の両方を見直せます。2点が近すぎて定規を合わせにくい場合には、図の範囲内でもう少し離れた点を取ることもできます。ただし、点を離すために目盛りの範囲を超えて推測する必要はありません。取れる点を正確に置き、式で確かめることが先です。

基本例題：2点を取り直線で結ぶ

問題：一次関数 y = -2x + 4 のグラフをかきなさい。また、x = 3 のときの y の値を整数で答えなさい。横軸と縦軸はともに1目盛りを 1 とします。

まず式の定数の項を見ます。切片は 4 なので、縦軸上の (0, 4) に点を打ちます。次に傾きは -2 です。x を 1 増やすと y は 2 減るので、(0, 4) から右へ 1、下へ 2 動いた (1, 2) を取ります。

代入して2点を確かめます。x = 0 のときは次のとおりです。

y = -2 × 0 + 4

y = 4

したがって (0, 4) は式に合います。x = 1 のときも計算します。

y = -2 × 1 + 4

y = -2 + 4

y = 2

こちらも (1, 2) と一致します。図2のように2点を定規で結び、その両側へまっすぐ延ばします。点を折れ線で結ぶのではなく、2点を通る1本の直線にします。

図2ではさらに右へ 1、下へ 2 と進んだ (2, 0) を通ります。これは x 軸上の点です。切片の (0, 4) は縦軸上の点なので、2つを混同しないようにしましょう。

指定された x = 3 を式へ代入します。

y = -2 × 3 + 4

y = -6 + 4

y = -2

答えは y = -2 です。場面に戻して、(2, 0) から右へ 1、下へ 2 と動くと (3, -2) になります。計算結果と作図の動きが一致するため、符号と目盛りを両方確かめられます。図の端まで点を取れない場合も、式への代入で値を確認できます。

点が2つあれば直線を引けますが、余裕があれば3点目も取ってください。3点が一直線に並ばないときは、線を無理に曲げず、それぞれの座標を式へ戻します。合わない点を特定してから打ち直せば、どこで間違えたかを追えます。

少し難しい例題：分数の傾きと点の照合

問題：y = -2/3 x − 1 のグラフをかきなさい。また、点 A (3, -3) と点 B (-3, 1) がそれぞれこの直線上にあるか答えなさい。各軸の1目盛りは 1 とします。

切片は -1 なので、まず (0, -1) を取ります。傾きは -2/3 です。右へ 3 進む間に下へ 2 動き、(3, -3) を取ります。2点を通る直線を引けばグラフができます。線を延ばして左側も確認すると、(0, -1) から左へ 3、上へ 2 の位置に (-3, 1) があります。

右へ進むときと左へ戻るときでは、縦の動きも逆になります。左へ 3 進んで下へ 2 とすると傾きの符号が変わってしまいます。どちらの点も式に代入して確かめます。

A は x = 3 なので、y = -2/3 × 3 − 1 = -2 − 1 = -3 です。指定された y 座標と一致します。B は x = -3 なので、y = -2/3 × (-3) − 1 = 2 − 1 = 1 です。こちらも一致するため、A と B はともに直線上にあります。

一方、x 座標を入れて得た値が、指定された y 座標と違えばその点は線上にありません。たとえば同じ x = 3 でも y = 3 の点では、式から得た -3 と一致しません。符号の違いも座標の違いです。図が小さくて点が線に重なって見えても、最後の判定は式で行います。

誤った線をどこから直すか

誤答の例として、y = -x + 2 で (0, 2) から右へ 1、上へ 1 進んで (1, 3) を取り、直線を引いたとします。切片は正しく取れていますが、傾き -1 の符号が動きに反映されていません。右へ進むとき、y は増えるのではなく減ります。

図3のように、同じ出発点から右へ 1、下へ 1 動く点 (1, 1) に直します。間違った点を消し、正しい2点を結び直します。

図3の誤った点では、x = 1 を式へ入れると y = -1 + 2 = 1 です。点の y 座標 3 とは一致しません。正しい点 (1, 1) は一致します。切片からの距離が同じように見えても、上下の向きが逆なら式を満たしません。

別の誤りは、切片 -2 を縦軸の上側に取ることです。傾きの向きが正しくても、出発点が違うため線全体がずれます。x = 0 を代入して y を計算し、縦軸の正負を見直します。また、傾き -2/3 を右へ 2、下へ 3 と読む誤りもあります。この動きの割合は -3/2 なので、横の増加量を分母にして確認します。

点を正しく取ったのに線が曲がった場合は、計算より作図の段階に原因があります。定規を2点の中心に合わせ、線を一度に引きます。逆に線がまっすぐでも、2点のどちらかが式に合わなければ作図全体を見直します。原因を点の位置と線の引き方に分けると、直す場所が明確になります。

手を動かして確かめる問題

各問のグラフは両軸とも1目盛りを 1 とし、答えの座標や値は整数で書いてください。直線は2点を示してかきます。

1. y = 3x − 2 のグラフをかき、x = 2 のときの y を求めなさい。
2. y = -x − 3 のグラフをかき、x = -2 のときの y を求めなさい。
3. y = 1/2 x + 1 のグラフをかき、点 C (4, 3) と点 D (2, 3) がそれぞれ直線上にあるか答えなさい。
4. y = -3/2 x + 2 のグラフをかき、x = -2 のときの y を求めなさい。

答えと道筋

1. 切片は -2 なので (0, -2) を取ります。傾き 3 に従い右へ 1、上へ 3 進むと (1, 1) です。この2点を結びます。x = 2 では y = 3 × 2 − 2 = 4 なので、答えは 4 です。(1, 1) からさらに右へ 1、上へ 3 で (2, 4) となり、作図の動きとも一致します。

2. 切片 -3 から (0, -3) を取ります。右へ 1、下へ 1 の点 (1, -4) を通る直線です。x = -2 なら y = -(-2) − 3 = 2 − 3 = -1 です。答えは -1 です。(0, -3) から左へ 2、上へ 2 と戻ると (-2, -1) となり、元の傾きと切片に合います。

3. 切片から (0, 1) を取り、右へ 2、上へ 1 の点 (2, 2) を結びます。C では y = 1/2 × 4 + 1 = 3 なので直線上にあります。D では y = 1/2 × 2 + 1 = 2 となり、指定された 3 と違うため直線上にありません。C は (2, 2) からさらに右へ 2、上へ 1 進んだ位置でもあります。D は同じ x で正しい点より 1 上にあります。

4. 切片から (0, 2) を取り、右へ 2、下へ 3 の点 (2, -1) を結びます。x = -2 なら y = -3/2 × (-2) + 2 = 3 + 2 = 5 なので、答えは 5 です。(0, 2) から左へ 2、上へ 3 と動いても (-2, 5) となります。逆向きにたどって (2, -1) に戻ると、右へ 4 の間に下へ 6 で、傾き -3/2 に合います。

各問では、傾きの符号と切片の符号が別々に変わります。線の向きと縦軸を通る位置を一度に覚えようとせず、まず切片、次に傾きの順で処理してください。点の判定では、見た目と代入結果が食い違ったら、座標の読み取りや目盛りも含めて図を見直します。

方眼に向かう前の要点

• 切片 b は縦軸上の (0, b) です。
• 傾きは横の増加量に対する縦の増加量の割合です。
• 負の傾きでは右へ進むと下がります。
• 2点を直線で結び、別の点も式に代入して照合します。

どの判断に戻るか

お子さまが線の向きで迷うときは、まず「x を右へ増やす」と決め、y が増えるか減るかを式の係数から言葉にしてもらいます。向きは正しいのに位置がずれるなら、x = 0 を代入し、切片を縦軸上で取り直します。分数の傾きでずれるなら、横に何目盛り進み、縦に何目盛り動いたかを数えて割合に戻します。

個別指導で確かめる際は、完成した線だけでなく、最初の点と次の点を取る順番にも目を向けます。点が合っていて線だけがずれた場合は定規の当て方を、点自体が合わない場合は代入や符号を確かめます。保護者が答案を見るときも、答えの形だけで判断せず、1つの点について x と y が式を満たすか尋ねると、考えた道筋をたどれます。切片からの一歩を式に戻せば、直線の向きと位置を自分で確かめられます。