数検4級 一次関数の変化の割合｜表の増加量から傾きの意味を読み取る｜武蔵野個別指導塾

表で対応する2組の値を選び、同じ向きに差を取って変化の割合を求めます。負の傾きと比例との関係にも触れます。

よくあるのは、表のyの値だけを割ってしまった机で、答えが合わずに手が止まる場面です。2つのyの値が並んでいると、つい大きい値を小さい値で割りたくなります。しかし、知りたいのは値どうしの比ではなく、xの変化に応じてyがどれだけ変化したかです。表のどの2列を選び、どちらからどちらを引いたかを明らかにすると、計算の意味が見えてきます。

表から問われること

出方の1つは、表にある2組の値から変化の割合を求める型です。xの増加量とyの増加量をそれぞれ引き算で出し、後者を前者で割ります。xが1増える表ならyの増加量がそのまま答えですが、xがいつも1ずつ増えるとは限りません。列の間隔を確かめてから計算します。

もう1つは、式y=ax+bと表を結び付ける型です。式のaはxが1増えるときのyの増加量で、変化の割合や傾きと呼びます。bはxが0のときのyの値です。両者は役割が違うので、式に並んだ数を見て、どちらが変化を表すかを言葉にします。

さらに、空欄のある表を埋めたり、一定の変化の割合かを調べたりする型もあります。xの間隔が異なる場合は、yの増加量をそのまま比べるだけでは判断できません。それぞれの区間で割り算をして、同じ割合かどうかを調べます。ここでは表と式の対応に絞り、グラフをかく手順は扱いません。

増加量は引き算で取り出す

変化の割合は「yの増加量 ÷ xの増加量」です。増加量は後の値から前の値を引いて求めます。減った場合も同じ引き算を使い、結果は負の数になります。増加という言葉に引かれて、常に正の数に直す必要はありません。

図1のように、xが2から5へ、yが7から13へ変わるとします。xの増加量は5 − 2 = 3、yの増加量は13 − 7 = 6です。変化の割合は6 ÷ 3 = 2です。これはxが1増えるあたり、yが2増えることを表します。13 ÷ 7は2つの値の比であり、増加量の比ではありません。

図1では左右の列をそろえて引いています。逆に左から右を引けば、両方の増加量の符号が逆になり、割った結果は同じです。ただし、xだけ右から左、yは左から右とすると符号が逆になります。どちら向きに引くかをそろえることが必要です。

一般にy=ax+bで、xがpからqに変わるとします。対応するyはap+bからaq+bに変わるので、yの増加量は(aq+b) − (ap+b) = a(q − p)です。xの増加量はq − pですから、pとqが異なるとき、変化の割合はaです。bは両方に同じだけ含まれるため、差を取ると消えます。

bが0ならy=axとなり、yはxに比例します。比例も一次関数に含まれ、変化の割合はaです。一方、bが0でなければ一般にyをxで割った値は一定になりません。値の比と変化の割合は、比例の場合に同じ数になることがあっても、求め方の意味が異なります。

表を読むときは、2組の値が同じ列で対応していることも大切です。xのある値に対応するyを、別の列から拾うと、差を計算しても元の関係を表しません。選んだ2列に印を付け、xの行とyの行で同じ列を使います。表が縦向きに並んでいても、対応する組をそろえる考え方は変わりません。

たとえばxの増加量が負になる向きに表をたどることもできます。そのとき、yの増加量も同じ向きで計算します。どちらか一方だけ絶対値に直すと、減り方を表す符号が失われます。割る前に2つの差を書き出すと、引く順序を後から点検できます。

基本例題：水の量の表を読む

容器に水が入っています。一定の割合で水を注ぎ始めてからx分後の水の量をy mLとすると、次の表のようになりました。変化の割合を整数で求め、その意味を単位付きで答えてください。また、yをxの式で表してください。

まず、xは2から5へ変わります。後の値から前の値を引くと、xの増加量は次の通りです。

5 − 2 = 3（分）

同じ向きで、水の量の変化を求めます。

500 − 320 = 180（mL）

3分間で180 mL増えたので、1分あたりの増加量は次のようになります。

180 ÷ 3 = 60

変化の割合は60です。意味は、1分あたり水が60 mL増えることです。図2のように、2つの差を別々に求めてから割ると、どの数が何を表すかを追えます。

次に式を求めます。水の量は一定の割合で増えるので、y=60x+bと置けます。表のx=2、y=320を代入します。

320 = 60 × 2 + b
320 = 120 + b
b = 200

したがって、式はy=60x+200です。200 mLは注ぎ始めたときの量で、毎分増える量ではありません。もう一方の列を使うと、60 × 5 + 200 = 500となり、表の水の量に戻ります。最初の列も60 × 2 + 200 = 320です。2分から5分までの増加量は500 − 320 = 180 mLで、毎分60 mLが3分続くこととも一致します。

500 ÷ 320と計算しても、3分間の増加は取り出せません。また、180をそのまま変化の割合にすると、3分間の増加量を1分間の増加量と取り違えます。式を求めた後は、切片を初めの水の量として場面に戻し、両方の時点の量を確認します。

間隔が違う表では区間ごとに割る

ある装置を動かし始めてからx分後の温度をy℃とします。一定の割合で温度が変化し、x=1のとき20℃、x=4のとき14℃です。x=7のときの温度を整数で求め、変化の割合も答えてください。

1分から4分までのxの増加量は4 − 1 = 3、yの増加量は14 − 20 = -6です。したがって変化の割合は-6 ÷ 3 = -2です。1分あたり2℃下がるという意味です。4分から7分までも3分なので、温度はさらに6℃下がります。

14 + (-2) × 3 = 8

答えは8℃、変化の割合は-2です。確かめると、1分から7分までは6分で、20 + (-2) × 6 = 8℃です。途中の4分でも20 + (-2) × 3 = 14℃となり、条件に戻ります。

ここでの分かれ目は、変化の割合が一定と決められているかどうかです。2列から求められるのは、その2列の間の割合です。一定という条件がなければ、その先も同じ割合で変化するとは決められません。表の3列以上を調べるときも、隣り合う区間の割合を計算します。同じなら示された区間では割合がそろっていますが、表にない範囲まで続くかは別に条件が必要です。

誤答をほどく

たとえばxが1から4、yが5から11に変わる表で、11 ÷ 5とする誤りを考えます。これはyの値どうしを比べており、xの変化を使っていません。図3のように、まずxの差3とyの差6を取り出します。正しい変化の割合は6 ÷ 3 = 2です。

図3の2つの差は同じ方向に引いています。もしyだけ5 − 11 = -6として、xを4 − 1 = 3とすれば、-2という誤答になります。右側から左側を引くと決めて両方を計算し直しましょう。逆に、両方を左側から右側に引けば、-6 ÷ (-3) = 2で同じ答えです。

もう1つの誤りは、yの減少を正の増加量に直してしまうことです。後の値が小さければ、後の値 − 前の値は負です。xが増えるにつれてyが減るなら、変化の割合は負になります。計算した符号と表の動きが合うかを見ると、引き算の向き違いに気づけます。

式y=3x+8の8を変化の割合と読む誤りもあります。xが0から1へ増えると、yは8から11へ変わるため、増加量は3です。8は出発点の値で、3が1あたりの変化です。xの係数と定数の役割を、具体的な2列で照合します。

この違いは、空欄を埋めるときにも役立ちます。xが1増えた場合の変化を求めておけば、xが何増えたかに合わせて掛けられます。ただし、xが減った場合は増加量が負になるので、掛け算の符号まで含めて考えます。最後に表の動きと矛盾しないかを見直します。

変化の割合が0の場合は、xが変わってもyの値は変わりません。これはyの増加量が0だからです。一方、xの増加量が0の2列を使うと、0で割ることになるため変化の割合を求められません。異なるxの値を持つ2列を選ぶ必要があります。

練習問題

次の4問に取り組んでください。変化の割合は整数または分数で答え、指定のある量には単位を付けます。分数は約分してください。

1. 一次関数で、xが3から7へ増えるとyが12から24へ増えます。変化の割合を求めてください。
2. 一定の割合で変化する長さy cmは、時間x分が2から8へ増えると、35 cmから26 cmになります。変化の割合と、x=10のときの長さを求めてください。
3. 一次関数y=-4x+9について、xが-1から2へ増えるときのxとyの増加量、変化の割合をそれぞれ求めてください。
4. 表の3組の値が、1つの一次関数の対応を表すか判断してください。表す場合はyをxの式で表してください。xの値は0、2、5で、対応するyの値は4、10、19です。

練習の答えと確かめ方

1. xの増加量は7 − 3 = 4、yの増加量は24 − 12 = 12です。変化の割合は12 ÷ 4 = 3です。xが4増える間にyが3 × 4 = 12増えるので、12 + 12 = 24となり、表の後の値に戻ります。

2. xの増加量は8 − 2 = 6、yの増加量は26 − 35 = -9です。変化の割合は-9 ÷ 6 = -3/2です。8分から10分までは2分なので、長さは26 + (-3/2) × 2 = 23 cmです。2分から10分まで8分としても、35 + (-3/2) × 8 = 23 cmです。2分から8分の6分では35 + (-3/2) × 6 = 26 cmとなり、元の条件にも合います。

3. xの増加量は2 − (-1) = 3です。x=-1のときy=-4 × (-1) + 9 = 13、x=2のときy=-4 × 2 + 9 = 1です。yの増加量は1 − 13 = -12、変化の割合は-12 ÷ 3 = -4です。xが3増える間にyは4ずつ3回分減り、13 − 12 = 1となります。式のxの係数とも一致します。

4. xが0から2では、変化の割合は(10 − 4) ÷ (2 − 0) = 3です。2から5では、(19 − 10) ÷ (5 − 2) = 3です。xが0のときy=4なので、y=3x+4が3組に合います。実際にx=0、2、5を代入すると、それぞれ4、10、19に戻ります。したがって、表はこの一次関数の対応を表します。

練習4では、yの増加量が6と9で異なります。それでもxの増加量が2と3なので、割るとどちらも3です。増加量の数だけを比較すると、間隔の違いを見落とします。反対に、同じ幅の区間でyの増加量が異なれば、変化の割合も異なるため、1つの一次関数の表とはいえません。

表にない値を求めるときは、一定の割合という条件をもう一度読みます。ある2時点の値がわかることと、その間や先で一定に変化することは別の情報です。問題が与えた条件を計算の根拠にする習慣を付けると、使える式と決められない量を区別できます。

答えの符号が負でも、量そのものが負とは限りません。長さが減る練習2では、変化の割合は負ですが、求めた長さは正です。何の符号かを単位や場面と合わせて読みます。

要点

変化の割合はyの増加量をxの増加量で割ります。
2つの増加量は、対応する列を同じ向きに引きます。
y=ax+bの変化の割合はaで、bはx=0のときの値です。
yが減るときの符号と、答えを元の場面に戻した結果を確かめます。

どこで止まったかを見る

お子さまが表を見て割り算はできても答えが合わないときは、割った数が値そのものか、2列の差かを尋ねます。差を正しく出せるのに符号が合わないなら、xとyの引く向きを指でたどります。式から読む問題で迷う場合は、xを0から1に変えた2列を作り、係数と定数がそれぞれ何を表すかに戻ります。

個別指導では、計算結果だけでなく、選んだ列、差の向き、1あたりの意味を順に言葉にできるかを確かめます。表の間隔を変えても同じ手順で扱えるかを見ると、1ずつ増える表だけで覚えていないか判断できます。増加量をそろえて比べれば、変化の割合が表すものを読み取れます。